РАЗНОВИДНОСТИ ОПЕРАТОРА НАБЛА

УДК 514.742.43

И.П. Попов

РАЗНОВИДНОСТИ ОПЕРАТОРА НАБЛА

Вводится понятие о слагаемых векторных произведений, которыми являются первая, или ортоположительная, часть и вторая, или ортоот-рицательная. Рассматриваются поверхностные функции, их поверхностное дифференцирование и интегрирование. Показаны особенности поверхностных функций, для которых все слагаемые являются функциями не менее чем двух переменных. Вводится понятие о линейной комбинации координат и ее делении на вектор, нулевом и мнимом нулевом векторных операторах, псевдовекторах и комбинированных векторах.

VARIETIES OF DEL

We introduce the notion of the vector products components, which are the first -ortopositive part and the second - ortonegative part. The article deals with surface functions, their surface differentiation and integration. It also considers their peculiarities for which all termsbelong tothe functions of at least two variables. We introduce the notions of a linear combination of coordinates and its division into vector, zero and imaginary zero vector operators, pseudo- and combined vectors.

Введение

Работа посвящена рассмотрению ряда операций на пространстве гладких функций и векторных полей в R3. В качестве исходного пункта могут выступать нулевые величины. Их можно условно разделить на две категории. К первой относятся величины, содержимое которых «пусто», ко второй -состоящие из величин, сумма которых равна нулю. К последней категории относится векторное произведение оператора Гамильтона (набла) на самого себя. При этом использование взаимно противоположных компонентов этого произведения создает определенные перспективы, в частности развития элементов поверхностного векторного анализа. К таким элементам могут быть отнесены векторный дифференциальный поверхностный оператор, поверхностный градиент, производная по произвольной поверхности, поверхностные дивергенция и ротор [1], являющиеся аналогами соответствующих величин первого порядка [2-10]. Названные операции относятся к поверхностному дифференцированию, которое можно рассматривать в качестве обратной задачи к поверхностному интегрированию. Перечисленные операции можно использовать для получения разложений ряда векторных представлений второго порядка, часть которых имеет аналоги первого порядка. В ряде случаев для

этого придется прибегнуть к специальным методам - таким, как сопряжение векторов, использование линейной комбинации координат, ее деление на вектор, введение нулевого и мнимого нулевого векторных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов. В литературе представлен достаточно обширный арсенал средств символического метода преобразования векторных и скалярных полей. Целью настоящей работы является расширение этого арсенала.

Для векторов G и H имеет место операция векторного произведения О х И = ^уНг - GгHy ) i + (GzHx - GxHz) ] + ^хНу - GyHx ) k . Его можно представить в виде:

О х И = ^уН2i + GzHx] + GxHyк) - (Gflyi + GxH2 \\ + GyHxк ) .

Определение 1.1. Операция

О х: И := GyHz 1 + GHx1 + GxHyk называется первой, или ортоположительной, частью векторного произведения О х И векторных полей О = Gx 1 + Gy \\ + Gzк и И = Нх1 + Ну \\ + Нгк .

Определение 1.2. Операция

О хп И := И х: О = GHy 1 + GxHz] + GyHxk

называется второй, или ортоотрицательной, частью векторного произведения. Очевидно, что О х И = О х1 И - И х1 О = О х1 И - О хп И . Все сказанное справедливо и для ротора. Определение 1.3. Операция

„ „ дЫ. дЫг. дЫ

rotIM := V х: М =-^ 1 +-^ ] +-- к

дy дг дx

называется первой, или ортоположительной, частью ротора го1М векторного поля М = ЫХ1 + Ыу \\ + Ыгк . Определение 1.4. Операция

„ дЫ дЫ . дЫx,

rotIIM := VхII М =-у- 1 +-^ 1 +-x к

II II У». у». «I у».

дг дx д-называется второй, или ортоотрицательной, частью ротора го1М .

Очевидно, что го!М = го^М - го^М , или V х М = V х, М - V хп М .

