МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА В ХОДЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ САМОК СРЕДИЗЕМНОМОРСКОЙ ФРУКТОВОЙ МУХИ

Н.В. Кван, М.А. Калашников

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА В ХОДЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ САМОК СРЕДИЗЕМНОМОРСКОЙ ФРУКТОВОЙ МУХИ

Analysis of experimental longevity and fertility data in females of Mediterranean fruit flies demonstrate that flies lay fewer eggs on average as the average life span increases. To explain such results a resource model, describing allocation and reallocation of a resource between two basic functions - reproduction and maintenance - is proposed. Modeling demonstrated that the results of experiments are greatly influenced by population selection and heterogeneity.

Введение

Физиологическую адаптацию можно рассматривать как процесс распределения ограниченного количества ресурса между физиологическими системами организма [1]. Это представление используется для объяснения и интерпретации большого количества экспериментальных данных. Следствием распределения является взаимозависимость или корреляция активности функционирования систем. Как правило, речь идет о противоположно направленных изменениях: более высокая активность одной системы сочетается с меньшей активностью другой. Важным направлением исследования таких связей является анализ соотношений между продолжительностью жизни или устойчивостью организма к внешним воздействиям (стрессам, инфекциям, паразитам) и плодовитостью.

Знание факторов и механизмов, влияющих на распределение ресурсов организма, представляет большой теоретический и практический интерес, так как позволяет управлять такими фундаментальными физиологическими процессами как адаптация, регенерация, старение и размножение. Изучению механизмов распределения ресурсов посвящено большое количество экспериментальных работ, в которых исследовалось изменение продолжительности жизни особей при разных воздействиях. Однако результаты исследований оказались неоднозначными. В разных экспериментах наблюдалась и положительная, и отрицательная корреляция между продолжительностью жизни и плодовитостью [4]. Объяснение этого явления, предложенное в работе [5], состоит в учете различий особей не только по доле ресурса, предназначенного для альтернативных физиологических процессов, что приводит к отрицательной корреляции, но и по общему количеству ресурса, которым располагает данная особь. Если особи значительно различаются по исходному уровню ресурса и незначительно - по пропорции его деления, то корреляция между выраженностью соответствующих физиологических процессов будет положительной.

Очевидно, что возможность перераспределять ресурсы, в том числе на таком принципиальном уровне как выбор между размножением и самоподдержанием, должна значительно повысить приспособленность. Поэтому следует ожидать, что способность перераспределять ресурсы должна существовать как одна из форм адаптации и регулярно наблюдаться в природных и экспериментальных условиях.

Целью работы является количественный анализ и моделирование процессов, определяющих изменение продолжительности жизни и плодовитости самок мух в ходе

экспериментов, описанных в статье [7]. В этой работе исследовалось влияние изменения рациона питания на продолжительность жизни и плодовитость особей.

Описание экспериментальных данных

Самки мухи содержались попарно с самцами, учитывались количество отложенных яиц и продолжительность жизни каждой самки. Мухи получали один из двух видов питания: рацион р -смесь сахара и гидролизата дрожжей, и рацион 5, включающий только сахар. При рационе р мухи, в среднем, откладывают в 30 раз больше яиц, чем при 5.

Сравнение средней продолжительности жизни мух, получавших с момента вылупления рацион р (эксперимент р), и рацион 5 (эксперимент з), показало, что в эксперименте з средняя продолжительность жизни на 7,5 дней больше, чем в эксперименте р: 32,8 и 40,3 дня соответственно (см. табл. 1).

С целью исследовать влияние перехода с рациона 5 на р на продолжительность жизни и плодовитость мух, были проведены следующие эксперименты. Мухи получали рацион 5 от момента вылупления до 30-го дня, затем дожившие (около 68% начальной популяции) переводились на рацион р - эксперимент р30. Аналогично, в эксперименте р60, мухи переводились с 5 на р на 60-й день (дожило 16%), и в эксперименте р90 - на 90-й день (дожило 1%). Начальное количество самок во всех экспериментах равно 100, в том числе в экспериментах р30, р60, р90 наблюдалось по 100 самок с момента перехода на рацион р.

