DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.94.4.002
АЛГЕБРА ЛОГИКИ В ТЕОРИИ СОБЫТИЙ
Научная статья
Сдвижков О.А. *
Российский государственный университет туризма и сервиса, Пушкино МО, Россия * Корреспондирующий автор (oasdv[at]yandex.ru)
Аннотация
Введено понятие бинарного (булева) события. Рассматриваются события E, задаваемые булевыми функциями E=F (E 1, E 2, ..., E n), в которых E i, E 2, ..., E n - булевы события. Доказана теорема о вероятности события заданного такой формулой, на задачах показано применение теоремы. Приведена теорема о структуре таблицы истинности булевой функции E=F (E 1, E 2, ..., E n), в которой E 1, E 2, ..., E n - булевы события, образующие полную группу событий. Для рассматриваемых событий получен вид формулы полной вероятности, а также получены расчетные формулы для условных вероятностей и формулы Байеса. Приведены задачи на применение полученных формул.
ALGEBRA OF LOGIC IN THEORY OF EVENTS
Research article
Sdvizhkov O.A. *
Russian State University of Tourism and Services, Pushkino, Moscow Oblast, Russia * Corresponding author (oasdv[at]yandex.ru)
Abstract
The article introduces the concept of the binary (Boolean) event. We consider event E defined by Boolean functions E=F(Ei, E2,...,En), in which Ei, E2,...,En are Boolean events. A theorem on the probability of an event provided by such a formula is proved, and the application of the theorem is shown on the problems. A theorem on the structure of the truth table of the Boolean function E=F(E i, E 2,.. .,En) is given, in which E 1, E 2,.. .,En are Boolean events that form exhaustive events. For the events under consideration, the form of the formula for the full probability is obtained, as well as the calculated formulas for the conditional probabilities and the Bayes& formula. The problems on the application of the obtained formulas are given.
Введение
Теория вероятностей [1], [3], [5], в которую входит теория событий, имеет большое прикладное значение [2]. Поэтому рассмотрение вопросов, связанных с теорией событий, несомненно, является актуальным.
Теория событий строится на основе теории множеств [3], задачи на применение алгебры логики в теории множеств рассматриваются в [9, С. 83]. В частности, операциям о и ^ теории множеств соответствуют операции л и V алгебры логики. Однако алгебра логики в теории событий применяется впервые. Булевы функции событий
Назовем событие Е бинарным (булевым), если оно является результатом испытания, множество элементарных
исходов которого состоит из двух событий Е и Е . Например, попадание стрелка в мишень - бинарное событие, а выпадение на верхней грани игрального кубика 6 очков - им не является.
Будем рассматривать события, задаваемые булевыми функциями Б=Б (Е 1, Е 2, ..., Еп), в которых Б 1, Б 2, ... Б п - булевы события. Например, событие, состоящее в том, что один из двух стрелков попадет в мишень задается булевой функцией:
Е = Е " Е2 V Е " Е2 ,
где Е1 - первый стрелок попадет в мишень, Е2 - второй стрелок попадет в мишень.
Также будем предполагать, что события Б 1, Б 2, ..., Б п - независимы, в смысле, независимости в совокупности [3, С. 38]. Теорема 1
Пусть событие Е задано булевой функцией Б=Б (Б 1, Б 2, ..., Б п), в которой Б 1, Б 2, ..., Б п - независимые булевы события, вероятности которых Р(Е^, Р(Е2), ., Р(Еп). Тогда справедлива формула:
Р(Е) = £... Z) • Р(Е?) •... • Р(Е:п ) (1)
с i =0 =0
Доказательство
По теореме о представлении булевой функции совершенной дизъюнктивной нормальной формой [6] можно записать:
Р( Е) = Р
£... £F(:,...,:)• Е? •...• е:V:=
Для любых двух различных булевых наборов (01, 02, ..., Оп) и (Э1, 9 2, ..., п) обязательно найдется элемент сг , для которого * = :. Следовательно, так как е. • Е = 0, выполняется
(е: •... • е) • Е •... • Е)=о,
а значит
р( Е: •... • е:- • Е* •... • Е1- )=о.
Поэтому применение теоремы о вероятности суммы событий дает:
Р(Е) = £... £)• ЕГ •...• Е-)
=0 :я =0
Остается воспользоваться теоремой о вероятности произведении событий и учесть независимость событий Е1, Е2,
., Еп.
