ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮЭЛЛА – УАЙТХЕДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСЕЧЕННЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

УДК 517.9

Т.В. Труфанова, Д.А. Томчаковская

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮЭЛЛА - УАЙТХЕДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСЕЧЕННЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

В статье рассматривается метод построения точных решений нелинейных уравнений математической физики с использованием усеченных разложений на примере уравнения Ньюэлла-Уайтхеда, представляющего собой уравнение реакции-диффузии и описывающее изменение концентрации.

In the paper the method of construction of exact solutions of the mathematical physics equations with use of the truncated expansions on an example of the Newell-Whitehead equation representing the equation of a response-diffusion, describing a modification of concentration of substance is considered.

В ряде случаев для построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и поиска преобразования Беклунда, линеаризующего исходное уравнение, оказывается полезным использовать усеченное разложение

Wo + W

w = —- +-v + ... +

— — 1 &у

x p x p-i p

которое соответствует нулевым значениям коэффициентов разложения «т при проверке на

Ж, О^Е^«« Х = Х(Х, Г) >

свойство Пенлеве в Х при т > р [1]. Проиллюстрируем

сказанное на нелинейном уравнении Ньюэлла - Уайтхеда, используемом для анализа конвекции Релея-Бенара:

« =« + а*~ Ь«. (2)

Проверим уравнение (2) на выполнение теста Пенлеве. Первый этап. Подставим в (2) главный член разложения

Ю = щ£~Р, « = «о (г), Х = х - хо (). Получаем

«ХР+р«о ХоХ"Р-1 = р(р+1)*оХ"Р-2 + «ХР - Ь«А~Ъ Р,

а затем обе части полученного выражения умножим на Х . Имеем

«оХ+р*Хо£ = р(р+1)*о + а«оХ - ь*Х~2р+2,

где Х = х — Хо, Хо = Хо (г ), «о = «о (г ).

Из баланса старших членов находим

р =1 «о = ±А 2 (т = о). V Ь

Так как р - целое положительное число, то первое необходимое условие теста Пенлеве выполнено.

Второй этап. Поскольку уравнение инвариантно относительно замены ( на - (,

достаточно рассмотреть положительное значение (о. Поэтому для определения резонансов подставим двучлен

(= 2 Г1 + (ХИ"1 V ь

в ведущие члены (хх и Ь(. Пересчитав производные

(х =-д 2 X"2 + ( (т - 1)Х-2,

( = \\ 2 Х + (т (т - 1)(т - 2)Хт-3,

получим

£-1 I ^ ет-1 \\~Х + (тХ

При (тХ получим выражение((т 1)(т 2) б)(тХ .

Приравнивая нулю ((т- 1)(т -2)-б), находим индекс Фукса т1 = 4 Поскольку он целый и положительный, то второе необходимое условие Пенлеве выполнено.

(=■, — X-1 +( +(2Х+(3Х2 + (Х +...

Третий этап. Подставляя разложение *ь в исходное

уравнение, можно показать, что условие совместности не выполняется, поэтому рассматриваемое уравнение не удовлетворяет тесту Пенлеве.

Усеченное разложение для поиска точных решений.

Для дальнейшего анализа используем усеченное разложение общего вида (1) при р =1

(О = ю0Х~1 +(. (3)

Подставляем в исходное уравнение, получаем

((о и- - (°0ХхХ~2 + (( \\ = (0 )ххХ~1 - 2(0 )хХхХ~2 + 2(оХХХ_3 - (оХххХ_2 + (( )хх + « • ((оХ_2 + ( )- ь •((0Х"1 + ( Г

«Собирая» члены при одинаковых степенях £ и приравнивая их к нулю, приходим к системе уравнений:

Х"3:(0(Х -ь() = 0,

Х"2 : (0Х = 2((0 Ух + (0Ххх + 3Ь((Щ, Х- : (( \\ = (( )хх + ( - 3ь ((,

Х°: ((1 \\ =(()хх + а( -ь(. (4)

Из первого уравнения имеем

¡2 Х (0 = \\ Т Хх

(второе решение, отличающееся знаком, не рассматривается, поскольку в итоге приводит к точно

такому же результату). Подставив найденное «о во второе и третье уравнения системы (4) и сократив на ненулевые множители, получим

Х = зХхх + зь -v ь

Х = 3ХХХХ + - 3Ь ХХ«. (5)

Последнему уравнению системы (5), которое совпадает с исходным уравнением, можно

удовлетворить, если положить « = о или

Подставив значения «о и « в формулу усеченного разложения (3), для решения имеем следующее представление:

« =-« =л\\—Хх, п

где функция £ описывается переопределенной системой уравнений (5), которая получается в результате подстановки«1 = о :

Х = зХхх ,

Ххг = Хххх + аХх.

