Спросить
Войти
Категория: Математика

ПРИМЕНЕНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОВЕДЕНИЯ КУРСА ВАЛЮТ

Автор: Галаган Татьяна Алексееевна

УДК 519.711.3 + 336.7

Т.А. Галаган, А.Л. Несин

ПРИМЕНЕНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОВЕДЕНИЯ КУРСА ВАЛЮТ

В данной статье рассматривается применение модели АР(m) для прогнозирования динамики поведения курса доллара США по отношению к российскому рублю, дается сравнение результатов расчетов для моделей различных порядков.

In this particular article the application model AR (m) for prognostication of the dynamic of the US dollar behavior in regards of Russian ruble is being discussed, compares the results of calculation for models of different orders.

В прогнозировании курса валют существуют два основных подхода:

фундаментальный анализ (комплексный анализ макроэкономической ситуации, складывающейся в мире на момент прогноза);

технический анализ (теория временных рядов).

Первый подход достаточно затратный, трудоемкий и сложно алгоритмизируемый. Получение прогноза на основе второго подхода легко решается с помощью создания программ для ЭВМ. Как правило, результаты прогноза, полученного методами технического анализа, в практическом применении по точности не только не уступают результатам, полученным первым методом, но и превосходят их.

Наиболее распространены следующие модели технического анализа: АР(т) (авторегрессионная модель); АРСС(п, т) (авторегрессионная модель скользящего среднего); АРПСС(п, m, k) (авторегрессионная модель проинтегрированного скользящего среднего).

В данной статье рассматривается применение АР(т) модели как наиболее приемлемой для прогнозирования курса доллара США [3].

Постановка задачи. Дан ряд значений курса российского рубля по отношению к курсу доллара США: y1, y2, y3,..., yN, где N - длина исходного ряда (интервала), т.е. количество значений, содержащихся в ряде. Необходимо спрогнозировать следующие п значений, т.е. найти значения y1+N, y2+N,...,yn+N. При этом временной период между значениями ряда остается постоянным.

Для решения поставленной задачи используем авторегрессионные модели различных порядков.

Прогнозируемые значения будем искать в виде:

y = a+^y-1 + fi2yl-2 +... + pmy-m, (1)

где a, bk, k = 1, m - коэффициенты модели; m - порядок модели.

Решение задачи сводится к нахождению коэффициентов в уравнении (1). Для этого будем использовать метод наименьших квадратов - минимизируем следующий функционал:

X(a+Yfoy-k - y)2 ® min (2)

/=m+1 k=1

Тогда для определения значений коэффициентов а, Ат найдем частные

производные уравнения (1) и приравняем их к нулю:

Лг ( т Л2

Э Е а + ЕАкУг-к - Уг

i=m+1 V к=1

N С т \\

д Е а + ЕЬкУг-к - У,

г=т+1 V к=1

N С т \\

д Е I а + ЕЬкУг-к - Уг

г=т+1 V к=1 у

■ = 2 Е (а + А Уг-1 + А У г-2 + ••• + АтУг-т - Уг ) = 0;

■ = 2 Е Уг-1(а +А1 Уг-1 + РтУ-2 + ••• + АтУг-т - Уг )= 0

■ = 2 Е У г-2 (а + А Уг-1 + Р2У-2 + ••• + АтУг-т - Уг )= 0;

N С т \\

д Е а + ЕАкУг-к - Уг

г=т+1 V к=1 у

■ = 2 Е У-т (а + А Уг-1 +А2Уг-2 + ••• + АтУг-т )-Уг = 0

Преобразуем выражения (3) и получим систему уравнений:

N - т)а + А1 Е Уг-1 +А2 Е У г-2 + ••• + Ат Е У-т - Е Уг = 0;

г=т+1 г=т+1 г=т+1 г=т+1

N N N N N

а Е Уг-1 + А Е Уг2-1 + А2 Е Уг-1 & Уг-2 + ••• + Ат Е Уг-1 & У-т - Е Уг & Уг-1 = 0;

г=т+1 г=т+1 г=т+1 г=т+1 г=т+1

N N N N N

а ЕУг-2 + А1 ЕУг-2 & Уг-1 + А2 ЕУ« + ••• + Ат ЕУг-2 & Уг-т - ЕУг & У*~2 = 0;

2 1 г-2 г=т+1 г=т+1

Е Уг-т + А Е Уг-т & Уг-1 + А2 Е Уг-т & Уг-2 + ••• + Ат Е У2™ - Е Уг & Уг-т = 0

т / 1 / , ^ г-т

г=т+1 г=т+1

г=т+1 г=т+1

Запишем систему уравнений (4) в векторно-матричной форме: а

Е Уг Е Уг ■ Уг-1 Е Уг & У-2 ••• Е У & Уг=т+1 г=т+1

N - т N Е Уг-1 г=т+1 N Е Уг-2 г=т+1 N ••• Е у/ 1 & г-т г=т+1

N Е Уг-1 г=т+1 N Е Уг-12 ,=т+1 N Е Уг-1 ■ Уг-2 • ,=т+1 N • Е 1 уг-1 уг-т г=т+1

У = N Е Уг-2 г=т+1 N Е Уг-1 ■ У-2 ,=т+1 N Е Уг-22 • ,=т+1 N • Е 1 уг-2 уг-т г=т+1

