СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ СО СЛУЧАЙНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Информатика и системы управления

УДК 519.7

Н.П. Семичевская, О.И. Сергамасова

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

СО СЛУЧАЙНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Цель работы заключается в изучении нелинейных законов робастного управления нелинейными объектами со случайным воздействием. Задача исследования. Поставленная цель достигается путем синтеза нелинейных робастных алгоритмов управления на основе критерия гиперустойчивости В.М. Попова для систем с явно-неявной эталонной моделью.

SYNTHESIS OF ROBUST ALGORITHMSTO CONTROL NONLINEAR OBJECTS

WITH RANDOM EFFECTS

The purpose of the work is to study the laws of nonlinear robust control of nonlinear objects with random effects. The research task. The goal is achieved by synthesis of nonlinear robust control algorithms based on the hyperstability criterion of V.M. Popov for systems with explicit-implicit reference model.

Нередко характер воздействия на системы автоматического регулирования бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Оно может принимать с течением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях можно оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени [2]. Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом, появляться одновременно или с любым сдвигом во времени. Интерес представляют системы робастного управления нелинейными и нестационарными объектами с возмущением случайной природы. Процедура синтеза нелинейных робастных алгоритмов остается прежней [4], построенной на основе критерия гиперустойчивости В.М. Попова.

Рассмотрим нестационарный объект управления, динамические процессы которого описываются уравнениями (1) с относительной степенью передаточной функции n—m = 1.

^ = A(t)x(t) + B(t)u(t ) + fn(t), y(t) = LTx(t), z = gTy(t), (1)

где x(t) e Rn - вектор переменных состояния; y(t) e Rm -вектор выхода объекта; z(t) e R - обобщенный выход объекта, формируемый с помощью линейного компенсатора g e Rm; u(t) - управление; A(t) - нестационарная квадратная матрица состояния размерности n х n ; B(t) - нестационарный

R„ R12 R13

D = R21 R22 R23

R31 R32 R33

вектор размерности п х 1; L - матрица выхода размерности п х m ; ^ (0 е Rn - случайная вектор-функция внешних возмущений или помех, относительная степень объекта (п - m) = 1.

На объект (1) оказывается случайное воздействие в виде гауссовского процесса. Его много, „ Е, = Е (^) определяется выражением мерная функция распределения, для совокупности значений г г

а(, Х2, Xз, tl, t2, tз) =-1 3 ехР ] - т^ X ]Г Д. («) («-) 1,

где а, = )ист2 = ) - «,■ ] - среднее значение и дисперсия процесса в момент времени ;

- определитель п-го порядка корреляционной матрицы; Д. - алгебраическое доБ(^, t ) - исполнение элемента; К = ,t.) =---- - коэффициент корреляции случайных величин

- & Е(íí) и ); К,, = 1; = Я,.

Желаемое поведение объекта управления (1) задается с помощью явно-неявной эталонной модели:

= а0(t) + Ь0г(t), = gTyм , (2)

где уМ (t) е Ят - вектор выхода эталонной модели (ЭМ); zм (t) е Я - обобщенный выход ЭМ; g е Ят - линейный компенсатор; r(t) е Я - скалярное задающее воздействие; Ам - стационарная квадратная матрица состояния размерности п х п, причем Ам является гурвицевой; Бм - стационарный вектор размерности п х 1.

Будем считать, что выполнены условия структурного согласования между объектом (1) и эталоном вида (2):

А(0 = Ам + Бм РТ «)ЬТ, Б(0 = Бм (1 + «(0), (3)

где ) е Яп - нестационарный вектор, ограниченный по норме; а(:) е Я1- скалярная функция времени.

Требуется построить робастную систему управления с явно-неявной эталонной моделью (2) таким образом, чтобы при любом наборе Е е 2, при любых начальных условиях х(0) и ограниченных

возмущениях выполнялось целевое условие:

liml км (t) - x(t )|| < С

liml Ум (t) - y (t)| < s;,

где 8x , 8 y = const - некоторые относительные малые числа.

Эквивалентное математическое описание системы управления с явно-неявной эталонной моделью (2) имеет вид:

^ = AMe(t) + Вм u(t), dt

v(t) = gTLTe(t), (5)

iu(t) = r(t) - PT(t)LTx(t) - (1 + a(t))u(t) - f (t),

где е(Х) е Rn - ошибка рассогласования; \\(Х) е R1- обобщенный выход эквивалентной системы; g е - вектор, элементы которого подлежат выбору.