Определение 2.1. Операция

О х* И := О х^- И - И х^- О = О хI И + О хп И называется сопряженным векторным произведением векторных полей О и И. Определение 2.2. Операция

го^М := го^М + го^М, или V х* М = V х]. М + V хп М называется сопряженным ротором векторного поля М. Определение 2.3. Оператор

V, : = Vх! V = Vхп V = VX:V= + 1 + к

называется векторным дифференциальным поверхностным оператором.

Определение 3.1. Вектор

gradsW :=VSW =

d2W . d2W d2W

i + "J + "

дуд2 скдг дхду

называется поверхностным градиентом функции W.

По аналогии с производной по направлению вычисляется производная по поверхности

d2W , Л d2W d2W

-— := (grads W )■ n = —- cos ф + ——

d с dydz dxdz

cos v +

Здесь n = i cos ф + jcos y + k cos 9 - поле единичных нормалей поверхности дифференцирования.

Теорема 3.1. Производная функции W(х, у, 2) (скалярного поля) по некоторой поверхности равна проекции поверхностного градиента на единичный вектор нормали к этой поверхности (в соответствующей точке).

= |gradS W| cos (gradS W, n).

Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из (3.2.).

Следствие. Поверхностный градиент скалярного поля равен по величине производной поля по поверхности, для которой эта производная (в соответствующей точке) является максимальной и совпадает по направлению с единичным вектором нормали к этой поверхности.

= |gradS W| =

( д2W ^

i я2ш\\ i я2тл^

d2W dxdz

d2W dxdy

Определение 3.2. Функция Щ(х, у, 2), для каждого приведенного слагаемого которой найдется смешанная частная производная второго порядка, не являющаяся тождественно нулевой функцией, называется поверхностной.

Число слагаемых поверхностной функции не ограничено.

Теорема 3.2. Поверхностная функция Щ(ху^) может быть восстановлена по ее поверхностному градиенту G в соответствии с формулой:

Щ = Ц Gxdydz + Ц Gydxdz + Ц Gzdxdy - 2V =

= Р1 (х, у, 2) + Р2 (у, 2) + Ql (х, у, 2) + Q2 (х, 2) + Л, (х, у, 2) + Л (х, у) - 2V .

При этом V = Р,= Q1 = Л,, а интегралы понимаются как повторные неопределенные с нулевыми аддитивными составляющими.

Доказател ьство

d3U dGv dG_

dx dxdydz dy dz U можно искать в виде: U = Ц Gxdydz + Ц Gydxdz + Ц Gzdxdy + f (x, y, z). При этом

U Gxdydz = P (x, y, z) + P2 (y, z), Ц Gydxdz = Qi( x, y, z) + Q2( x, z),

= R—( x, y, z) + R2 (x, y),

dx dxdydz

G dxdz = —— = d Qj . y dy dxdydz

Gzdxdy =

дх дхдудх

С учетом (3.3) р = Q1 = Я1 = V(х, у, х) . Тогда /(х, у, х) = -2У. При этом

дук=№ +Я °уахах+Ц +/(х у, х)]=

Ох + Q2(х,X) + Я1 + х,у)-2V] = Ох .

дудх

Аналогично д2к/(дхдх) = Оу, д2к/(дхду) = Ох. Теорема доказана.

Замечание 1. Равенство нулю аддитивных составляющих повторных неопределенных интегралов вытекает из того, что в поверхностных функциях соответствующих слагаемых нет.

Замечание 2. Поверхностная функция может быть восстановлена по ее поверхностному градиенту и с помощью поверхностного интеграла, однако это решение может оказаться более громоздким из-за необходимости определения поверхности интегрирования. Кроме того, при поверхностном интегрировании могут появляться константы и функции одной переменной, вследствие чего возникает необходимость прибегать к их отбрасыванию, т.е. к произволу.

