РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Выпуск 47, 2009

Вестник АмГУ

Т.В. Труфанова, Т.К. Барабаш

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

dy P(x,y)

In work is considered the equation djx = Q^xTy) where

P(x,y) and Q(x,y) - holomorphic functions in a vicinity of point x = 0, y = 0. Us existence and construction of decisions interests y ® 0 at x ® 0. Special case of the equation is equation Brio and Buke.

В работе рассматривается уравнение

dy P(x,y)

Зх Q(x,y)

где Р(х,у) и Q(х,у) - голоморфные функции в окрестности точки х = 0, у = 0, т.е. представимы рядами

^ х,у) = Рих+РиУ + Еьшх"у1&

к+1>2

Р( х,у) = Р,2х + Р22у + Е аых"у1&

x = dX = Q(x, y), y = ddy = P(x, y) dt dt

или в векторном виде

(,y) = (x,y)P + (Q2,P2), P =

l&, - вещественные.

l - вещественное.

Здесь, если я ф 0, задача сводится к рассмотрению системы уравнений

и = V + Р1(и,у), V = Р2(и,у). 0

P + iq 0

, P, q - вещественные.

Если р ф 0, то интегральные кривые представляют собой спирали, закручивающиеся вокруг начала координат.

Здесь, в окрестности начала координат, согласно теореме Ляпунова и Пуанкаре все интегральные кривые будут либо замкнутыми (центр), либо спиралями (фокус) [1].

Частным случаем (1) является уравнение Брио и Буке. Рассмотрим это уравнение, оно имеет вид:

x—— by = al0x + a20x2 + anxy + a02y2 +... dx

и эти ряды сходятся в области |х| < г, |у| < г. Здесь ри, аи и Ьи - вещественные постоянные, г - расстояние до ближайшего из корней полинома Q(х,у). Нас интересуют существование и построение решений

у ® 0 при х ® 0. (2)

Это решение можно изучать в параметрическом виде, записывая уравнение (1) в виде

Будем искать решение

у ® 0 при х ® 0. (5)

Другими словами, нас интересует голоморфное решение, т.е. представляемое в виде сходящегося ряда

y = Т c

Здесь решения (1) получим в параметрическом виде:

х = х((),у = у(().

Решением х ® 0, у ® 0 при / ® /0 (конечное) будет только х ° 0, у ° 0, так как по теореме Пикара другого непрерывного решения с такими начальными условиями быть не может [1]. Нас же интересует решение, обладающее свойством (2). Для уравнений (3) таким решением будет:

х ® 0, у ® 0 при / ® ¥.

Надо различать четыре типа уравнений, содержащихся в общем виде уравнения (1), в связи с четырьмя различными формами канонической матрицы, соответствующими матрице

В этом случае вопрос сводится к построению решения у = у(х) ® 0 при х ® 0 уравнения Брио и Буке:

Зу , 2 2

х—— Ьу = а10х + а20х + а11ху + а02у +... Зх

В зависимости от значения коэффициента ь уравнения (6) возможно пять случаев.

Если Ь ф п не целое положительное, то существует единственное голоморфное решение уравнения (4) вида (6), обладающее свойством (4).

В случае Ь = 1, если коэффициент а10 ф 0 уравнения (4), то решения вида (6) не существует.

Если же а10 = 0, то существует решение у = хи(х), где функция и(х) является решением дифференциального

Зи(х) . . 2. .

уравнения ^ = а20 + апи(х) + а02и (х) +...

Если ь = п > 1 - целое, то, вводя новую неизвестную

функцию и равенством у =-х + их и проделав это не1 — п

сколько раз, придем к уравнению вида:

v = У,0х + 720х2 + + +... (7)

Тогда, если в уравнении (7) у 10 ф 0, то уравнение (4) не имеет решения, обладающего свойством (5) в виде (6). Если же у 10 = 0, то такое решение имеем в виде

у = а,х + а2х2 + .. + а .хп— + хпр„ +а .хп+1 +...,

у 1 2 п—1 С0 п+1 &

где Р0 - произвольное, а ап+1,ап+2,... известным образом зависят от р0.

Если ь < 0, тогда имеем единственное голоморфное решение вида (6), обладающее свойством (4).

В случае ь = 0, если а02т+1 > 0 (иа01 = 0 при к £ 2т), то все решения уравнения (4), начинающиеся вблизи начала координат, обладают свойством (5) и одно из них будет голоморфным, т.е. вида

акх .

Во всех остальных случаях не все решения уравнения (4), начинающиеся вблизи начала координат, обладают свойством (5).

Вестник АмГУ

Выпуск 47, 2009

Рассмотрим пример, для этого рассмотрим уравнение

dy _ - 2y + x2 + 2xy + y2 dx

х + 3у

Будем искать решение, обладающее свойством: у ® 0 при х ® 0.

В векторном виде уравнение (8) имеет вид (х,у ) = (х,у)Р + (0,<2(х,у }), матрица Р определяется формулой

Р Л 3 - 2S I 0 - 20S,

где £ и имеют вид S = \\

Сделаем замену переменных

(х,у ) = (ы,у)£.

Отсюда х и у определяются формулой:

х = и - V,

[ у = V 4 &

Подставим замену (10) в параметрический вид нашего уравнения (9) и запишем последнее в виде

dv - 2v + и2

-Т = —Т-^. (12)

du и + и

В (12) сделаем замену переменных V = ги, (13)

тогда, учитывая, что и и г малые, проведем простейшие преобразования и сокращения. В результате получим: dz ,

u _-3z + u -u2 + 2uz + u2z.

Следовательно, уравнение (14) имеет решение

г = —и--и +--и

Возвращаясь к замене (13), найдем решение уравнения (12) в виде

V = иг = — и--и +--и

И, наконец, в силу (11) имеем решение исходного уравнения (8):

x _ u--u +

у = —и--и +--и .

Решая уравнение (8) численными методами, с помощью встроенной функции ППП МайаЪ 6.5, получаем график функции решения дифференциального уравнения (8). На рисунке изображен график, на котором сплошной линией дано численное решение, а точками обозначено аналитическое решение данного дифференциального уравнения.

Последнее уравнение имеет вид уравнения Брио и Буке с отрицательным коэффициентом перед г, поэтому будем искать решение в виде:

г = Т Си". (15)

Подставляя (15) в (14) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , найдем константы Ск . Имеем: 1

График решения примера.

и т.д.

Р.В. Соболев, С.М. Доценко, С.П. Волков

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ СОЕВЫХ ПРОДУКТОВ И ОБОСНОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ДЛЯ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ

In clause technological aspects of development of technology of reception of soya albuminous products are resulted. Theoretically also parameters of process extraction albumens from particles of seeds of a soya are experimentally proved.

Технологический процесс изготовления продуктов на основе или с использованием такой высокобелковой культуры как соя представляет сложную систему, состоящую из совокупности взаимосвязанных и в то же время, обладающих определенной автономностью операций. На рис. 1

представлена схема классификации основных операций технологического процесса приготовления соевых белковых продуктов в виде соевого молока и окары, а также технических средств для его осуществления, разработанная на основании анализа современных тенденций развития направлений по переработке сои.

Согласно разработанной схеме базовыми операциями данной технологии являются:

экстракция (извлечение) белковых веществ из семян сои с помощью растворителя (воды) в процессе измельчения предварительно замоченных или пророщенных семян;

фильтрация жидкой белковой дисперсной системы с одновременным отделением нерастворимого соевого остатка - так называемой окары;

обработка жидкой фазы (соевого молока) и его использование;

обработка твердого нерастворимого остатка и его использование.