Задача 1
Событие Е задано функцией Е = (Е а е2 ) © (е3 ^ е). Найти Р(Е), если Р(Е:) = 0,6, Р(Е2) = 0,9, Р(Ез) = 0,7,
применяя:
A) Таблицу истинности;
B) Преобразования заданной функции. Решение
А) Составляется таблица истинности, в которой событие Е, /-1, 2, 3, имеет значение 1, если оно наступило, и значение 0, в противном случае: Е3 ^ Е
Таблица 1 - Расчеты к задаче 1
Е1 Е2 Ез Е, Е1 А Е2 Е ^ Е Е
Из таблицы 1 следует Е = (11001010). Применяется формула (1):
р(е) = 0,4 • 0,1 • 0,3 + 0,4 • 0,1 • 0,7 + 0,6 • 0,1 • 0,3 + 0,6 • 0,9 • 0,3 = 0,22
В) С помощью непосредственных преобразований заданная функция приводится к виду Е = Е • Е v Е • Е . Поэтому
р(е) = р(е • Е v Е • Е) = Р(Е • Е)+Р(Е • е) - р(е • е • Е • е) = 0,04+0,18 = 0,22
Задача 2
Решить задачу 1, если событие Е задано булевой функцией, значения которой (01010111).
Решение
А) Составляется таблица истинности:
Таблица 2 - Входные данные
Ei Е2 Ез Е
По строкам с единичными значениями последнего столбца получаем:
р(е) = 0,4 • 0,1- 0,7 + 0,4 • 0,9 • 0,7 + 0,6 • 0,1- 0,7 + 0,6 • 0,9 • 0,3 + 0,6 • 0,9 • 0,7 = 0,862 В) Составляется карта Карно:
Таблица 3 - Карта Карно к задаче 2
Е1Е2\\ Ез 0 1
Из блоков единичных значений следует Е = Е1 • Е2 v Е3. Поэтому
р(е) = р(Е • е2 ) + Р(Е ) - р(е • е • Е ) = 0,6 • 0,9 + 0,7 - 0,6 • 0,9 • 0,7 = 0,862
Задача 3
Решить задачу 1, если событие Е задано булевой функцией, значения которой (0001000100010001), р(Еi)=0,6; р(Е2)=0,7; р(Ез)=0,8; р(Е4)=0,9. Решение
А) Составляется таблица истинности:
Таблица 4 - Входные данные к задаче 3
Е1 Е2 Ез Е4 Е
По таблице находим:
р(е) = 0,4 • 0,3 • 0,8 • 0,9 + 0,4 • 0,7 • 0,8 • 0,9 + 0,6 • 0,3 • 0,8 • 0,9 + 0,6 • 0,7 • 0,8 • 0,9 = 0,72 В) Составляется карта Карно:
Таблица 5 - Карта Карно к задаче 3
Е\\Е2\\ Е3Е4 00 01 11 10
Из блока единичных значений следует Е= Е3Е4, а значит Р(Е) = 0,8 • 0,9 = 0,72.
Пусть событие Е задано булевой функцией Е=Р (Е 1, Е 2, ..., Е п), в которой Е 1, Е 2, ..., Е п, - независимые булевы события, вероятности которых Р(Е1), Р(Е2), ..., Р(Еп), и есть такой набор (01, 02, ..., Оп), для которого Р (01, 02, ..., Оп) = 0, а для всех остальных наборов Р=1. Тогда вычислить Р(Е) можно по формуле:
Р(Е) = Р(Еп VЕ°2 V... VЕап") . Например, Е = Е ^ (Е2 ^ Е3) , Р(Е1)=0,7, Р(Е2)=0,6, Р(Ез)=0,8. Тогда таблица истинности имеет вид:
Таблица 6 - Расчетная таблица
Е1 Е2 Ез Е1 Е3 е2 ^ е3 Е
По строкам с единичными значения Е по теореме 1 находим:
Р(Е) = 0,3 • 0,4 • 0,2 + 0,3 • 0,4 • 0,8 + 0,3 • 0,6 • 0,2 + 0,7 • 0,4 • 0,2 + 0,7 • 0,4 • 0,8 + + 0,7 • 0,6 • 0,2 + 0,7 • 0,6 • 0,8 = 0,856
Такое же значение получается, как вероятность суммы трех событий:
Р(Е) = Р(Е VЕ2 V Е3) = Р(Е) + Р(Е2) + Р(Е3) -Р(Е1 • Е2) -Р(Е1 • Е3) - Р(Е2 • Е3) + Р(Е • Е2 • Е3) = 0,7 + 0,4 + 0,2 - 0,7 • 0,4 - 0,7 • 0,2 - 0,4 • 0,2 + 0,7 • 0,4 • 0,2 = 0,856
Булева функция события, зависящего от полной группы событий Теорема 2
