Спросить
Войти
Категория: Математика

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ДИСЦИПЛИНЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Автор: Еремина Виктория Владимировна

В.В. Еремина, С.А. Новиков

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ДИСЦИПЛИНЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Automation process of the calculation factors to reliability under different distributions and discipline recovery element.

Важная часть теории надежности - нахождение простых приближенных расчетных формул для показателей надежности. Данные формулы должны отличаться достаточно высокой точностью, удовлетворяющей запросы инженерных расчетов. Как показывают исследования, даже для простейших резервированных систем не удается найти простых аналитических соотношений для вычисления показателей надежности с требуемой точностью [1-3]. Исключение составляют лишь некоторые системы специального вида, показатели надежности которых зависят только от математических ожиданий времени безотказной работы и времени восстановления элементов, но не зависят от законов распределения. Так бывает, например, в случаях, когда элементы системы независимы по отказам и восстановлению; при вычислении стационарных показателей надежности, когда отсутствует очередь на работу исправных элементов и очередь на восстановление отказавших элементов системы.

Однако при вычислении показателей надежности, как правило, недостаточно знать лишь первые моменты соответствующих распределений. Если даже предположить, что среднее время восстановления элементов значительно меньше среднего времени их исправной работы, то и в этом случае существующие расчетные формулы дают весьма грубые приближения к истинным значениям показателей надежности [2]. При надлежащем выборе законов распределения относительная погрешность может быть очень высокой и даже неограниченной. Кроме того, эти формулы не учитывают приоритета обслуживания отказавших элементов. Как известно, для экспоненциальных распределений дисциплина восстановления элементов незначительно влияет на показатели надежности всей системы, особенно если ее функционирование протекает при дополнительном условии «быстрого» восстановления [1]. Однако если законы распределения неэкспоненциальны, то дисциплина восстановления может оказать существенное влияние на надежность системы.

Осуществим исследование посредством специализированного программного обеспечения - Автоматизированной системы вычисления надежности технических и информационных систем. Данный программный продукт специально разработан авторами для решения исследовательских

задач теории надежности. Рассмотрим несколько примеров резервированных систем.

Пример 1. Восстанавливаемая система состоит из равнонадежных элементов с ограниченным восстановлением. Оценим влияние дисциплины восстановления элементов на среднюю наработку на отказ системы. Предположим, что время безотказной работы элементов экспоненциальное с параметром Л, а время восстановления имеет произвольное распределение с плотностью g(t). Рассмотрим среднюю наработку на отказ

Рис. 1. Графы состояний дублированной системы для прямого (а), обратного (б), назначенного (в) приоритетов.

для различного вида приоритетов: прямого, обратного, назначенного. Графы состояний приоритетов для простейшей (состоящей из двух элементов) дублированной системы показаны на рис. 1.

Исходя из рис. 1, можно получить формулы средней наработки на отказ для прямого, обратного и назначенного приоритетов путем составления системы уравнений для описания функционирования стационарного режима работы системы.

Приведем полученные формулы:

рщ; _ 2-)(Л) , т(оьр) _ Т2 + 2-Т-Тв , т(нсв) _ (2-)(Л))-(1 + Л-ТВ) ,

2 • 1 -(1 - §(Л)) 2Тв Л-(1 - §(Л)) + Л2-(2 - §(Л))-Тв

где g(Л) - преобразование Лапласа функции g(t), Тв - среднее время восстановления элементов. Предположим, что:

g (&) _ сце-"& + (1 - с) • V • е~щ .

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим:

1 1 "п+Лп+ с• " Л-с• " Л g(&) _ с-"•--+ (1-с) п ии.

л+¡ л+v (A+m)-(i+v)

Будем полагать, что имеет место «быстрое» восстановление элементов, - например:

Т = 100 час, Тв = 1, тогда Л = 0,01 час-1,c = (v-1)&1 .

Путем простых преобразований легко показать, что если 0, v ® ¥, ,то функция g(t)=1,

соответственно выражение Т(ир) ® ¥, тогда как Т(обр) =5100 час. Например, полагая ¡I =0,001

час-1, v=10, получим Т(ир) =27577 час, Т(маз)=8565 час. Таким образом, средняя наработка на отказ системы существенно зависит от приоритета обслуживания элементов.

Сопоставим полученные результаты с асимптотической формулой т = Т_, справедливой

ac 2ТВ

при условии «быстрого восстановления» элементов и любой дисциплины восстановления. Видим, что Т = 5000 час и существенно отличается от ее точного значения. Следовательно, простота

асимптотических формул не может служить основанием для возможности их применения при оценке надежности резервированных систем.