Пример. gradS U =

— - sin ( x + z)

_ _ 3 xz xz . / \\ 2 xz _ xz 3 xz . / \\ 2 U = yz +---1---+ sin (x + z J + xy +---2— = yz +---+ sin (x + z J + xy .

y y y y y

В (3.1) имеет место произведение вектора Ух на скаляр W . Могут быть рассмотрены скалярное и векторное произведения Ух на вектор М. Определение 4.1. Операция

,• ™ „ ™ д2 М д2Иу д2 М

dlvх М := Vх • М =-^ +-у +-^

дудх дхдх дхду

называется поверхностной дивергенцией векторного поля М. Определение 4.2. Операция

rotS M := VS x M =

id2M dM \\ (d2M d2M_ \\ (dM d2M„ \\

dxdz dxdy

dxdy dydz

dydz dxdz

называется поверхностным ротором векторного поля M. Определение 4.3. Операция

rotS IM := VS xI M =

d M . d 2M i + d 2M„

dxdz dxdy dydz называется первой, или ортоположительной, частью поверхностного ротора rotS M

Определение 4.4. Операция

rotХД1М :=V^ x,, M =

rotSM := rotS,,M + rotS,,,M , или VS x* M := VS x, M + VS xn M называется сопряженным поверхностным ротором векторного поля M.

VS (а V + P W) = aVSV + PVSW (a = const, P = const).

VS -(aE + PF) = aVS - E + PVS - F .

VS x (aE + PF) = aVS x E + PVS x F .

д - V -V -84

V-Vs-Vs -V - 3

Vx VS --VS x V-— S S 8x

( 8 82 \\ 8

-2--2 1 +v8y 8z j 8y

V 8z 8r j

(&8L-i_2 ^

v8x2 8y j

Vx, Vs =

Vx,, Vs =

-i + 83

j + ■

ДsW ( 84

W (x, y, z) = divs grads W = Vs - VsW .

ДS (a V + P W) = aДSV + PДSW . Дs F ^s^i + ДsFy j + ДsFгk.

(V-VS)W -3-= V-VSW = divgradS W = VS -VW = divSgradW .

(V-VS)(aV + PW) = a(V-VS)V + P(V-VS)W .

(V-VS)(VW) = [(V-VS)V]W + VV - VSW + VW- VSV + [(V-VS)W]V .

(V-VS)F-(V-VS)Fxi + (V-VS)Fyj + (V-Vs)Fzk .

(VxV S)W

v 8z2 8x2 j

V x V SW - rotgradS W - -V S x V W - - rot S grad W .

(vx vs )-f - -(v s xv)-f-8 Г 82Fx 82Fx Л 8 (82Fv 82Fv Л 8 ( 82 F 82 F Л

+ —

+ — j 8z V

divrotSF = V-(VS xF) = -divSrotF = -VS -(VxF) .

(VxVs )x F д2 ( dF, dF Л д2 ( dFv dF Л

dydz I ду dz

—- +—-dz ду

д2 (F +dFL]_.д2.(F+dFL

dxдz \\ дх дz ) ду2 ^ дz дх

д2 ( дF дFy Л д2 (дF дFy Л

дхду I дх ду

ду дх x(Vx]

k -Vx(V S х F )-V s x(Vx F ) = V s (V- F )_V(V s • F ) .

graddivs F = V(VS • F) = VS x(VxF)+(V-Vs)F . gradsdivF = Vs (V-F) = Vx(VS xF) + (V- VS)F . gradsdivs F = Vs (Vs • F ) = Vs x (Vs x F ) + AsF . rotrot s F = V x (Vs x F ) = VS (V-F )_(V-VS ) F . rotsrot F = Vs x(Vx F) = V(VS - F )_(V-VS ) F . rotsrots F = Vs x(Vs x F) = Vs (Vs ■ F)_ AsF . rotsgrads W = Vs x VSW = 0 . divsrotsF = Vs -(Vs xF) = 0. Vs (VW) = WVSV + VVSW + VV x* VW . Vs -(WF) = WVs - F + (VSW) - F + VW - (Vx* F).

Известные методы не позволяют получить аналогичные формулы для выражений Vs (F - G), Vs-(F x G) , (G-Vs )WF, Vs x (WF), Vs x (F x G), (G-Vs )F, As (VW ) . Для их получения, а также для

решения других задач существующий арсенал средств операций с векторами может быть расширен за счет введения в рассмотрение линейной комбинации координат и ее деления на вектор, нулевого и мнимого нулевого векторных дифференциальных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов.