После перехода с рациона 5 на р у мух снижалась смертность, и они начинали интенсивно откладывать яйца. В экспериментах р30, р60 и р90, как и в эксперименте р, период кладки яиц продолжался в среднем 27 дней. По завершению кладки мухи погибали в течение 3-5 дней. Результаты этих экспериментов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Средние продолжительность жизни X и количество яиц F, отложенных самками C. capitata

Эксперимент Данные Модель

s 40+21а) 24+32 40+20 0

Р 33±9 658+458 33+18 640+232

p30 30+10 456+390 27+12 385+135

p60 25+13 160+230 27+10 219+75

p90 26+17 106+210 27+9 101+40

Примечания:

Результаты экспериментальных данных

Приведенные в табл. 1 данные позволяют проверить наличие связи между средним количеством отложенных яиц и продолжительностью жизни. Видно, что с увеличением средней продолжительности жизни среднее количество отложенных яиц уменьшается. Эта зависимость хорошо приближается линейным регрессионным уравнением 0,14Б + X = 123, где Б - среднее

количество отложенных яиц, а X - средняя продолжительность жизни (черта над символом означает усреднение величины по эксперименту). Данные по эксперименту з выпадают из этой зависимости, так как отсутствие в рационе 5 необходимых компонентов питания приводит к тому, что особь не может реализовать свой репродуктивный потенциал.

Результаты экспериментов р, р30, р60, р90 характеризуются наличием положительной корреляции между продолжительностью жизни и количеством отложенных яиц на уровне отдельных особей (табл. 2) и отрицательной корреляции между их средними значениями в различных экспериментах.

Таблица 2

Коэффициенты корреляция между количеством отложенных яиц ¥ и продолжительностью жизни X

Эксперимент г(Х, К), данные г(Х,К), модель

^ 0,22±0,20а) 0,18

Р 0,13±0,20 0,15

Р30 0,49±0,17 0,54

Р60 0,54±0,17 0,55

Р90 0,48±0,18 0,54

Примечания: 1) а) - указаны 95%-ные доверительные интервалы оценки коэффициента корреляции; 2) Для экспериментов р30, р60 ир90 приведены данные интервала после перехода на рацион p.

Таблица 3

Величины параметров модели распределения ресурсов

Обозначение Величина Физический смысл

а 0,14 Метаболическая цена яйца (м.е./яйцо)

а т 1 Метаболическая цена дня жизни (м.е./сут)

К 123±40а) Начальное количество метаболического ресурса (м.е.)

сs 0,67±0,12 К. а. для рациона 5

ср 0,73±0,12 К. а. для рациона р

ср30 0,67±0,08 К.р. при переходе на рацион р на 30 день

ср60 0,53±0,08 К.р. при переходе на рацион р на 60 день

ср90 0,35±0,08 К.р. при переходе на рацион р на 90 день

т 0,012 Константа скорости спонтанной потери ресурса (1/сут)

Примечания: а) - среднее ± стандартное отклонение; М.е. - метаболические единицы, к. а. - коэффициент аллокации, к.р. - коэффициент реаллокации.

Уравнения математической модели и их интерпретация

Целесообразно для отдельной особи рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнений в терминах следующих переменных: M - концентрация функционально полноценных митохондрий (M >0, M=M1 +М2), которую мы далее будем часто называть ресурсом, измеряется в метаболических единицах (м.е.); M1 - концентрация функционально полноценных митохондрий, сопряженных с функцией размножения (локализация, транспорт РНК), измеренная в метаболических единицах; M2 - концентрация функционально полноценных митохондрий, сопряженных с функцией поддержания (репарация, обновление белков, поддержание внутреннего гомеостаза среды, резервирование энергии и веществ), измеряется в м.е.; H - концентрация вещества, лимитирующего кладку яиц (белок, холестерин), 0<Н<Н*, где H* - предельная концентрация (количество) H в организме, безразмерная величина; P1 - мощность, расходуемая на процессы размножения; имеет смысл текущей мощности, измеряется в м.е.; P2 - мощность, расходуемая на процессы поддержания, измеряется в м.е.; /*(/) - скорость поступления в организм вещества, лимитирующего кладку яиц, из внутреннего источника, - например, бактерий

кишечника; /Н (г) - скорость поступления в организм вещества, лимитирующего кладку яиц, с пищей.

