Спросить
Войти
Категория: Математика

СТАЦИОНАРНОСТЬ R-ГАРМОНИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Автор: Труфанов Виктор Александрович

В.А. Труфанов, М.Д. Штыкин

СТАЦИОНАРНОСТЬ ^-ГАРМОНИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

In article the proof stationary in the narrow sense R - harmonious random process is considered.

Гармонические колебания представляются уравнением X(t) = A cos(w t + j),

где A > 0,w> 0, j- случайные величины. Каждая реализация x(t) = A0 cos(w01 + j0) представляет собой косинусоиду с предсказуемым поведением. Тем не менее множество всех реализаций зависит от трех параметров: A,w,j; поэтому для определения вероятностей различных событий в данном множестве реализаций необходимо знать трехмерную плотность вероятности f (A, w, j) .

В приложениях часто встречается случайная гармоника, для которой фаза j не зависит от амплитуды A и частоты w, причем j равномерно распределена на отрезке [0;2п]. В таком случае множество всех реализаций будет зависеть также от трех параметров: A,w,j; причем

плотность вероятности будет иметь вид f(A, (0,j) = f(A, w).

2p

Введем в рассмотрение случайный процесс Xi(t) = A v(t) C°s((K0 f + jv(t)), где A, w - неотрицательные случайные величины, t e R. Случайная величина j равномерно

распределена на отрезке [0;2п]. В случайные моменты времени t1,t2,... рассматриваемые случайные величины An(t) ,wn(t) ,jn(t) переходят скачком к другому независимому значению, причем число скачков в произвольном интервале времени образуют процесс Пуассона, обозначенного символом Vt или v(t) и не зависимый от рассматриваемых случайных величин.

Таким образом, введенный процесс называется R -гармоническим случайным процессом [1].

Процесс Пуассона является таким случайным процессом, который может принимать только целочисленные неотрицательные значения. А вероятность того, что в интервале времени (0, t) произошло Vt событий, определяется распределением Пуассона со средним значением

Evt = —

P(vt = n) =-exp(-lt), n = 0,1,2,K, t > 0 .

Предложение. R -гармонический случайный процесс X— (t) является стационарным. Пусть F - совместное распределение A и w, тогда для любых борелевских множеств B и C . И для любых борелевских множеств A1, к, An и s e R .

Р( Av(t) Cos(wv(t) (t1 + s) + jv(t) ) e • • •, Av(t) Cos(wv(t) (tn + s) + jv(0 ) e A„ ) =

= ЁP(Vt = m)P(Ak cos(w (ti + s) + jk) e Д, ..., Ak cos(w (tn + s) + j) e An) =

^ it"

= P(Ak cos(«k (ti + s) + jk) e Ai,K,Ak cos(«k(t„ + s) + jk) e An)£ —-exp(-lt) =

= 11Р(хообСуС/! + 5) + рк)е Д,...,хсоб(у(^ + 5) + <рк)е Лп) ар(х,у) =

0 0

= }}Р(ре фг)ар(х,у),

0 0

где ф5 = {2 : хсо5( у(г1 + 5) + 2) е Л1,... ,хсо5( у(гп + 5) + 2) е Лп} п [0;2ж].

Множество Ф5 получается из Ф0 сдвигом на у Б и приведением по модулю 2 ж, а распределение р равномерно на отрезке [0;2ж], тогда последний интеграл равен

}}Р(ре Фо)йЕ(х,у) = Р(Лксо5(+рк)е Лг...,Лксо5(+ рк)е Ап) =

= Р( А(,) С05( ®»(1/1 + Рп(,)) е Л1,К ,Лп(,) С05( + Рп(,)) е Лп).

1. Турбин А.Ф., Труфанов В. А. Свойства Л-гармонических случайных процессов // Дальневосточный математический сборник. - Владивосток: Изд-во Дальнаука ДВО РАН, 1997. — Вып. 4. — С. 34-38.
2. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. — М.: Наука, 1986.
Другие работы в данной теме:
Контакты
Обратная связь
support@uchimsya.com
Учимся
Общая информация
Разделы
Тесты