Спросить
Войти
А.В. Бушманов, А.А. Дрюков
АНАЛИЗ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТАЗОВОЕ КОЛЬЦО, ПРИ ХОДЬБЕ ПО ЛЕСТНИЦЕ ВВЕРХ
In article presented simulator, described summary strength vector modification operates in pelvi.
Введение
В наши дни в травматологии для репозиции костных фрагментов и фиксации переломов широко применяются аппараты внешнего остеосинтеза [1, 2]. Известно, что одной из основных задач остеосинтеза является создание необходимой компрессии для удержания костных отломков [1, 2].
На тазовое кольцо действуют силы прикрепленных к нему мышц, силы гравитации и давления внутренних органов [2]. Величина и направление этих сил зависят от вида двигательной активности человека и положения его тела. В здоровом состоянии тазовая кость служит опорой внутренних органов и основанием для крепления мышц, в случае перелома выполнять эти функции она не способна. Поэтому с целью восстановить функций тазового кольца необходимо компенсировать негативные изменения его анатомии с помощью репозиции и фиксации.
В настоящее время существуют фиксирующие устройства, позволяющие управлять процессами репозиции и фиксации отломков тазового кольца [3]. На начальном этапе разработки таких устройств следует смоделировать объект управления, представляющий собой механическую систему кость - устройство. Для моделирования необходимо знать некоторые биомеханические характеристики тазового кольца, одними из которых являются силы, действующие на него со стороны мышц, суставов и внутренних органов при разных видах движения. Зная геометрические и механические характеристики таза и системы кость - устройство, а также изменение сил, действующих на нее при двигательной активности человека, можно определять напряженно-деформированное состояние тазового кольца при движении. Зная напряженно-деформированное состояние системы кость - устройство, можно определять управляющее воздействие на фиксирующее устройство для достижения цели управления. При этом обеспечивается наиболее быстрое анатомическое восстановление тазовых структур и наиболее качественные функциональные результаты остеосинтеза.
Цель данного исследования - изучение сил, действующих на тазовое кольцо при медленной ходьбе.
Постановка задачи
Georg Bergmann, Friedmar Graichen, Antonius Rohlmann, Georg Deuretzbacher провели эксперимент [4] по изучению сил, действующих в суставах, в том числе в позвоночно-крестцовом сочленении и в тазобедренных суставах при разных видах движения человека. Полученные результаты были представлены в виде графиков, на которых изображается изменение сил мышц с течением времени.
На основании усредненных экспериментальных данных по исследованию сил, действующих на таз [4], требуется найти аналитические выражения, описывающие изменение модуля суммарного вектора сил, проекции суммарного вектора сил на оси ox, oy, oz, вектора сил естественной компрессии, действующего между отломками кости, и вектора силы, смещающей
отломки относительно друг друга при нестабильном переломе с разрывом лобкового симфиза и крестцово-подвздошного сочленения, при ходьбе по лестнице вверх.
Решение поставленной задачи
Рис. 1. Расчетная схема векторов контактных сил позвоночно-крестцового сочленения и тазобедренных суставов.
Определение модуля суммарного вектора.
На рис. 1 представлена расчетная схема, на которой изображены силы, действующие на таз со стороны суставов (позвоночно-крестцового сочленения и тазобедренных суставов).
Найдем суммы проекций векторов сил, действующих в суставах, на оси ох, оу, и oz по формулам (1):
Р = Р + Р + Р
х хк хЬ1 хЬг
Р = Р + Р + Р
у ук уЬ1 уЬг
Р = Р + Р + Р ,
где Р, Р , Р - суммы проекций векторов сил,
действующих в суставах, на оси ох, оу, и oz
соответственно; Рл, Р , р - проекции сил, действующих в позвоночно-крестцовом суставе на
оси ох, оу, и oz соответственно; ры, ры, Рм - проекции сил, действующих в тазобедренном
суставе левой ноги на оси ох, оу, и oz соответственно; , ръ , - проекции сил, действующих
в тазобедренном суставе правой ноги на оси ох, оу, и oz соответственно.