Запишем систему уравнений, определяющих динамику энергетической системы одной особи, и дадим интерпретацию входящих в нее слагаемых:

<МЛ

йг йМ

йг <Н

■ = кМ 2 АМ 2 - м 2) - тохрМ 2 - МмМ 2;

= (н* - н)(1н + /Н) - МР;

Модель включает следующие предположения:

а) концентрация митохондрий пропорциональна вырабатываемой ими мощности;

б) при уровне Н в организме ниже некоторого порогового значения Нх энергия на процессы размножения не расходуется. При достижении порогового значения особь начинает использовать ресурсы на репродукцию, но не на полную мощность, а постепенно наращивая эту мощность с увеличением концентрации Н. После достижения уровня Н=Нт затрачиваемая на

репродукцию мощность максимальна.

Данные предположения можно описать следующими уравнениями Р =р( Н )kpMl,

р(Н )=

Н - Нх , Нх < Н < Нт

Нт - Нх

где Нх - нижний порог концентрации Н, Р2 = кРМ2.

В двух первых уравнениях системы, определяющих изменение концентрации в организме митохондрий, сопряженных с функциями размножения и самоподдержания соответственно, первое слагаемое в правой части отражает расход энергии митохондриями, отвечающими за самоподдержание. Это очень важный член, он связан с регенерацией. Коэффициенты кш (/=1;2)

имеют смысл коэффициентов скорости восстановления.

Второе и третье слагаемые в рассматриваемых двух уравнениях описывают разрушение и гибель митохондрий. Второе слагаемое отражает уменьшение количества митохондрий в связи с наличием в организме свободных радикалов и реакций с их участием, приводящих к разрушению митохондрий.

Третье слагаемое описывает естественное старение и гибель митохондрий со временем.

Параметры М1* и М 2* соответствуют начальному распределению ресурса между двумя подсистемами организма. Они определяются полным количеством ресурса в начальный момент времени М0 и коэффициентом аллокации с:

М* = М0с, М2* = М0 (1 - с).

Эти же параметры (вместе с условием Н=0 = 0) являются начальными условиями для системы дифференциальных уравнений.

При переключении режима питания с рациона 5 на рацион р в момент времени гп остатки ресурсов М1(г ) и М2(г) объединяются и происходит перераспределение ресурса с новым

коэффициентом аллокации с, который выбирается таким образом, чтобы при наличии достаточного количества ресурса обеспечить продолжительность жизни в 27 дней. В момент времени гп величины Мх и М2 изменяются (испытывают скачок: Мх уменьшается, М2 увеличивается):

мщ = С (М^п)+М2(гп )Ь м п = (1 - ~с)(МАК)+М2(гп

если оставшегося после перераспределения ресурса М2 хватит на поддержание жизни в течение приблизительно 27 дней. В противном случае перераспределения не происходит.

В случае перераспределения мы получаем новые начальные условия для второй системы в момент времени гп (переменная Н скачка не испытывает и осуществляется непрерывно):

м1 = мЩ, м2 = м2п.

Таким образом, при смене рациона с 5 на р часть митохондрий, сопряженных с функцией размножения, переключается на функцию самоподдержания. Конечно, способность к переключению имеют не все митохондрии, а лишь определенная их доля. При переключении питания особь оказывается способной реализовать свой репродуктивный потенциал, и она начинает интенсивно откладывать яйца, т.е. резко возрастает расход ресурса М1 .

В третьем уравнении, определяющем динамику Н, первый член в правой части есть увеличение количества Н в организме за счет поступлений из внешних и внутренних источников с соответствующими скоростями. В рамках модели мы будем считать эти скорости не зависящими от времени. При рационе 5 вещество Н поступает в организм только из внутренних источников, при этом /Н =0. Второй член связан с уменьшением уровня Н за счет процессов размножения,

которые активируются при достижении веществом Н уровня Нх, т.е. Нх - это минимальная

величина ресурса Н, необходимая для начала откладки яиц. При уровне Н < Н х особь не может

откладывать яйца вне зависимости от уровня Мх в организме, т.е. репродуктивная способность определяется как количествомМх, так и уровнем Нв организме.

Результаты математического моделирования

Сравнение результатов математического моделирования с соответствующими кривыми, построенными по экспериментальным данным, показывает, что в целом модельные данные хорошо описывают снижение смертности после перехода с рациона 5 на рацион р и соотношение между функциями дожития в разных экспериментах. Однако функции дожития не позволяют анализировать динамику смертности, так как нечувствительны к локальным изменениям скорости гибели.

Анализ свидетельствует, что наилучшее совпадение наблюдается в эксперименте з, а отклонения могут быть связаны с разным объемом выборок в эксперименте и при компьютерном моделировании. В экспериментахр ир30 смертность сначала ниже, а затем выше, чем при моделировании. Эти различия, возможно, связаны с тем, что скорость расхода ресурса зависит от его количества, при низком уровне особь реализует более короткую, чем 27 дней, фазу размножения.