Матрица Ам является гурвицевой, т.е. ее собственные значения удовлетворяют соотношению:

¿е^Еп - Ам) = (^ - а0)gTLT (яЕп - Ам)+ Ви . (6)

В таком случае передаточную функцию W (я) можно преобразовать с учетом соотношения (6)

к виду:

^(,) _ gTLT(sEn - ^у1BM _ gTlL(E ")+ BM- bo(s + «0Г _ b

_LM/ M _ 1 "0/ _ ^0

&n 1M J ^M ~ л r^ л \\ _ /. \\n ~

¿ефЕ, - Ам) (я + Оо)п я+ао

Тогда необходимо и достаточно вектор g выбрать таким образом, чтобы полином gTLT (яЕп - Ам)+ Вм был гурвицевым степени (п -1) с положительными коэффициентами, что гарантировало бы выполнение условия Re W(]а) > 0, V® е (-да;да).

Рассмотрим модификацию интегрального неравенства В.М. Попова (МИНП) и получим интегральные оценки для каждого интегрального слагаемого вида

п(0,X) = £^(0, X) = -х! ^ (я И я )й (я) ds > Го2, (7)

• • 0

где 0[(Х,\\\\Х)) - положительно определенные функции; т]*(0,Х), • =1, 2, 3,4 - модифицированные интегральные слагаемые вида:

^(0,X) = -]>(я) \\(я)\\(я)|2 ds ,(8) (8)

^(0, t) _f ß T (s) j (s )\\(s)|\\( s )|2 ds , (9)

^(0,t) _ f(1 + a(s))u(s)\\(s)ds , (10)

^(0, t) (s)\\(s)\\\\(s)|2 ds , (11)

где Q _Q2 _Q _|v(s)| , Q3 _ 1, R(s) _a2eas - корреляционная функция гауссовского случайного процесса; о2 - дисперсия процесса; а > 0 определяет корреляцию (статистическую зависимость) соседних чисел.

Для моделирования гауссовского случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции используется следующий алгоритм:

x(n)_k1e(n)+k2x(n-1),k1 _yjо2(1 -k22) , k2 _ e~a,

где e(n) - значения дискретного белого гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Параметрами модели в данном случае являются дисперсия выходного моделируемого процесса о2 и параметр а, который определяет статистическую связь соседних случайных отсчетов.

Как правило, на практике исходным параметром является нормированный коэффициент корреляции

р(1) _ М _ еЛ

который определяет нормированную корреляцию соседних отсчетов случайного процесса и практически задается из интервала от 0.9 до 0.9999. Когда этот коэффициент равен 1, то все значения случайного процесса становятся одинаковыми, а когда этот коэффициент стремится к 0, то получается рассмотренная ранее модель - дискретный белый гауссовский шум.

Оценки для интегралов (8), (9) и (11) имеют вид: t

ц* (0,0 = ц* (0, t) ± Ух1(-|гС?)| (1 + а(^)) |(я)|2)ds >

, 0 (12)

h j(|r(s)|(1 + «(5))\\(5)|2 )ds,

щ (0, t) = щ(0, t) ± h2К(l + «(s))|| y (s)||2 \\(s)|2)ds >

>—h jl (l +

h j( (1 + «(s))|| y (s)||2\\( s)|2) ds,

щ*(0,t) = щ(0,t) ± h3 j( fconst(1 + «(s))\\(s)|2)ds >

t 0 (14)

>-h j (lost (1 + «(s))\\(s)|2) ds,

где введены следующие постоянные коэффициенты у1 = cons t; у3 =ocns t; у2 = const >^sup / (t) .

fcomt - оценка спектральной плотности Sf (") = — f R(r)e~&"zdr случайной функции f (t) .

Данная формула называется формулой Винера-Хинчина. В действительной форме она имеет вид: 1

Sf (") = — f R (z)cos("z)dz 2n 0 .

Запишем интегральное неравенство, используя полученные оценки:

Щ(0,t) = X^*(0,t) > h j(|r(s)|(1 + «(s))\\(s)|2)ds + h2 j((1 + «(s))||y(s)||2\\(s)|2)ds — i 0 0 t t

—j (1 + «(s)) u (s )\\( s )ds + h3 j( fconst (1 + «(s))\\( s )|2) ds =

= j[h \\r (s )| \\\\( s )| + y2\\\\y (s )||2 \\\\( s )| — u (s )sgn(\\( s )) + h3 fconst, \\( s )| ] (1 + «(s)) \\( s)| ds.

Явный вид закона управления описывается следующими формулами

u (t) = (h1 \\r (t)| + h2 IIy (t)|| + h fears, \\(t) . (15)

Выполнение условия МИНП и условия строгой положительной определенности для эквивалентной системы управления (5), согласно критерию гиперустойчивости, означает гаперустойчивость как системы (5), так и исходной системы (1), (2), (3), (15). Следовательно, имеет место и выполнение целевого условия (4).

