Спросить
Войти
УДК 514.13
А.П. Филимонова, Т.А. Юрьева
ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ С ЗАДАННОЙ
ГАУССОВОЙ КРИВИЗНОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
В статье приводится доказательство теоремы, обобщающей теоремы единственности решения отрицательно эллиптичных уравнений на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, связанных с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией гауссовой кривизны.
GENERALIZATION OF TASK OF RESTORING SURFACE WITH THE GIVEN GAUSSIAN CURVATURE IN CONSTANT CURVATURESPACE
The article provides theorem proving. Generalized theorem of uniqueness of solution of adversely elliptical equations on the sphere as a two-dimensional manifold in constant curvature spaces, related to the restoration of surfaces, homeo-morphic sphere with a given function of the Gaussian curvature.
Рассмотрим трехмерное гиперболическое пространство Н3 постоянной отрицательной кривизны. Зафиксируем в нем некоторую точку О. Пусть, далее, Sf сфера единичного радиуса с центром в этой точке. Будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомеоморфных сфере S12 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольную поверхность этого класса можно задать уравнением: F: р=р(и, v), где р, u, v - сферические координаты в И3.
Линейный элемент пространства И3 в сферических координатах имеет вид: ds2 = dp2 + sh2pcos2 vdu + sh2pdv2 (постоянная k пространства Н3взята равной единице).
Тогда коэффициенты первой квадратичной формы поверхности F имеют вид:
g11 = рр + sh2pcos2 v, g12 = pupv, g22 = pp + sh2p . Известно, что гауссова (внутренняя) кривизна
поверхности выражается через коэффициенты ее первой квадратичной формы и их производные следующим образом [2]:
где R1212 2
ЭvЭu ЭuЭv Эv2 Эи2 j
+ gem -(г -Г -Г -Г )
^<5 V1 2m1 1e2 1 2m 2 -"-161/&
Г.. = 1
f ¿go , dSoj Э ^
м о I о о -о v dxj dx& dxo у
, x = u , x = v; i, j, ae {1, 2}; gem - элементы матрицы \\\\gem\\\\ ;
e, me {1, 2}.
Рассмотрим Sj как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u и v каждой карты выполнялось неравенство cos v > x > 0 .
Тогда, если в Н3\\{0} определена функция Kmt(u, v, р), то р= p(u, v), задающая поверхность F, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции Kmt в той же точке, является решением уравнения, которое на сфере Sj имеет следующий вид:
+ shp- chp) + &.
Р11Р22-Ри (2cthp • pi + shp • chp) + 2pi2 • 2pupv • cthp -P22 x
i p2 Л2
x(2cthppp + shpchpcos2v)- pv2cosv + + 2pp + 2pv2cos2v + shpcos2v = (1)
v cosvу
(p2cos2 v + p2 + sh2pcos2 v)
Здесь pij (i, je {1, 2}) - вторые ковариантные производные функции p(u, v) относительно метрики единичной сферы Sp [3].
Таким образом, геометрическая задача о восстановлении поверхности F в пространстве Н3, гауссова кривизна которой в каждой точке равна значению Kmt в той же точке, сводится к нахождению достаточных условий существования и единственности решения дифференциального уравнения Монжа - Ампера (1).
Уравнение (1) является отрицательно эллиптичным уравнением Монжа - Ампера при условии: Kint>-1 (Kext>0) [3].
Единственность замкнутой выпуклой поверхности с данной гауссовой кривизной как функцией точки пространства И3 выражается теоремой [3]:
Теорема 1. Пусть в И3\\{0} задана функция Kmt(u, v, р) e C1 (S12 XR +), удовлетворяющая следующим условиям:
Тогда существует не более одной поверхности F: р=р(и, v), в каждой точке которой гауссова кривизна совпадала бы со значением функции Kmt в этой точке.
Введем на единичной сфере S2 как двумерном многообразии обобщенное уравнение Монжа
- Ампера:
Р11Р22 ~Рп -Ри [f(Р)- PI +j(p)-j ( u, v )] + 2Р12& f (p)pupv -Р22 X
X[f (Р) • pl + (Р(Р) • j (u,v)] + D(u,v,p,Pu,pv) = y(u,v,p) • D1 (u,v,p,Pu,pv).
В уравнении (2) (u, v) e S2 (локальные географические координаты),pj (i, je {1, 2}) - вторые
ковариантные производные функции p(u, v) относительно метрики единичной сферы S2, p e R + . Наложим на функции ф(р), (ß\\(u, v), ^(u, v) условия: ф(р)>0, f\\(u, v)>0, tyi(u, v)>0. Уравнение (2) является отрицательно эллиптичным уравнением Монжа - Ампера, если
AC -B2 -D + yD1 > 0 . Здесь D = D(u, v,p,pu ,pv),D1 = D1 (u,v,p,pu ,pv); А, В, С являются соответственно коэффициентами при -р11, 2р12, -р22.
Действительно, квадратичная форма (рц -/р)-р1 -—(р)—1 (иV))а2 -2(ри -/(р)риру )ар + +(Гп -/(Р)-Рр -—(р)—2 (u,V))02 имеет дискриминант
(р22 - А)(рп - С )-р2 - В )2 =РиР22 -Р122 - АРп + 2 ^12 - С р22 + АС - = = АС - В2 - Ъ + уЦ,
что следует из уравнения (2).