Далее найдем модуль суммарного вектора сил Р , действующего на таз по выражению (2) [5]
р =ЛР + Р + Р
Определение изменения вектора сил естественной компрессии действующего между отломками кости. Так как в работе будет рассмотрен случай фиксации с помощью фиксирующего устройства нестабильного перелома с разрывом лобкового симфиза и крестцово-подвздошного сочленения, рассмотрим схему для расчета сил, действующих между отломками кости по оси ох и создающих естественную компрессию между ними (рис. 2).
Из нее видно что, если тазовое кольцо находится в покое, то выполняется следующее условие:
Е, + Еь = Еы = Ек1 + Е2 = г, + г2 = Е , (3)
хк хЬг хЫ к 1 к 2 к1 к 2 к & 4 /
где Ехк - проекция сил, действующих в позвоночно-крестцовом суставе на ось ох; Е , Е - проекции сил на ось ох, действующих в тазобедренных суставах левой и правой ноги соответственно; Еп, Ек2 - силы компрессии, действующие между отломками в месте разрывов крестцово-подвздошного сочленения и лобкового симфиза соответственно;
г. ,- реакции сил компрессии Е и Е ; Е - суммарная сила компрессии, действующая между
к 1 к 2 к1 к 2 к
отломками.
При движении выполняется условие:
Рис. 2. Расчетная схема для определения сил, действующих между отломками кости.
Е = Е + Е + Е = Е + Е
% Г х^ ^ 1 хЫг 1 хЫ/ \\ I1 хг ^ 1 хЫ/ \\
где Е = Ек + ЕхЬг - суммарная контактная сила, действующая на правый отломок.
Часть контактных сил, действующих на таз, вызывает его ускорение, обозначим сумму этих сил как Е , а часть сил, вызывающих упругие реакции между правым и левым отломком
тазового кольца и являющихся силами компрессии, обозначим как Е .
При анализе данных [136] выявлено, что при всех изученных видах движения на отломки постоянно действуют силы, вызывающие естественную компрессию между ними. При этом Ек определяется выражением:
Е = шфт |,| Ел\\ ), (5)
а Е - выражением:
Е\\ = |шах (Ехг |,| Еыг |)-|шш (Ехг |,| ЕхЫ |)
Определение изменения вектора силы, смещающей отломки относительно друг друга. Примем левый отломок за неподвижный, тогда суммарные векторы сил, смещающих отломки по осям оу и 02, будут равны
Ру = ЕЫЫ (ЕуЫ1 + К
= Еы„. -(Еы+Ел)&
где Е, Е - суммы проекций векторов сил, действующих в суставах, на оси оу и 02
соответственно; Еук, ЕуЫ, ЕуЬг - проекции сил на ось оу, действующих в позвоночно-крестцовом
суставе, тазобедренных суставах левой и правой ног соответственно; Е , Е , Е - проекции сил
на ось о2, действующих в позвоночно-крестцовом суставе, тазобедренных суставах левой и правой ног соответственно.
Суммарный вектор сил, смещающий отломки в плоскости YOZ, найдем с помощью выражения (8)
FCM = FYOZ =VFy + Fz ■ (8)
F , F , F , F , F , F , F , F , F - начальные данные в виде массивов по двести
xk xbl xbr yk ybl ybr zk zbl zbr
элементов, полученные экспериментально. Используя выражения (6, 7, 8), получим массивы, описывающие изменение вектора сил естественной компрессии, действующей между отломками кости по оси OX и изменения вектора силы, действующего в плоскости YOZ.
Определение аналитических выражений
Определим аналитические выражения, описывающие изменение модуля суммарного
вектора, проекций суммарного вектора на оси ox, oy, oz и изменение вектора сил, действующего
между костными отломками при нестабильном переломе.
Одним из наиболее распространенных численных методов нахождения аналитических
выражений в виде рядов Фурье с приближенно вычисленными коэффициентами является
приближенный гармонический анализ. Алгоритм этого метода хорошо описан в [6, 7].
