В.А. Труфанов, М.Д. Штыкин
СТАЦИОНАРНОСТЬ ^-ГАРМОНИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
In article the proof stationary in the narrow sense R - harmonious random process is considered.
Гармонические колебания представляются уравнением X(t) = A cos(w t + j),
где A > 0,w> 0, j- случайные величины. Каждая реализация x(t) = A0 cos(w01 + j0) представляет собой косинусоиду с предсказуемым поведением. Тем не менее множество всех реализаций зависит от трех параметров: A,w,j; поэтому для определения вероятностей различных событий в данном множестве реализаций необходимо знать трехмерную плотность вероятности f (A, w, j) .
В приложениях часто встречается случайная гармоника, для которой фаза j не зависит от амплитуды A и частоты w, причем j равномерно распределена на отрезке [0;2п]. В таком случае множество всех реализаций будет зависеть также от трех параметров: A,w,j; причем
плотность вероятности будет иметь вид f(A, (0,j) = f(A, w).
Введем в рассмотрение случайный процесс Xi(t) = A v(t) C°s((K0 f + jv(t)), где A, w - неотрицательные случайные величины, t e R. Случайная величина j равномерно
распределена на отрезке [0;2п]. В случайные моменты времени t1,t2,... рассматриваемые случайные величины An(t) ,wn(t) ,jn(t) переходят скачком к другому независимому значению, причем число скачков в произвольном интервале времени образуют процесс Пуассона, обозначенного символом Vt или v(t) и не зависимый от рассматриваемых случайных величин.
Таким образом, введенный процесс называется R -гармоническим случайным процессом [1].
Процесс Пуассона является таким случайным процессом, который может принимать только целочисленные неотрицательные значения. А вероятность того, что в интервале времени (0, t) произошло Vt событий, определяется распределением Пуассона со средним значением
Evt = —
P(vt = n) =-exp(-lt), n = 0,1,2,K, t > 0 .
Предложение. R -гармонический случайный процесс X— (t) является стационарным. Пусть F - совместное распределение A и w, тогда для любых борелевских множеств B и C . И для любых борелевских множеств A1, к, An и s e R .
Р( Av(t) Cos(wv(t) (t1 + s) + jv(t) ) e • • •, Av(t) Cos(wv(t) (tn + s) + jv(0 ) e A„ ) =
= ЁP(Vt = m)P(Ak cos(w (ti + s) + jk) e Д, ..., Ak cos(w (tn + s) + j) e An) =
^ it"
= P(Ak cos(«k (ti + s) + jk) e Ai,K,Ak cos(«k(t„ + s) + jk) e An)£ —-exp(-lt) =
= 11Р(хообСуС/! + 5) + рк)е Д,...,хсоб(у(^ + 5) + <рк)е Лп) ар(х,у) =
= }}Р(ре фг)ар(х,у),
где ф5 = {2 : хсо5( у(г1 + 5) + 2) е Л1,... ,хсо5( у(гп + 5) + 2) е Лп} п [0;2ж].
Множество Ф5 получается из Ф0 сдвигом на у Б и приведением по модулю 2 ж, а распределение р равномерно на отрезке [0;2ж], тогда последний интеграл равен
}}Р(ре Фо)йЕ(х,у) = Р(Лксо5(+рк)е Лг...,Лксо5(+ рк)е Ап) =
= Р( А(,) С05( ®»(1/1 + Рп(,)) е Л1,К ,Лп(,) С05( + Рп(,)) е Лп).