Продифференцируем первое уравнение по х, второе перепишем без изменения

Хх= 3Х ,

Х = Хххх + аХх,

а затем исключим смешанную производную Хгх с помощью второго уравнения. Получим:

Сделаем замену

Хх = u,

имеем

Для решения уравнения сделаем подстановку

и = вАх+^Ж (х, Г), получим

(21 - а Ж(х, Г)+4ЛЖХ (х, Г)+2ЖХХ (х, Г) = о, из которого найдем параметр X: 1 = о и а = о.

Тогда уравнение примет вид: Жхх (х,Г ) = о.

Проинтегрировав дважды, найдем функцию Ж (х,Г):

Ж (х, Г ) = ^(Г )+ф2 (Г).

Тогда

и = ет (л(г )+ъ (()).

Возвращаясь к исходным переменным, получим

Х = ¡1(1 )х2 + /2 (()х + ¡3 ().

Для определения функций подставим выражение

/1(1)х2 + /2 ()х + /3 (г)

в систему

уравнений (6). Получим

Л(()х2 + /2 ()х + /3 (0 = 6 /1(1),

Приравнивая к нулю функциональные коэффициенты при разных степенях х, а затем интегрируя соответствующие уравнения, имеем:

х2 :/1(1) = 0 ^ /1 = С!, х1:/ (1) = 0 ^ / = С2, х0:/3 (0 = 6/1 (0 ^ /3 = 6С1 1 + С3, С ,С ,С где С1, С2, С3 произвольные постоянные. Подставив в формулу усеченного разложения (3),

находим точное решение уравнения:

(0 = Jb(2С>Х + С2 )

Clx + С2 x + 6Cj t + С3

W = ми

Рассмотрим случай V b

Ь гw Vb + a ¡2x a

где функция £ описывается переопределенной системой уравнений (5), которая получается в

результате подстановки V b

x= зХхх+3V20Xx,

Xxt = Xxxx + 2aXx . (7)

Продифференцируем первое уравнение по x, второе перепишем без изменения:

Xx = 3Xxxx + 3jlaXx,,

X = Xxxx + 2aXx,

а затем исключим смешанную производную Xtx с помощью второго уравнения. Получим:

Сделаем замену

получим

u = e1x+mW (x, t), получим:

Проделав элементарные преобразования, придем к уравнению

(2 А2 + з42а1 - 2а (х, Г)+ (4А + 3^2а )жх (х, Г)+ 2ЖХХ (х, Г) = о, из которого находим параметр X А = о и а = о.

Жхх (х, Г )) = о.

Проинтегрировав дважды, найдем функцию Ж (х,Г):

Ж(х, Г ) = р (г )х + р2 ( ).

Тогда

и = вт<р(г )х + р2 (г )).

Возвращаясь к исходным переменным, получим: Х = )х2 + /2 (г )х + /з (г ).

Для определения функций Л (г ) подставим выражение /1 (г )х 2 + /2 (г )х + /3 (Г).

в систему

уравнений (7). Получим

/1 (()х2 + /2 (^)х + /З (0 = 6 /1(Г),

Приравнивая нулю функциональные коэффициенты при разных степенях х, а затем интегрируя соответствующие уравнения, имеем

х2 :/1(г) = о ^ /1 = С1, х1:/ (г) = о ^ /2 = С 2, хо :/3(Г) = 6/1(() ^ /3 = 6С1 Г + С3, С ,С ,С где С2, Сз произвольные постоянные. Подставив в формулу усеченного разложения (3), находим точное решение уравнения:

+ а = Л(2С|Х+С&

со = ——-— +, — =

Х \\Ь С1х + С2 х + 6С1Г + С3

Таким образом, мы нашли точное решение уравнения Ньюэлла - Уайтхеда с помощью усеченных разложений.