Спросить
Войти
УДК 514.13
А.П. Филимонова, Т.А. Юрьева
СВОЙСТВО ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ ВНЕШНЕЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
В статье рассматривается задача о восстановлении регулярной выпуклой поверхности по функции ее внешней кривизны в трехмерном пространстве Лобачевского. Доказывается возможность применения процесса получения априорных оценок вторых производных решения соответствующего эллиптического уравнения Монжа-Ампера.
CONVEXITY PROPERTY OF EXTRINSIC CURVATURE OF SURFACE IN THREE-DIMENSIONAL LOBACHEVSKY SPACE
The article is devoted to the problem of reconstructuring a regular convex surface by the functions of its extrinsic curvature in three-dimensional Lobachevsky space. It is proved the possibility to apply the process of prior estimate production of the secondary derivatives of the solution in the respective elliptical Monge-Ampere equation.
Современная дифференциальная геометрия включает большой класс задач, тесно связанных с задачами дифференциальных уравнений в частных производных.В частности, к указанному классу относятся задачи восстановления поверхностей с заданными геометрическими характеристиками.
Одной из важнейших геометрических характеристик поверхности является ее внешняя кривизна К^. Задача восстановления поверхности по ее внешней кривизне в том или ином объемлющем пространстве в аналитическом плане приводит к исследованию уравнения Монжа-Ампера [1] на некотором многообразии.
Цель нашей работы - рассмотрение задачи о восстановлении регулярной выпуклой
поверхности F: z=z(x, y), (x, y) eO (O — замкнутый круг в плоскости z=0) по функции ее внешней кривизны Kext в трехмерном гиперболическом пространстве Н, вывод соответствующего эллиптического уравнения Монжа-Ампера и доказательство того факта, что к данному уравнению применим процесс получения априорных оценок вторых производных его решения.
Основным условием применимости указанного процесса является установление выпуклости функции ф(х, y, z, zx, zy), определяющей Kx по р и q (p=zx, q=zy).
Воспользуемся моделью Бельтрами-Клейна гиперболического пространства (пространства Лобачевского) Н3. Для этого отобразим Н3геодезически в открытый единичный шар пространства Е3 с центром в точкеО, в котором введена декартова система координат. Координаты x, y, z для точек Н называются бельтрамиевыми и удовлетворяют условию x2+y2+z2<1.
Линейный элемент пространства Н в бельтрамиевых координатах имеет вид:
(1 - х2 - у2 - г2 )2
Коэффициенты gij(ij=1,3) 2 пространства Н3 определяются:
— х2 +(1 - х2 - у2 - г2) — 1 - у2 - г2 "" — (1 - х2 - у2 - г2 )2 — (1 - х2 - у2 - г2 )2 &
у2 +(1 - х2 - у2 - г2) 1 - х2 - г2
g —& —
— г2 +(1 - х2 - у2 - г2) — 1 - х2 - у2 (1 - х2 - у2 - г2 )2 =(1 - х2 - у2 - г ^
_ _ ху gl2 — g21 — ~ 2 2 ~
(1 - х2 - у2 - г2 )2& _ _ хг
g13 — g31 ~&
(1 - х2 - у2 - г2 )2&
— —_уг_
g23 I 2 2 7ч2 .
(1 - х2 - у2 - г2)
Известно, что й?2 пространства Н индуцирует первую квадратичную форму поверхности в этом пространстве, коэффициенты которой Оа1связаны с соотношением:
о — у"
, их=х, и2=у,/1 =х,/п=у,Л=г(х, у); к, /С {1,2}.
¿, у—1 °ык Щ
„ „ Эх Эх _ Эх Эу Эу Эу _ Эу Эг _ Эх Эг Эг Эг
Тогда Е — О11 — + + "22 + "23 ^ + + "33 ^ГТ"
Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх Эх
: "11 + 23Хх + "33гх2 — "11 + 2"13Р + "33Р2 —
:-2 + -:т -:г& Р —
(1 - х2 - у2 - г2 )2 (1 - х2 - у2 - г2 )2 (1 - х2 - у2 - г2)
— 1 - у2 - г2 - х2 + х2 + 2хгр + (1 - х2 - у2 - г2)р2 + г2р2 _
— (1 - х2 - у2 - г2 )2 —
(х + гр)2 + 2хгр + (1 - х2 - у2 - г2)(1 + р2)
— (1 - х2 - у2 - г2 )2 &
^ — ^ — ( у + )2 + 2 хгр + (1 - х2 - у2 - г 2)(1 + д2) Аналогично: О — О22 —
(1 - х2 - у2 - г2)
F - G12 - G21
( x + zp ) (y + zq) + (1 - x2 - .y2 - z2) pq (1 - x2 - У2 - z2 )2
Известно, что коэффициенты второй квадратичной формы поверхности Е: г=г(х, у) в бельтрамиевых координатах вычисляются по формулам [2]:
(1 - х2 - у2 - 72 )2 Н (1 - х2 - у2 - 72 )2 Н (1 - х2 - у2 - 72 )2 Н
где Г=7хх, Э=7ху, Г=7уу, Н2=ЕО-Е2.
