Спросить
Войти
УДК 517.9
Т.В. Труфанова, В.В. Романико
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ МЕТОДОМ КРЫЛОВА - БОГОЛЮБОВА
В статье рассмотрено решение уравнения Ван-дер-Поля методом Крылова - Боголюбова.
In article the decision of the Van-der-Pol&s equation is in detail resulted by the Krylov-Bogolyubov&s method.
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
x + /(x2 - l)x + x = 0 (1)
в предположении, что параметр / мал.
Приведем уравнение (1) к стандартному виду
x + x = /(1 - x2 )x (2)
Найдем решение уравнения (2) в первом приближении. При / = 0 решением уравнения (2) будет x = a cosy , где у = t + q .
Общее решение уравнения (2) ищем в виде
x = a cosy + /u1(a,y)+ /2н2 (a,y)+... (3)
Величины a и y - функции времени, определяющиеся дифференциальными уравнениями
a = //A1(a)+/IA2 (a)+...; j y = 1 + /B1(a )+/2 B2 (a) + ...J Дифференцируя (3) по t, получаем
Эщ 2 Эн9 x = I cosy + m—1 + m —2 +... |a + Эa Эa
Эщ 2 Эщ a siny + m—L + m —2 +... Эу ЭУ
Эщ 2 Эн2 x = aI cosy + m—1 + m —2 +... | + y Эa Эa
Эщ 2 Эн2 a siny + m—1 + m —2 +... Эу Эу
Э щ Эa
+...
+2a y
- siny+m
ЭaЭ y ЭaЭy
+...
- acosy+i
Э2щ 2 Э2щ
-l + I2-2
Эу2 1 ЭУ2
+...
Из системы (4) найдем значения величин a , у , a2, ay и у2.
Ct/li 9 (Л/lo
a = i m—1+m—2+•
..^fmk +m2 a2 + •••)=m2 А dA+o(m3)
у = +m2+J(m +m2b2+•••)=m2в,f-+o(m3)
^ aa aa j aa
a2 = (m + m2 a2+•••) = m2 a,2 + o(m3),
ay = (mA, +m2 a2+...)(i+mB +m2 в2+•••)== M +m2 (a2 + a-b- )+o(u3)
= (i+m + m2 в2+•••)2 = l+2тв, + m2 (в,2 + 2b2 )+ o(u3)
Теперь в выражение для х (5) подставим разложения (4) для а и у ; в выражение для х (6) - величины (7). Выпишем полученные выражения по степеням / • В результате получим:
x = -a siny + m
л n • Эщ A, cos у - aB, sin у +--1
+ m A2cosy-aB2siny + A,—, + B,—, + —2
da Э y Эу
f Э ^ л
_ . . _ _ Э щ 2 A, sin у - 2B,a cos у +--2"
+ •••;
X = -a cosy + m
+ m2A,—-aB,2 -2aB2 Icosy-| 2A2 + 2А, В + A^^^ Isiny +
+ 2 A
Э2щ ЭМ
+ 2B-! +
• + •••
X + x = m
f _ . . _ „ Э2щ
- 2 A, sin y - 2aB, cos y +--2 + щ
dB Л ■
+ m A,^^-aB,2 -2aB2 jcosy-| 2A2 + 2А,В + aA,—^ |siny +
Э\\ + 2B Э\\ +ЭЩ
+ ^-2 + u2 \\ + •••
т (х, х) = / [х(/, а, у), х/, а, у)] = /{/" (х, х )}„=0 + /2 + /
Эm x ЭmJm=0
или с учетом выражения (3) для X и выражения (8) для X в виде: mf (x, X ) = mf (a cosy,-a siny)+mM f&(a cosy,-a siny)+
A, cos у - aB, sin у + fx&(a cos y,-a sin y)}
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях / в правых частях (10) и (11). В результате получим следующие уравнения:
где функции fl, fmтаковы:
fo = fo (a, у) = f (a cos ¥,~a sin y); f = fi (a,y) = ulf&k(a cosy,-a siny)+
A1 cos y - aB1 sin y +--1 f(a cos y,-a sin y)+
+aB12 - A1 -j1 J cosy + J 2A1B1 + А1а~В~ | sin y
- 2 A1-d-U- - 2B1 --U-; dad y dy
Запишем первое уравнение системы (12).
+ u1 = f0 + 2A1 sin y + 2aB1 cos y.
Функция f0 имеет следующий вид:
f0 = f0 (a, y) = f (a cos y,-a sin y) = (1 - x2 )x = (1 - a2 cos2 y)(- a sin y) =
a3 - 4a . a3 . _
=-sin y +--sin 3y.
Подставляя (15) в (14), получаем следующее уравнение:
+ u =
Г a3 - 4a 4
+ 2 A
sin y +—— sin3y + 2aB1 cos y.
Воспользуемся необходимыми и достаточными условиями существования периодических решений уравнения (2) [2].
(a) =--Г f (a cos y,-a wsiny)sin ydy =
— II-siny+--sin3y
sin ydy =
(a) =--Г f (a cos y,-awsiny)cos ydy =
l.nrtm J
— 3 ,1
siny+--sin3y
Л 2 - a 2 a 2 — f cosydy = —--|sin2ydy-~a— fsin4ydy = 0.
о\\ / 0 0
Заменяя А1 и В1 в (16) полученными выражениями (17) и (18), получаем уравнение
д2щ а3 . _
-1 + Щ =-81П 3у .
ду2 1 4 Г
С помощью значений А1 и В1 найдем величины а и у из системы (4).
Из уравнения (20а) отыщем амплитуду a.
(20а) (20б)
f da 3 =mfdt.
J 4a - a3 J
Сначала преобразуем подынтегральную функцию, находя разложение на простые дроби. Имеем
Таким образом:
■■ m+с.
Выразим из последнего уравнения a: a » 2.
Из уравнения (20б) отыщем величину y :
|dy = |dt.
у = t + с .
Найденное значение амплитуды а (21) подставляем в уравнение (19). Получаем следующее равенство
- + u1 = 2sin3y .
Найдем функцию u1. Решение уравнения (22) имеет вид:
~1 = c1sin3y. (23)
Дважды дифференцируем (23) и подставляем в уравнение (22). Получаем равенство:
- 9с1 sin 3y + c1sin 3y = 2sin 3y .
Находим с1 =-1/4.
Отсюда имеем, что
Таким образом, решение уравнения (2) в первом приближении имеет вид: х = 2cosy-msin3y.
Сравнивая полученный результат с решением уравнения (2) методом Ван-дер-Поля усреднения по времени, приходим к заключению, что они совпадают [2].