N Е у/ у У г-т _г=т+1 N Е 1 уг-т уг-1 ,=т+1 N Е 1 уг-т уг-2 г=т+1 N ••• Е у- 2 / у ./ г-т г=т+1 _

Выражая из нее вектор-столбец коэффициентов, получим:

2
2
2

г=т+1

г=т+1

= уЁ у, Ё у • у-1 Ё • уЁ у- • у(6)

Подставляя полученные значения коэффициентов в (1), находим прогнозируемые значения ряда:

Уы+1 = а + ь Ум + Л Ум-1 + ••• + РтУм-т+1

У N+2 =а + Ь1 Уы+1 + А Ум + ••• + РшУы-ш+2 (7)

Ум+п =а + Ь1 Ум+П-1 + Р2 Ум+п-2 + ••• + Ь Ум+п -т

Для получения численных значений коэффициентов модели (1) вида (6) (6) и расчета прогнозируемых значений (7) была создана программа в среде ППП МЛТЬЛБ 7^ Программно получены различные результаты, зависящие от порядка модели и длины интервал Для модели первого порядка имеем: у1 = 0,86828 + 0,96956у;-1 - прогноз на 25 дней; у1 =-0,1304 + 1,0029у;-1 - прогноз на 50 дней; у1 = 0,48779 + 0,98356у;-1 - прогноз на 100 дней

Табл^ 1 содержит прогнозируемые значения курса доллара США, полученные на основании АР (1) вида (8) Для сравнения взяты реальные значения курса указанной валютьг

Таблица 1

Результаты расчетов по модели АР (1)

Дата Фактическое значение курса доллара США Прогнозы значений

25 дней 50 дней 100 дней
10,02,11 29,301 29,233 29,209 29,262
11,02,11 29,3535 29,211 29,163 29,267
29,32 29,190 29,1179 29,275
29,258 29,170 29,0719 29,282

^ШЛ! 29,285 29,150 29,0259 29,288

Для модели второго порядка - АР(2) - имеем:

у1 = 1,333 + 0,93 142у;-1 + 0,022365у,.-2 - прогноз на 25 дней;

у1 =-0,14358 + 0,90784у;-1 + 0,095361у,.-2- прогноз на 50 дней;

у1 = 0,65538 + 1,0522^ - 0,074129у,.-2 - прогноз на 100 дней

Расчеты прогнозируемых значений моделей второго порядка представлены в табл^ 2^

Таблица 2

Результаты расчетов по модели АР (2)_

Дата Фактическое значение курса доллара США Прогнозы значений

25 дней 50 дней 100 дней

Ш^П 29,301 29,342 29,309 29,389

П^П 29,3535 29,238 29,210 29,259

29,32 29,317 29,249 29,409
29,258 29,221 29,164 29,261
16 02 11 29,285 29,293 29,191 29,431

Аналогично получаем модели третьего порядка:

у, = 1,08958 + 0,85762у,.-1 - 0,211 15у,-2 + 0,3 1465у,-3 - прогноз на 25 дней;

у, =-0,40321+0,87793уг-1 - 0,1532уг-2 + 0,28664уг-3- прогноз на 50 дней; у, = 0,28996+1,0632уг-1 - 0,23469у-2 + 0,16143уг-3 - прогноз 100 дней

Таблица 2

Результаты расчетов по модели АР (3)

1-1 Дата | Фактическое значение Рассчитанные значения для интервала

курса доллара США 25 дней 50 дней 100 дней

10,02,11 29,301 29,233 29,210 29,250
11,02,11 29,3535 29,224 29,175 29,263
29,32 29,185 29,119 29,261
29,258 29,1468 29,062 29,254

^ШЛ! 29,285 29,119 29,010 29,250

Программа также позволяет просматривать фактические и рассчитанные по модели значения в графическом виде:

Модель АР(1) для интервала 50 дней (ломаная 1 - фактические значения, ломаная 2 - поведение модели)

Полученные результаты показали, что наименее точным является прогноз модели АР(3), а наиболее точным - прогноз модели АР(2) Значение средней относительной ошибки для модели АР(2) составило 0,23%^ Рассматривая полученные результаты АР(2) относительно длины интервала, получаем: 0,1 %, 0,27% и 0,28% для 25, 50 и 100 дней соответственно •

Для других моделей среднее значение ошибки составило 0,36% - для АР(1) и 0,4% - для АР(3) По длине интервала 0,38%, 0,63% и 0,09% для 25, 50 и 100 дней АР(1); 0,41%, 0,63% и 0,15% - для 25, 50 и 100 дней АР(2)

Из этого можно сделать вывод, что для прогнозирования курса валют составление моделей выше 2-го порядка нецелесообразно •

1 Бокс, Дж. Анализ временных рядов и управление / Дж. Бокс, Г Дженкинс - М^ Мир, !974. - 406 а
2. Садовникова, Н,А, Анализ временных рядов и прогнозирование / Н^ Садовникова, Р,А, Шмойлова, - М.: Изд-во Московского гос, ун-та экономики, статистики и информатики, 2001 • - 67 а
3. Федорова, Е^ Статистический анализ динамики курсов валют // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXIX Международной конференции - СПб^ Изд-во СПбГУ, 2008, - 523 с,
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОВЕДЕНИЯ КУРСА ДОЛЛАРА США ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КУРСА ВАЛЮТ
Другие работы в данной теме:
Контакты
Обратная связь
support@uchimsya.com
Учимся
Общая информация
Разделы
Тесты