В результате операций над векторными функциями, - например, скалярного произведения, взятия дивергенции и т.п., - появляются скалярные функции вида

^с =(К + жу + )с. (6.1)

Такая функция называется линейной комбинацией координат. Ее особенностью является то, что подобные, входящие в состав слагаемых Жх , , Жг, не приведены.

Пример 6.1. Wс = F ~ G = (ху2 zi + уг2] + yk) ~ (zi + ху\\ + zk) = (ху2 г2 + ху2г2 + уг ) - линейная

комбинация координат, а W = 2ху2г2 + уг - линейной комбинацией координат не является.

Здесь и далее волнистой чертой «~« помечена операция, результатом которой является сумма с неприведенными слагаемыми.

Может быть введена операция деления линейной комбинации координат на вектор.

W , (wx + + W) WWW

F = ^L = wc -G-1 = ^-у--tc = vLLi + j + k .

G С Gx i + Gy J + G-k Gx G/ G2 Действительно:

F G = W , FG = W , FG = W , F =-*-, F = —, F = —,

х x x & у у у& zz z & x х G G G

(Жх. Жу . Ж

—1 + —-1 + — К , G G G

V х у ^

+ Gy 1 + ^к ) = Жс .

Жс в отличие от Ж содержит информацию, достаточную для восстановления одного из векторов-сомножителей при известном другом.

Е-С (^х + ^у + )с ЕхЯ{ + ЕЯ + ЕЯк г

С Gх 1 + Gyj + Gz к Gх Gy Gz &

Пример 6.2. См. данные примера 6.1.

Е _(ху&г& + ху&г& + уг )с _ хУ1£11 + хУ1£11 + Я к _ ху ■ г1 + уг=1+ук.

я + ху\\ + гк г ху г

Линейную комбинацию координат можно делить на любой вектор, а не только на один из сомножителей, которые ее образовали

Е-с _(тх + ^у + )с _ ЕЯ 1+ЕЯ + к

Н Нх1 + НУ1 + Н2 к Нх Ну Не

( ху2 г2 + ху2 г2 + уг ) ху 2 г 2 ху 2 г 2 уг 2 г 2

Пример 63. Е _ 4 2 2&-:--с _ Л 2 21 + —-1 + — к _-1 + хуЕ1 + к .

где а, Р, у - постоянные коэффициенты. Последнее выражение может быть получено из (6.1) следующим образом

ЖС _Т-Ж-Тг(а1 + Р1+ У к)_(Жх1 + Жу1 + Жгк)-(а1 + Р1 + у к)_(аЖ + рЖу +уЖг)с. 1 +1 + к

Может быть рассмотрена следующая задача. Имеются две линейные комбинации координат

Жс и Vс. Найти формулы, связывающие Жс и Vс с выражениями (ЖхУх + Ж}Уу + Жу^ ) и

{жуу + Ж/, + Жух )С.

Для решения этих и подобных задач может быть введен нулевой векторный оператор

Х7 Э ^ Э ^ Э 0 . ■ ■ .

V 0 _—к 1 + —к 1 + —к к _ 1 +1 + к .

Верхние индексы «0» в выражении означают частные производные нулевого порядка, т.е. производные берутся ноль раз. Некоторые свойства.

V 0и _ Щ + Щ + ик .

Эта величина может рассматриваться в качестве нулевого градиента С0 функции Щ. С0 _ gradoU .

Vo -Е _К _(Ех + Еу + Ег)с .

Эта величина может рассматриваться в качестве нулевой дивергенции векторного поля Е. ^Е - Е

V0 XЕ _(Ег -Еу) 1 + (К -Ег) 1 + (Еу -К)к

Эта величина может рассматриваться в качестве нулевого ротора векторного поля F.

го^ = Уо х F .

У о • (У о х F) = ¿УоМо F) - 0. Из (6.2) W

__с =у-1 ^ + Wy + W2 )с = Wxi + Wy 1 + Wгk = W

Уо -(уо1 • Wc ) = Wc .

У-1 •(Уо -F) = F .

