МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

УДК 512.644

Н.А. Чалкина

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

В статье рассматриваются некоторые методы решения систем линейных неоднородных уравнений компьютерными средствами.

The article provides some methods for solving systems of linear non-homogeneous equations by means of computers.

Компьютерная революция затронула и систему народного образования. С одной стороны, персональный компьютер стал естественным объектом учебного процесса, а с другой стороны -сам явился ценным техническим средством обеспечения общего процесса образования. Изучая, например, тему «Решение систем линейных неоднородных уравнений», компьютер можно применять на практических занятиях по высшей математике как техническое средство, а на лабораторных занятиях по информатике - использовать данную тему при изучении прикладной программы Microsoft Excel.

Для решения систем линейных неоднородных уравнений предлагаются следующие методы:

графический способ решения средствами Microsoft Excel;

решение средствами Microsoft Excel с помощью инструмента Поиск решения;

метод Крамера;

метод Крамера средствами Microsoft Excel с помощью логических функций;

метод исключения Гаусса.

Графический способ решения линейных систем средствами Microsoft Excel

Графический способ решения линейных систем не обладает большой точностью. Но он ценен наглядностью и легкой обозримостью. Прежде чем приступить к построению графиков в Microsoft Excel, необходимо вспомнить взаимное расположение графиков линейных функций: когда система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет решения.

Рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными средствами Microsoft Excel. Составим таблицу значений функции для системы:

У = — (1) y = 4 x - 3

Рис. 1. Таблица значений линейных функций y =-и y = 4x - 3 .

Решение системы линейных уравнений л с

y=(5-3x)/2 -■— y=4x-3

■ é-5 3 с

Рис. 2. График линейных функций y = —-— и y = 4х — 3 . По графику можно определить решение линейной системы (1): х=1, y=1.

Решение систем линейных уравнений средствами Microsoft Excel с помощью инструмента «Поиск решения»

Предположим, нужно найти решение (корни) следующей системы линейных неоднородных уравнений:

&236,47х + 5,28 y + 6,34 z = 12,26

< 7,33х + 28,74y + 5,86z = 15,15 (2)

Аналитически найти решение данной системы затруднительно. С помощью функций Microsoft Excel это сделать гораздо проще.

Внесем коэффициенты системы в таблицу (рис.3).

А В С D Е

Рис. 3. Таблица коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Свободные члены внесем в столбец Е. В столбец Б внесем формулы вычисления свободных членов (Б2=СУММПРОИЗВ($А$6:$С$6;А2:С2)). Ячейку Б3 и Б4 заполняем путем размножения формулы из Б2 с помощью маркера заполнения. Наша задача - добиться совпадения значений вычисленных и фактических значений столбцов Б и Е. В качестве изменяемых значений используются ячейки А6, В6, С6. Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю (рис.

Инструмент Поиск решения вызывается через меню Сервис. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно их ввода (рис. 4).

Для ввода всех ограничений следует в окне Поиск решения ввести значения только параметров: Изменяя ячейки: $А$6:$С$6 и Ограничения: $Б$2:$Б$4=$Е$2:$Е$4 (рис. 4).

Рис. 4. Окно Поиск решения.

После нажатия кнопки Выполнить для решения поставленной задачи в ячейки А6, В6 и С6 будут выведены полученные корни х=0,1405, _у=0,3154, г=0,8628 (рис. 5).

A В С D E

Рис.5. Вид рабочего листа табличного процессора Microsoft Excel.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера с помощью логических функций

Предположим, нужно найти решение следующей системы линейных алгебраических уравнений:

<x + 2y - 3z = 14 (3)

На рис. 6 представлен вид рабочего листа после решения системы двух линейных уравнений (3).

Заполнение ячеек рабочего листа формулами представлено в приведенной ниже таблице.

Количество неизвестных и уравнений в предложенных методах может варьировать в зависимости от подготовленности студентов.

Для использования предложенных методов на занятиях по информатике необходимо, чтобы студенты обладали практическими навыками работы в табличном процессоре Microsoft Еxcel и закрепляли знания из курса высшей математики.

А В С D Е F G Н I J К L М

Решение системы линейных неоднородных

Рис. 6. Вид рабочего листа после решения системы двух линейных уравнений.

Таблица 1

Заполнение рабочего листа формулами

Ячейка Формула

F4 =МОПРЕДф3^5)

F8 =МОПРЕД^7: D9)

M4 =МОПРЕД (I3: K5)

M8 =МОПРЕД (I7: K9)

C11 =ЕСЛИ(И($F$4=0;$M$4=0;$F$8=0;$M$8=0);"Бесчисленное множество решений";ЕСЛИ(И($F$4=0;ИЛИ($F$8<>0;$M$8<>0;$M$4<>0));"Нет решений";""))

D12 =ЕСЛЩ$F$4=0;"";"x")

D13 =ЕСЛИда4=0;"";&У)

D14 =ЕСЛИда4=0;"";&У)

E12 =ЕСЛИда4=0;"";"=")

E13 =ЕСЛИда4=0;"";"=")

E14 =ЕСЛИда4=0;"";"=")

F12 =ЕСЛИ№$4=0;""^$8^$4)

F13 =ЕСЛИ($F$4=0;"";$M$4/$F$4)

F14 =ЕСЛИ($F$4=0;"";$M$8/$F$4)