В силу условия АС - В2 - Ъ + уЪ1 > 0 эта форма определена. Атак как в точке максимума функции р(и, V) имеем р22 £ 0, -А<0 /р), ф(р), ф1(и, V) - положительные функции), то данная квадратичная форма отрицательно определена. Следовательно, уравнение (2) отрицательно эллиптично. Докажем единственность решения обобщенного уравнение (2).
Теорема 2. На $1 уравнение (2) имеет не более одного решения р=р(и, V), если выполняются следующие условия:
Ъ -уЪ1
> 0, Ъ = Ъ(и,V,р,Юи (), А = Ц (и,V,р,Юи (), где 0 = | —рр, (ф(р)).
Доказательство. Замена 0 = Г—влечет за собой равенства: ри = Ю—(р), ру = (0—(р),
* р(р)
Р11 =0цр(р)+02иР (Р)Р(Р) , Р12 =012—(р)+0и0Р (Р)Р(Р), Р22 = 022—(Р)+0—&Р)Р(Р) .
Вместо ри , р, р11 , р12 , р22 в (2) подставим данные выражения, в результате чего после преобразований получим уравнение для (:
(о -(1 [орР&(Р)"Рр -о(—(р)/(р)-— (и,V)] -2(2 ((—(р) - Р(Р) / (Р)0и0 ] +
+(22 [°и—&(Р)-р(Р) / (Р) • -- —2 (U, V )] + (3)
+ Р(иVр,(и() =у(и v р) Ъ1 (иVР,(и() +-^- = y(U, V,р)--^-,
Р (Р) Р (Р)
где р=р(ю(и, V)).
Уравнение (3) отрицательно эллиптично. Доказательство этого факта аналогично таковому для уравнения (2).
Допустим, что (3) имеет два различных решения о = о(и, V) и о = (~(и, V), разность которых обозначим через 8:8 = 0 - о.
Тогда 0 = 8и + (и , 0 = 8 +0 , 011 = 811 + (11 , 012 = 812 + (12 , 022 = 822 + (22 . При
выполнении условия теоремы —(р)- / (р—(р~) = С (и, V) (независимость данного выражения от р) и применении теоремы о конечных приращениях 8 удовлетворяет линейному однородному уравнению:
(( + A + ( + A)-du (( + Bi + (ou + B) + 2 d22 (( + С +Wi + С)+
+ Fi (u, v )d +Ф 2 (u, v )dv +
j (p)d = 0.
л & (4)
Б-уД"
_ Л"
В (4) А, В, С и А\\, В\\, С\\ - коэффициенты при (Оп , - 2(12, (22 и (п, - 2(12, (22 соответственно в уравнении (3) для (0 = ю(и, V) и (О = (о(и, V). Знак л означает, что соответствующая функция вычисляется в промежуточной точке.
Уравнение (4) является отрицательно эллиптичным, что обеспечивается отрицательной эллиптичностью уравнения (3) на решениях ( = ((и, V) и (О = (~(и, V).
Из условия теоремы 2
j(p) > 0. В силу принципа максимума, рассмотренного
для линейного однородного отрицательно эллиптичного уравнения (4) относительно d на S как
компактном многообразии, имеем о = 0. Отсюда p — p = —~— = 0, следовательно, p = p . Един(r
ственность решения обобщенного уравнения (2) доказана.
Следствие. Допустим, что S12 - единичная сфера с центром в некоторой фиксированной точке О трехмерного евклидова пространства Е3. Будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомео-морфных S12 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого
класса задается уравнением: F: p=p(u, v), где р, u, v - сферические координаты в Е3. Рассмотрим S12 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: sin u > x > 0. Тогда, если в Е3\\{0} определена функция K(u, v, р) е (S12 XR + ), то p=p(u, v), задающая поверхность F, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции K в этой же точке, является решением отрицательно эллиптичного уравнения типа
Монжа - Ампера, которое на S12 имеет следующий вид [1]:
p11p22 -p12 -p11 -+ 2p12 & 2--p22--=
í 2 (5)
í 2 • 2 2 2 • 2 \\2
pu sin u + pv + p sin u 2 2 2 2 2
= K(u, v,p- 2- - (2p2 sin2 u + 2pp + p sin2 u)
sin u > 0 .
Существует не более одной поверхности F: p=p(u, v) указанного выше класса, гауссова кривизна
которой в каждой точке совпадает со значением функции K в этой же точке, если выполняются условия: /
Ке С[K (p)]p£ 0.
Действительно, уравнение (5) - частный случай уравнения (2). Здесь 2
j(p) = p, /(p) = — > 0, j1 (u, v) = sin2 u > 0, j2 (u, v) = 1 > 0; p
j (p) - /(p)j(p) = 1---p = -1 = const (не зависит от р);
Б -уБ1
{(2а2р2 зт2 и + 2а>1р2 + р2 зт2 и)
= (-кр2) р («2 зт2 и + а + зт2 и)2 . 2 > о
при условии
[кр2 < 0. Здесь а = |
Результат следствия совпадает с результатом работы [1], где теорема единственности решения уравнения (5) была доказана геометрическим методом.
Замечание. Можно показать, что из теоремы 2 для обобщенного уравнения (2) вытекает также результат теоремы 1 для уравнения (1). Результатом теоремы 2 можно воспользоваться при решении аналогичной геометрической задачи в эллиптическом пространстве Э3. Условием единственности
поверхности является: \\Kexttg р\\р