У о1 •(У о- у о ) = У о.

э2 э2 э2 - +-+ Уо •У5 =

ЭyЭz ЭxЭz ЭхЭу

У о1 • (У о - У 5 ) = У 5 .

э э э

Уо •У = — + — + —. эх ду

У о1 • (У о - У) = У .

^7-1 Л э 2 . э 2 . э2

У о1 •Д =—г1 + —г 1 + —г к .

о эх2 эу2 Эz2

Уо • (Уо1 •Д) = д.

У о хУ 5 =

( э2 э2 V Г э2 э2 V Г э2 э2 ^

эхэу ЭxЭz у I ЭyЭz эхэу у I ЭxЭz ЭyЭz

Уо хУ =

Г э _ э ^ Эz Эу

+& эх +

Г э э ^

Эу Эх

У о х (Уо1 •д) =

ч ЭУ , ч

Эх2 Эz

уху=уху = &о

у о Л1 у о у о Лп у о

У х* У,

у о •

Возвращаясь к задаче, приведенной в начале параграфа:

(WxVx + WyVy + WzVz )с = (уо1 • Wc) - (уо1 • Ус),

(ЖхУу + ЖуУ + ЖУх)с =Уо -[(уо1 • Wc)х1 (уо1 •Ус)].

Таким образом, применение нулевого векторного оператора позволяет решать подобные задаПредставление полного дифференциала функции с помощью векторных операторов

dW =-Сх +-dy +-dz = (У W) • (У^ • dS1).

Эх Эу Эz

Здесь С51 - полный дифференциал элементарной симметрической функции 51 = х + у + 2 .

С помощью нулевого векторного оператора можно, например, преобразовать вектор в линейную комбинацию координат, выполнить некие операции, а затем результат преобразовать обратно в вектор. И наоборот: сначала линейную комбинацию координат преобразовать в вектор, выполнить векторные операции, а результат преобразовать в линейную комбинацию координат.

Может быть рассмотрена следующая задача. Имеются линейная комбинация координат WС и вектор F . Найти формулу, связывающую WС и F с выражением FxWyi + FyWz. + FzWxk . Для решения подобных задач может быть введен мнимый нулевой векторный оператор

™={5-1 №к }={1!+!й+{к}.

Его главное отличие от оператора V 0 заключается в том, что псевдоорты (мнимые орты) ф , 1!, {к} с ортами 1, Ш, к не взаимодействуют, а взаимодействуют только с псевдоортами. Поэтому правила применения оператора {V 0} по отношению к векторам такие же, как и оператора V 0 в отношении линейных комбинаций координат.

Некоторые свойства {V0} .

^0}и = и {1} +и ш + и {к}.

Эта величина может рассматриваться в качестве мнимого нулевого градиента ^0} функции и. ^ 0} = {^и} = {V 0}и.

= {V;;1} • (Wx + wy + wI )с = Wx {1} + wy {.+wI {к}.

!Vo!-({V;1} ) = wc. {V Л •({V 0} - {V 0}) = {V 0}.

— = {V;1} • F = ¥х 1{1} + ¥у.{.} + ¥2к {к} . 0}

•({V;1} • Е) = Е .

{^} X ({V;1} • Е) = (^к - Fyш) {1} + (Fxi - ^к) {.} + (Fyш - Fx 1) {к} .

д2 д2 д 2 {V-1} • V, = —1{1} +—.{.} + — к{к} .

дудг дхдг& !Vo! •({V-1} •V, ,.

дхду

{Ч! x({v-1! •V,)

к Б ! & дхду дхдг ^

д д д •V—1{1!+—ШШ+-к{к}.

дх ду дг !Vo! •(!V01! •v) = v.

{1} +

дудг дхду

Ш +

дхдг дудг

д , д . ( д . д , . ( д . д Л

ду дх

^(Ю= к. {I, + ,к. +

дг ду

д2 д2 д2 {V-1} -д = — {1}+— {.}+-2 {к}.

дх ду дг

{V0! • ({V-1} •Д) = д.