В экспериментахр60 ир90 соотношение меняется: смертность сначала выше, а затем ниже, чем при моделировании. В качестве гипотезы можно выдвинуть положение, что всплеск

смертности после смены рациона происходит за счет гибели особей с низким уровнем ресурсов и, следовательно, с пониженной пластичностью.

В табл. 2 приведены величины коэффициентов корреляции между продолжительностью жизни и количеством отложенных яиц, вычисленные по экспериментальным и модельным данным. Близость этих значений свидетельствует, что ресурсная модель правильно описывает взаимоотношения между фертильностью и продолжительностью жизни, наблюдаемые в ходе адаптации к меняющимся внешним условиям.

Интересным результатом моделирования является выявление роли отбора в рассматриваемых экспериментах. В табл. 4 приведены оценки, показывающие изменение средних величин начального количества общего ресурса Я и коэффициента аллокации с в зависимости от длительности содержания на сахаре.

Таблица 4

Оценки вероятности дожития, средней продолжительности жизни X, начального количества ресурса Я и коэффициента аллокации с в зависимости от длительности содержания на рационе з

Данные Модель

t, сут. Доля доживших Х 1X >( Доля доживших Х 1X ^ Я 1X >г с 1X >í

В результате отбора по продолжительности жизни отбираются особи с более высоким начальным количеством ресурса Я и более низким значением коэффициента аллокации с .

Видно, что в группе, подвергшейся наиболее продолжительному отбору - 90 суток на рационе 5, величина Я на 54% больше, чем в исходной группе. Средняя величина коэффициента аллокации с уменьшилась с 0,67 до 0,46. Таким образом, результаты моделирования показывают, что на рационе 5 до 90 дня могут дожить только особи с увеличенным уровнем Я и с пониженной величиной с. Но этот результат моделирования, казалось бы, противоречит данным эксперимента, из которых следует, что среднее начальное количество ресурса в экспериментах р, р30, р60, р90 составляет 123 метаболические единицы. Это противоречие можно объяснить, если заметить, что при рассуждениях использовалось неявное предположение, что цена поддержания одного дня жизни особи постоянна и не различается у разных особей. На самом деле это не очевидно. Например, можно считать, что скорость расхода энергии на поддержание организма (скорость базового метаболизма) пропорциональна т - массе особи (или т2 3). К сожалению, у нас нет ни измерений веса особей, ни данных о виде зависимости между величинами Я^^ и Ят, с одной стороны, и т, - с другой. Поэтому в качестве первого приближения мы предположили, что с течением времени на диете 5 убывает не только ресурс Ят, но и Я() = ехр(-^ЯЯ)Я(0).

Проведенные эксперименты показывают, что параметры истории жизни самок средиземноморской фруктовой мухи - продолжительность жизни и количество отложенных яиц -зависят как минимум от двух факторов. Один из них связан с пищей, точнее, с добавкой в нее гидролизата дрожжей. Введение такой добавки увеличивает производство яиц в среднем в 30 раз. Можно предположить, что другим вероятным критически важным компонентом дрожжевого гидролизата являются стерины (эргостерин и холестерол). Следовательно, без притока стеринов из внешней среды массовая продукция яиц невозможна. Но вполне возможно продолжительное существование взрослого организма, имеющего определенный запас стероидных гормонов и сырья для их производства.

Вместе с тем очевидно, что существует некоторый ресурс, который может использоваться либо на поддержание жизни особи, либо на ее размножение.

Предположим, что роль такого ресурса могут играть также митохондрии, - точнее, их способность трансформировать энергию. Как известно, митохондрии локализуются около внутриклеточных структур, потребляющих энергию. Функция митохондрии состоит в обеспечении энергией процессов синтеза. В ходе образования АТФ митохондрии повреждаются образующимися окислительными радикалами. Это приводит к постепенному снижению их функциональных возможностей - старению и гибели. Таким образом, перераспределение этого типа ресурса происходит естественным образом в зависимости от выполняемой генетической программы.

В заключение отметим, что способность адаптироваться при помощи такого перераспределения ресурса имеет, очевидно, ограниченный характер и наблюдается только у особей с высоким начальным уровнем ресурса и в достаточно узких пределах.