Структурная схема робастной системы управления (1), (2), (3), (15) представлена на рис. 1.

Задающее воздействие

rtffi г2В

Manual Switch

s+4 ч

Transfer Fen

&it: -it:

Управляющее воздействие

Обобщ. выход

Робастный регул

иЩ v(t)

Ошибка рассогласован ии

Сл\\чайнэЕ вппЕЙсше

ЗадакзщвЕ воцаклне

УправлиющЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Рис. 1. Структурная схема робастной системы управления нестационарным объектом с действием случайной помехис ЯНЭМ.

Проведем имитационное моделирование системы нелинейного робастного управления нестационарным объектом с действием случайной помехи с явно-неявной эталонной моделью. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями (1), (3), (15), в которой параметры объекта управления и эталонной модели (2) в векторно-матричной форме имеют значения

, L - E3.

Коэффициенты объекта изменялись по законам:

а1 ^) = -1 + |^т(2.41)| , а) = -7 + )|,

а) = 2 + )| ,

Ь3(0 = 3 + 0.38т(4.50 .

Определим спектральную плотность Sf (а) гауссовского случайного процесса по формуле

( 0 1 0 > ( 0 > ( 0 ^

A (t) = 0 0 1 , B(t) = 0 , f (t) = 0

v a,(t) a2 (t) a3(t) v v b3(t) v v f3(t) v

S (а) - — f R(T)e-,шЧт . 2п J

&(а) = 27 f

S,(а) - — | a2e-aT-imTdz - — ^ | e(a-ia)Tdz + | e-<a+ia)Tdz

- + 1

т.е. в этом случае 5Г(а) = 2 А—-, А = , а>0,а > 0.

f > 29

J const у ■

Эталонная модель была задана в виде:

( 0 1 0 > ( 0 ^

AM - 0 0 1 , BM - 0

V-24 - 26 - 9 v V 1 v

Синтез системы с явно-неявной эталонной моделью связан с выбором компонент вектора £для обеспечения условия положительности ЛСЧ вида:

gTLT (^ - Лм)+ Вм g3s2 + g25 + gl

S + ^2S + gl

ае1(5Е3 - Лм) 53 + 9^2 + 265 + 24 (5 + 2)(5 + 3)(5 + 4)& согласно которой были получены компоненты вектора ^ = (5 6 1) . Нестационарные параметров объекта управления заданы в виде: рт(0 = (23 + 2sin(2.4t) 19 + 0^т(5^) 11 + 1^ш(7.80) ,

а(0 = 2 + 0^т(4.5г), \\РТС)|| < 39.13, Ы$)<2.5.

Задающие воздействия были сформированы следующим образом:

( г „ \\\\

sin \\ — t 2

r(t) = r0 sign

Параметры робастного регулятора (16) были заданы

Randn-m МыгпЬег

KJD fit)

Рис. 2. Реализация случайного воздействия с помощью блока RandomNumber.

У = У2 =100, Уз = 5.

Имитационное моделирование осуществляется при помощи входящего в состав математического пакета MAT-LAB средства визуального моделирования SIMULINK.

Случайное воздействие реализовано с помощью блока RandomNumber (рис. 2).

Структурная схема нестационарного объекта представлена на рис. 3.

Рис. 3. Реализация нестационарного объекта. Структурная схема робастного регулятора представлена на рис. 4.

oammal 100 —-►

V. gamma2

даттаЗ

Рис. 4. Реализация робастного регулятора.

Разработанная система представляет собой пакет программ, состоящий из следующих т-файлов.

Файл mterfeis.m - файл запуска системы. Он запускает программу и предлагает пользователю осуществить выбор необходимого случайного воздействия (рис. 5).

Я Имитационные модели систем нелинейного робастного управления нестационарным объектом со случайными воздействиями

I сэ Дм

Имитационные модели систем нелинейного робастного управления со случайными воздействиями с ЯНЭМ

е- Система нелинейного робастного управления нестационарным объектом с воздействием гауссовского случайного процесса

Система непинейного робастного управления нестационарным объектом со случайным воздействием с равномерным распределением ■ Система нелинейного робастного управления нестационарным объектом с воздействием белого шума

Далее

Справка

Выход

Рис. 5. Главное окно программы.

Для каждой из моделируемых систем внешний вид окна будет отличаться лишь заголовком окна и набором параметров модели. Внешний вид окна управления моделированием показан на рис. 6.

вателю.

Рис. 6. Окно управления моделированием. Файл help.m - запускает окно, содержащее всю справочную информацию, доступную пользо.

Результаты проведенного имитационного моделирования представлены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 8. Выходы объекта и эталона для системы.

Рис. 9. Управление и ошибка рассогласования для системы.