{Vo! X ({V-1} •д) =

\\дг2 "ду2 J{I! \\

дх2 ~д~2

Ш +

уду дх ,

í 52 52 Л ( Я2 Я2 ^

{VolxTiv-1}• (v-1 • д)] = | —-kj {i} + iк {j} + ji {к}.

{Vo}-[{Vo} x({V-1}-Wc )] = 0.

{V } x* {V }

{Vo}Xj {Vo} = {Vo}xn {Vo} = { o}2{ o} = {Vo}.

Возвращаясь к задаче, приведенной в начале параграфа:

FxWyi + FyWzj + FzWxk = {Vo} • [({V-1} • F) x: ({V-1} r Wc )] .

Таким образом, применение мнимого нулевого векторного оператора позволяет решать подобные задачи. Другими словами, применение {Vo} позволяет сохранить орты исходного вектора.

Применение мнимого векторного оператора приводит к появлению псевдовекторов. В частности, {i}, {j}, {k} являются псевдоортами.

Определение 9.1. Псевдовектор - это скаляр, в котором содержится информация о включенном в него векторе.

Псевдовектор может быть обозначен следующим образом:

^ = ^{P} = Aí P i + Pj + *k} .

Из представленных выше выражений значительная часть является комбинированными векторами, т.е. сочетаниями векторов и псевдовекторов.

Комбинированный вектор может быть обозначен следующим образом:

* = & {P} f

Нижний индекс содержит информацию о направлении вектора, верхний - информацию о направлении псевдовектора.

При выполнении операций с комбинированными векторами орты взаимодействуют с ортами, а псевдоорты - с псевдоортами. Орты и псевдоорты между собой не взаимодействуют.

При умножении комбинированного вектора на другой комбинированный вектор могут использоваться следующие четыре формы записи операций умножения:

«{•} •», «{•} x », «{x} • », «{x} x ».

Действие знака произведения, расположенного в скобках, распространяется на псевдовекторные составляющие комбинированных векторов, а расположенного за скобками - на векторные.

Пример. (Wx{i}j + Wy{j}k + Wz{k}i){•}x (Vx{i}k + Vy{j}i + V;{k}j) = WxVxi + WyVyj + WzVzk .

При перемножении псевдовектора и комбинированного вектора нет необходимости размещения знака произведения в скобки. Очевидно, что знак произведения « • » или « x » в этом случае распространяется на псевдовекторные составляющие.

Величина

diYo{F} = {V o} r {F} = ( Fx + Fy + F2 )c

может рассматриваться в качестве мнимой нулевой дивергенции мнимого векторного поля {F}. Она совпадает с нулевой дивергенцией векторного поля F.

Величина

roto{F} = {Vo}x {F} = (F2 - Fy){i} + (Fx -Fz){j} + (Fy -Fx){k}

может рассматриваться в качестве мнимого нулевого ротора мнимого векторного поля {Е}.

ТО • (ТОх {Е}) = dlv0{(rot0{F})} - 0 .

С помощью мнимого нулевого векторного оператора можно преобразовать вектор в комбинированный вектор, выполнить некие операции, а затем результат преобразовать обратно в вектор. И наоборот: сначала комбинированный вектор преобразовать в вектор, выполнить векторные операции, а результат преобразовать в комбинированный вектор.

V, (F • G) = V;1 • {[V-1 • (■V, - F)] - G + [ V-1 • (■V, - G)] - F} +

Gх1 (VS хЕ) + Е х1 ^ хG) + (VхI Е)х1 (VхII G) + (VхI G)х1 (VхII Е) +

{Vo} • {[{V-1} • (V - Е)] х, [{V-1} • (V х О)] + [{V-1} • (V - О)] х, [{V-1} • (V х Е)]} .

V, •(Е х О) = О • (V, х Е) -Е • (V, х О) -^х. Е) • ^х.. О) +

(V хп Е) • (V ^ О) + Vo • {[V-1 • (V - Е) ] х [V-1 • (V - О) ]} .

(О • V х )ЖЕ = Е(О • V 3Ж) + Ж (О • V х )Е +

{{V-1} • [О х* (VЖ)]} • [{V-1} • (V - Е)] + [О х* ^Ж)] хп (V х Е).