В булевой функции Е=Р (Е 1, Е 2, ..., Е п) события Е 1, Е 2, ..., Е п образуют полную группу событий тогда и только тогда, когда Р (Е 1, Е 2, ..., Е п) =1, если среди значений Е 1, Е 2, ..., Е п есть только одна единица. Доказательство
Если события Е 1, Е 2, ..., Е п образуют полную группу событий, то они попарно несовместны и их объединение является достоверным событием. Поэтому одновременно два и более из событий Е 1, Е 2, ..., Е п наступить не могут, что и отражает условие Р (Е 1, Е 2, Е п) =1, если среди значений Е 1, Е 2, ..., Е п есть только одна единица. Теорема 3
Пусть событие Е задано булевой функцией Е=Р (Е 1, Е 2, ..., Е п), в которой события Е 1, Е 2, ..., Е п образуют
полную группу событий и имеют вероятности р1, р2, ..., рп, ^ р. = 1. Тогда формула полной вероятности события Е
записывается в виде:
р(е) = Г(1,0,...,0)р1р2...Рп + Г(0,1,0,...,0)р1р2р3...рп +... + е(0,...,0,1)р1...рп-1рп (2)
Следствие 1
Если событие Е задано булевой функцией Е=Р (Е 1, Е 2, ..., Е п), в которой события Е 1, Е 2, ..., Е п образуют полную группу событий, то условные вероятности Р(Е| Е,) находятся по формулам:
Р(Е| Е!) = Е(1,0,...,0)р2...рп, Р(Е| Е2) = Е(0,1,0,...,0) р1рз...рп, (3)
Р(Е| Еп) = Е (0,...Д1)р1...Д1_1 •
Следствие 2
Если событие Е задано булевой функцией Е=Б (Е 1, Е 2, ..., Е п), в которой события Е 1, Е 2, ..., Е п образуют полную группу событий, то в формуле Байеса
Р(Е,| Е) = Р(Е,) Р(Е| ЕО /Р(Е) вероятности Р(Е| ЕО находятся по формулам (3), а вероятность Р(Е) - по формуле (2). Задача 4
Событие Е задано булевой функцией:
Е = (Е V Е2 ) ^ Е & Е
Проверить, что события Е1, Е2 образуют полную группу событий. Решение
Составляется таблица истинности:
Таблица 7 - Расчеты к задаче 4
Е1 Е2 Е Е v Е Е1 • Е2 Е
По теореме 2 из таблицы 7 следует, что Е1, Е2 образуют полную группу событий. Задача 5
Событие Е задано формулой:
е = Е • [(Е V Е ) ^ Е ■ Е ] V Е • Е ■ Е
Проверить, что события Е1, Е2, Е3 образуют полную группу событий. Решение
Составляется таблица истинности, В = (Е2 V Е ) ^ Е • Е, С = Е • В, = Е • Е • Е : _Таблица 8 - Расчеты к задаче 5_
Е1 Е2 Ез Ei Е Ез Е v Е Е2 • Е3 B C D Е
По теореме 2 из таблицы 8 следует, что Ei, Е2, Е3 образуют полную группу событий. Задача 6
Событие Е задано формулой задачи 5, pi=0,i, p2=0,6, рз=0,3. Найти:
A) Р(Е);
B) Р(Е| Ei), Р(Е| Е2), Р(Е| Ез);
C) Р(Ег| Е), Р(Е2| Е), Р(Ез| Е). Решение
А) Применяется формула (2):
р(е) = 0,1- 0,4 • 0,7 + 0,9 • 0,6 • 0,7 + 0,9 • 0,4 • 0,3 = 0,514.
B) Из формул (3) следует:
р(е | е1) = 0,4 • 0,7 = 0,28, р(е | е2) = 0,9 • 0,7 = 0,63, р(е | е3) = 0,9 • 0,4 = 0,36.
C) Применяется следствие 2:
Заключение
Введенные понятия и полученные результаты показывают, что применение алгебры логики в теории событий открывает новые возможности по решению многих задач теории событий.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан None declared
Список литературы / References
- 4-е изд., стер. - М.: Высш. шк.; 2003. - 384 с.
Список литературы на английском языке / References in English
- M.: Radio Communication, 1983. - 416 p. [in Russian]
Р(Е1| Е) = Р(Е2| Е) = Р(Е3| Е) =