^ ьы - м2
Внешняя кривизна поверхности Кех1 определяется как отношение: Кех1 ^ 2 .
ЕО - Е
Из этой формулы путем преобразований получаем:
(1 + р2 + ц2)-(рх + qy - г )2
rt- 52 - Kext (x y,z )
(1 - x2 - У2 - z2 )
H2 -EG - F2 (1 + p2 + q2 )-( px + qy - z )2
Обозначим Kext ( x, y, z )
(1 - x2 - У2 - z2 ) (1 + p2 + q2 )-( px + qy - z )
, p ■zx, q zy? r zxx, 5 Zxy? t zyy.
(1 - x2 - y2 - z2 )2
через (p(x, y, z, p, q).
Тогда имеем простейшее уравнение Монжа-Ампера rt - s2=f(x, y, z, p, q), условием эллиптичности которого является Kext>0, что всегда выполняется в классе выпуклых поверхностей. Решением этого уравнения является функция z=z(x, y) с заданной внешней кривизной Kext(x, y, z).
Процесс нахождение априорных оценок решения указанного уравнения rt - s2 =f(x, y, z, p, q) можно осуществить, если (p(x, y, z, p, q) удовлетворяет некоторым условиям. Основное из этих условий - выпуклость (p(x, y, z, p, q) по переменнымpи q.
Функция (p(x, y, z, p, q) называется выпуклой по переменным pи q, если для любых действительных чисел а и ß имеет место неравенство:
<PPPa + 2jpqaß + jqb ^с(^p,q)-(a + ß2),
где c ( z, p, q ) является положительной и непрерывной по всем аргументам функцией.
Будем предполагать, что Kext непрерывна по x, y, z, где (x,y)еП,ze[z1,z2]. В силу
непрерывности Kext(x, y, z) достигает наименьшего значения K0>0 на компакте W X [ z1, z2 ].
Обозначим числитель второго сомножителя в функции ф через А и дважды продифференцируем по p и q.
Имеем: Ap — 2
(1 + p2 + q2 )-( px + qy - z )2 •( 2 p - 2(px + py - z ) x) —
(1 + p2 + q2 )-( px + qy - z )2 •( p - ( px + py - z ) x) ,
App— 4([(2 p - 2( px+py - z )x ] • ( P - ( px+py - z )x)
(1 + p2 + q2 )-( px + qy - z )2 ] •(! - x2 )} —
= 4{Н 2(1 - х2 - у2 - г 2)3(1 - х2) + 2 •[ р - х( рх + ру - г) ]2} . Аналогично:
Ат = 4{Н 2(1 - х2 - у2 - г 2)3(1 - у2) + 2 •[ ц - у(рх + ру - г)]2}
АрЧ = 4[2рц - 2ру(рх + цу - г) - 2цх(рх + цу - г) -(1 + р2 + ц2)ху + (рх + цу - г)2 ху ].
Отсюда
(Ррра2 + 2(паР + ^Ь2 = - 2 - Т - 2 )2 • {[(1 + р2 + q2) - (рх + qy - г)2] X
(1 х у г )
х[(1 - х2)а2 - 2хуа/ + (1 - у 2)/2] + 2[(р - х(рх + ру - г))а+ (q - у(рх + ру - г))/]2} >
--24КеХ2 2 \\ 2 {[(1 + р2 + q2) - (рх + qy - г )2] X [(1 - х2)а2 - 2 хуа/ + (1 - у 2)/2}.
(1 - х2 - у2 - г2)2
Далее: (1 - х2)а2 - 2хуа/ + (1 - у2)/2 > (у2 + г2)а2 - 2хуа/ + (х2 + г2)/2 =
= г2 (а2 +/2) + (уа- х/)2 > г2 (а2 + /2). Так как бельтрамиевы координаты х, у, г удовлетворяют неравенству х2+у2+г2<1, следовательно, 1-х2>у2+г2, 1-у2>х2+г2.
Выражения (1 - х2 - у2 - г2) и [(1 + р2 + q2) - (рх + qy - г)2 ] можно истолковать геометрически: обозначим через й1 расстояние от точки О до точки (х, у, г) поверхности, а через й -расстояние от точки О до касательной плоскости к поверхности в точке (х, у, г). Тогда
[(1 + р2 + q2) - (рх + qy - г)2] 2 ^ 1 -й2 1 - й2 1
---2-2--= (1 + р + q ) ^—Г^у. Ясно, что -—> поэтому
(1 - х - у - г )2 (1 - й12)2 1 - й12
(а2 + (а + > 4К0г2(1 + р2 + q2) • —2-2 • (а2 + /2).
(1 - й1 )
аргументам функция.
Таким образом, функция ф обладает свойством выпуклости по р и q, а значит применим
метод получения априорных оценок вторых производных уравнения Н - 5 =ф(х, у, г, р, q).
Здесь с(г,р,q) = 4К0г2(1 + р2 + q2)•-- 2 - положительная и непрерывная по всем