При этом

{{V-1} • [О х* (VЖ)]} • [{V-1} • (V - Е)] = V-1 • {[О х* (VЖ)] - [V-1 • (V - Е)]} . [О х* (VЖ)] хп (V х Е) = [О ^ ^Ж)] хп (V х Е) + [О хп (VЖ)] хп (V х Е).

Vх х (ЖЕ) = V3Ж х Е + ЖVх х Е + [{V-1} • ^Ж)] • {{^} х [{V-1} • (V - Е)]} + (V х! Е) х! VЖ + VЖ хп (V хп Е).

Vх х (Е х О) = (О • Vs )Е - О(Vх • Е) - (Е • VS)G + Е^х • О) + {V-1} • (V - Е) • [{V-1} • (V х* О)] - {V-1} • (V •* О) • [{V-1} • (V х* Е)] + (Vх: Е) х ^ О) - ^хп Е) х ^хп О).

(О • Vs )Е = ({V-1} • О) • ({V-1} • V* • Е)+ О хп (Vs х Е) = V-1 • {о - [V-1 • (- Е)]} + О х п (Vя х Е)

Ах (УЖ) = (А3Г)Ж + (А3Ж)У + 4(VУ) • (V3Ж) +

Без применения «расщепления» векторных произведений на слагаемые, сопряжения векторов, использования линейной комбинации координат, ее деления на вектор, введения нулевого и мнимого нулевого векторных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов получить представленные выше разложения было бы невозможно.

Замечание. Несмотря на то, что в некоторых приведенных разложениях использован мнимый оператор ^0}, разложения сами по себе являются «чистыми» скалярами или векторами.

Если в некоторой области среды (поля) объемом V определена функция мощности, сконцентрированной в этой области:

P( х, y, z) = Ц! pdv =| dz J dy J p( x, y, z)dx,

V z0 y„ xo

где p(x, y, z) - объемная плотность мощности, то поверхностный градиент от этой функции представляет собой вектор Умова (вектор Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля), т.е. вектор скорости движения энергии через единицу поверхности.

U = gradsP(x, y, z) = VsP(x, y, z).

Производная функции мощности P(x, y, z) по некоторой поверхности с единичным вектором нормали n представляет собой количество энергии, проходящей через единицу площади этой поверхности в единицу времени.

= gradSP • n = VSP • n = U • n.

Пусть в некоторой области поля гравитации (или электростатического поля) для пробной массы (или электрического заряда) определена функция пространственного распределения сил F(x, y, z), действующих на нее (на него) со стороны поля. Тогда поверхностная дивергенция векторного поля F(x, y, z) представляет собой объемную плотность энергии гравитационного (или электростатического) поля в рассматриваемой точке.

divSF = VS • F = lim-.

S S AV ^0 Д V

Если для излучающего диполя с электрическим моментом pe известна функция пространственного распределения производной напряженности электрического поля по времени dE/dt (х, y, z), то величина Д |pe| rotS dE/dt представляет собой вектор Умова-Пойнтинга в рассматриваемой точке.

dE |V7 dE тт/

A\\Ре\\^"Т = A\\Pe\\VS X~T = U(X, У, Z), dt dt

где A - безразмерный коэффициент.

Заключение

Основным результатом работы является «расщепление» векторного произведения на две части - ортоположительную и ортоотрицательную. Это позволяет, в частности, в случае векторного произведения вектора на себя самого из нулевой величины, которой является это произведение, «извлечь» две ненулевые. Применение такого приема к векторному произведению оператора Гамильтона (набла) на себя самого приводит к появлению векторного дифференциального смешанного оператора второго порядка, являющегося ключевым элементом при определении понятий поверхностного векторного анализа - поверхностного градиента, поверхностной производной по направлению, поверх-ностнных дивергенции и ротора.

Введенные элементы поверхностного векторного анализа, в частности, расширяют арсенал средств для исследования физических полей, в том числе определения вектора Умова как поверхностного градиента от функции мощности, объемной плотности энергии силового поля как поверхностного дивергенции от функции пространственного распределения сил и т.д.