Итоговым выражением, полученным с помощью приближенного гармонического анализа
является тригонометрическая сумма (9)
/ \\ a0 (2px Л („ 2px Л a ( 2px Л
y(x) = — + a. cos\\-I + a, cosí 2-I +... + — cos\\ n-I +
y & 2 1 У T ) 2 У T ) 2 У T ) (9)
(2px Л ( 2 px Л ( 2px Л b, sin-I + b, sin\\ 2-I +... + b , sin\\ (n -1)-I,
где a и b - приближенные коэффициенты ряда Фурье; y - тригонометрическая сумма; T - период; x - абсцисса.
Эта функция решает задачу тригонометрической интерполяции для периодической функции.
При разработке математической модели описывающей изменение проекции суммарного вектора на оси ox, oy, oz, модуля суммарного вектора сил действующих на таз, вектора сил естественной компрессии действующего между отломками кости и вектора силы смещающей отломки один относительно другого при ходьбе по лестнице вверх получены приближенные коэффициенты для первых пяти гармоник ряда Фурье. Математическая модель, представляет собой систему уравнений (10).
|Рсм() = ^ + X (ат21 в(к Т) + Ът21 sin{^к 2р^
Коэффициенты модели - в таблице, в которой: / () - периодическая функция в виде ряда Фурье, р(), |Ру(), |Р2), \\р1ит(), р(), ) - функции, описывающие изменение проекций
суммарного вектора на оси ох, оу, ог, изменение модуля суммарного вектора сил действующих на таз, вектора сил естественной компрессии действующего между отломками кости и вектора силы смещающей отломки один относительно другого соответственно.
Коэффициенты модели
Коэффициенты ряда Фурье / к)
Рх (/ ) Ру (&) Р (&) Р (0 шт \\ / (*) Рем (0
ао -9.6707 63.9111 459.9599 464.2782 46.5379 308.8334
а1 -3.0663 0.7282 20.6733 20.4576 2.5162 24.6880
а2 -3.9576 -21.3248 5.2759 22.3214 0.9420 -42.1004
аз -7.2661 0.0990 9.9202 12.2970 -0.8080 11.1526
а4 -1.4704 -5.2078 5.7023 7.8613 0.1369 -11.3592
а5 -2.6792 0.0915 4.6338 5.3534 -1.2112 4.2440
Ъ1 34.7099 -0.1588 5.6930 35.1740 1.4606 -51.0010
Ъ2 -0.0038 25.7532 35.1975 43.6130 4.7876 -22.4848
Ъз 5.7140 -0.0039 11.6330 12.9606 1.6360 -10.5508
Ъ4 -0.0350 -0.9363 3.9256 4.0359 1.9216 -37.3447
Ъ5 -0.3422 0.3093 9.4642 9.4754 0.7720 -3.5514
Изменения модулей векторов |р| (/), |Ру (), |Рг|(/), |Ршт |(/), \\Рк |(/), |РСМ () в течение периода
шага, описываемые выражением (10), представлены на рис. 3.
Рж. 3. Изменения модулей векторов |Е?х|(/), \\Еу|(/), Е|(/), \\Еит|(/) , |Е?к|(/), \\Есм ().
Выводы
В ходе исследования найдены основные соотношения в виде рядов Фурье (10), определяющие изменение проекции суммарного вектора на оси ох, оу, ог, модуля суммарного вектора сил, действующего на таз, вектора сил естественной компрессии, действующего между отломками кости, и вектора силы, смещающей отломки один относительно другого при ходьбе по лестнице вверх. На основе этих соотношений построены графики изменения |(/), (), |Ег1(/),
|Ешт |(/), Е |(/), |Есм ) в течение периода одного шага при ходьбе по лестнице вверх. Полученная
модель будет использована в имитационном моделировании процессов управления компрессией и дистракцией с помощью фиксирующих устройств [3].