Пример 2. Во втором примере рассмотрим восстанавливаемую дублированную систему из равнонадежных элементов, обслуживаемую одним ремонтным органом с прямым приоритетом. Установить зависимость среднего времени восстановления системы от закона распределения времени восстановления ее элементов.

Пусть распределение времени безотказной работы каждого элемента экспоненциальное с параметром л, а время восстановления имеет гамма-распределение с плотностью

g(t) = paг^—^ e b, средним ТВ = —/ и вероятностью невосстановления G(t) = J g(x)dx .

Тогда среднее время восстановления системы может быть найдено по формуле:

= Тв - G(i),

IG(l) следовательно,

1
1-11 + 1b a
1Tb

Исследуя это отношение в зависимости от а, получим графики, представленные на рис. 2.

В результате наблюдается широкий диапазон значений характеристик надежности в зависимости от закона распределения. Следует отметить, что при а = 1 имеем экспоненциальный случай, при котором ТВС = ТВ. Для

Window НИН

I File Edit View Options

| Зависимость среднего времени восстановления от закона распредления |

10 9,5 9 8,5
7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1 ,5 VI ^

: х"

,---- 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Рис. 2. Зависимость твс от а при

1 в

значениях 1ТВ = 0,001(кривая 1), 0,1 (кривая 2), 1 (кривая 3).

неэкспоненциальных распределений некоторые показатели надежности не полно характеризуют систему и нечувствительны к ее изменениям.

Пример 3. Рассмотрим невосстанавливаемую резервированную систему при общем резервировании с кратностью п — 1. Необходимо определить выигрыш в надежности для распределений: экспоненциальное, Вейбулла, вырожденное, равномерное.

Пусть Е(^) - вероятность безотказной работы, а Т0 наработка до первого отказа одного элемента. В нашем случае, основная система и все резервные одинаковы и

соответственно имеют вероятность безотказной работы аналогичную основной системе. Тогда для вероятности безотказной работы системы и средняя наработка до отказа вычисляются соответственно по формулам

Е ^) = 1 — (1 — Е(/))т ;

Тс = ] Ес (I уи = ] (1 — (1 — Е ())т .

00

Случайная величина имеет вырожденное распределение, если она принимает единственное значение с вероятностью 1, поэтому для вырожденного распределения, очевидно, что Т^ = Т0 для любых значений т .

Для распределения Вейбулла F (t) = e

имеем

Т т — 1 т!

о=±=у(—1)&—1сп1а, ст = т- .

Т Т0 п п Н(п — г)!

В частности, при а= 1 получаем экспоненциальное распределение:

п ( 1у—г п 1

От = У =У1 •

и г 1=1 г

Для равномерного распределения с параметрами а и Ь

Тс 2(пЬ + а) = — = - "

T0 (m + 1)(а + b)

В частности при a= 0 получим g =

2m m +1

Как следует из практических результатов проведенного вычислительного эксперимента, для равномерного распределения резервирование дает незначительный выигрыш (не более чем вдвое). Распределение Вейбулла при достаточно большом значении параметра а не оказывает

1

существенного влияния с ростом т на изменение наработки до отказа. В то же время для распределения Вейбулла при молодеющем (время жизни элементов не меньше их остаточного времени жизни) распределении можно получить любой сколь угодно большой выигрыш. Заметим, что для ненагруженного резерва От есть величина постоянная, равная т. Для вырожденного

распределения наработка до отказа тс совершенно не чувствительна к числу резервных элементов.

Среднее время восстановления элементов технических систем обычно в несколько раз меньше среднего времени между соседними отказами. Это обстоятельство позволяет использовать для оценки их надежности асимптотические методы. Исследование надежности систем с помощью асимптотических методов является важной задачей, так как точные формулы для характеристик надежности удается получить лишь в редких случаях и они как правило сложны для практического использования.

Приведенные примеры доказывают необходимость количественной оценки надежности систем при распределениях, отличных от экспоненциальных: она продиктована существенной зависимостью показателей надежности от законов распределения и дисциплины восстановления отказавших элементов.

1. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
2. Острейковский В.А. Теория надежности. - М.: Высш. шк., 2008.
3. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие. - СПб.: Питер, 200
ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ
Другие работы в данной теме:
Контакты
Обратная связь
support@uchimsya.com
Учимся
Общая информация
Разделы
Тесты