КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Т.К. Барабаш, А.Г. Масловская

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

The article is devoted to the peculiarities of adequate mathematical description ofphase transformation kinetics in finite system with the fractal time series theory. The methods of time series simulation are discussed. The comparative analysis of estimation methods of fractal dimension for assumed time series is also presented.

Введение

В последнее время в связи с развитием теории самоорганизации фрактальная концепция получила новое применение во многих областях знаний [1-6]. Фрактальные методы широко используются и в физике конденсированной среды [6-8]. Интерес к твердотельным фрактальным средам вызван прежде всего тем, что, сформированные в условиях диссипации энергии в открытых системах и являющиеся пространственно-организованными структурами, они приобретают целый ряд необычных свойств, которые невозможно получить при традиционных способах формирования структурного состояния вещества. Во многих работах показано, что диссипативные твердотельные структуры, самоорганизующиеся в открытых системах, являются фрактальными [8]. Характерные признаки фрактальных структур - самоподобие, масштабная инвариантность, иерархия в структуре, наличие пористости, фрактальная размерность, фрактальные свойства характеристик. Фрактальный подход позволяет описать явления дислокационных реакций, трансляционных перколяций в полупроводниках, а также в диэлектрической спектроскопии кристаллов, кинетики фазовых превращений в конечных системах, образование новых структур в неравновесных условиях радиационной, термической или электрической природы [8-12].

Однако не только геометрические формы объектов имеют фрактальное строение, временные характеристики процессов и явлений, протекающих в средах с самоподобной структурой, также обнаруживают фрактальное поведение. Фрактальные временные ряды - целый класс фрактальных кривых, широко используемых при описании и моделировании разнообразнейших явлений. С их помощью описываются такие, казалось бы, не имеющие ничего общего явления как движение броуновской частицы, поведение курса обмена валют на финансовых рынках, изменение уровня воды в озерах и реках и т.д.

В данной работе приводится описание различных методов компьютерного моделирования широкого класса временных фрактальных объектов, изложены методы математического анализа фрактальной размерности виртуальных и реальных временных рядов и их сравнительный анализ, а также представлены результаты программного расчета фрактальной размерности временного ряда на основе методики ^/^-анализа (на примере прикладной задачи).

Статистический и фрактальный подходы к анализу временных рядов

Временной ряд представляет последовательность значений исследуемой величины, измеренные в последовательные моменты времени - обычно через равные промежутки. Как правило, временными рядами представляются случайные изменения величин, наиболее популярными примерами которых являются временные изменения экономических показателей (например, колебания обменных курсов валют); временные характеристики метеорологических данных (измерения температуры воздуха, количества осадков, скорости ветра и др.); стохастические

процессы в медицине (электрокардиограмма сердца), химии, физике и социологии. Анализ временных рядов является основой разработки и верификации макроскопических моделей, позволяющих последовательно представить эволюцию сложных систем на основе микроскопических данных [13]. Такой анализ сводится к вычислению корреляционных функций векторов состояний -временных последовательностей величин, характеризующих систему. Традиционные разделы статистики занимаются анализом временных рядов, представляющих собой стационарные случайные, диффузионные или точечные процессы. Наиболее распространенные методы используют корреляционный и спектральный анализы, сглаживание и фильтрацию данных, модели авторегрессии и прогнозирования [14]. В большинстве случаев статистический анализ основан на предположении, что изучаемая система является случайной, т.е. причинный процесс, создавший временной ряд, имеет много составных частей или степеней свободы. Взаимодействие этих компонентов настолько комплексно, что детерминистическое объяснение невозможно. Объектом рассмотрения является класс моделей гармонического осциллятора, отвечающих случаю гауссовского случайного процесса. Однако многие реальные временные ряды характеризуются инвариантностью относительно масштабных преобразований, в связи с чем стандартная гауссова статистика оказывается несостоятельной и проблема исследования временных рядов сводится к анализу стохастических самоподобных процессов, которые могут быть описаны фрактальными множествами [15].

Методы модельного представления фрактальных временных рядов

Приведем краткий обзор основных методов, используемых в практике для генерации фрактальных временных рядов [1-5].

Алгоритм смещения средней точки - один из самых популярных методов генерации фрактальных временных рядов, поскольку является наиболее приспособленным и легко реализуемым в качестве компьютерного алгоритма. Для построения берется отрезок единичной длины на оси абсцисс X . Этот отрезок разбивается на N = 2m частей, где m - любое положительное целое число.

Исходный единичный отрезок постепенно разбивается на более мелкие части посредством многократного деления пополам. При этом каждый раз вычисляется значение функции yc в середине

нового рабочего отрезка x , исходя из значений у/ и yright в граничных точках этого отрезка xle/ и Xright. Для этого используется следующее выражение: Ус = (У¥, + У)/2 + h,

где h - случайная величина, распределенная по нормальному гауссову закону с нулевым средним и дисперсией s , которая определяется следующим соотношением:

где r = (Xright - Хф) / 2 - расстояние от средней точки рабочего отрезка xc, здесь вычисляется новое

значение функции, до концов этого отрезка; H - показатель Херста, непосредственно связанный с фрактальной размерностью моделируемой кривой: D = 2 - H .

Метод Фурье - еще один распространенный метод генерации фрактальных временных рядов. В основе этого метода лежит известный прием разложения функций в ряд Фурье. Согласно этому подходу искомый фрактальный временной ряд (или просто фрактальную кривую) y(t) можно представить в виде следующего разложения Фурье:

/max / 1 \\

y(t) = Т.с(ф) ■ sin(2pt + j(/)), (1)

ф=./min

где / е [/, /шах] - набор частот, входящих в разложение Фурье, а с(/) и р(/) - амплитуда и фаза соответствующих гармоник.

Фаза р для каждой гармоники / выбирается случайным образом из диапазона от 0 до 2п.

Зависимость амплитуды с от частоты / задается следующим скейлинговым соотношением:

с( /) = к/ Л

где к - общий амплитудный коэффициент, а р совпадает по смыслу и по значению с показателем Херста Н и задает величину фрактальной размерности генерируемой кривой В = 2 - Р.

Обобщенное броуновское движение представляет собой модель описания движения некоторой гипотетической частицы, которая совершает хаотическое перемещение в пространстве. Движение частицы рассматривается как результат большого количества малых случайных смещений. В отличие от классического броуновского движения в обобщенной модели отдельные шаги перемещения не являются абсолютно случайными и независимыми, а определяются предысторией движения во все предыдущие моменты. Для зависимости перемещения обобщенной броуновской частицы вдоль одной из пространственных координат от времени можно записать следующее соотношение:

^пН1^&-&^& (2)

где Г(£) - гамма функция; Н - показатель Херста, определяющий фрактальную размерность кривой В = 2 - Н и отвечающий условию 0 < Н < 1; йБ(&) - независимые случайные перемещения обычной броуновской частицы в моменты времени &; функция К(& —&), являющаяся ядром интегрального выражения (2), отвечает за память системы и определяется следующим

соотношением:

К (& -&) =

[(& - оН-1/2,0 < & <&

Получаемые в результате моделирования фрактальные кривые являются самоаффинными, а не самоподобными. Кроме того, эти кривые являются однозначными.

Методы анализа размерности

Центральное место в теории фракталов занимает вопрос об определении их размерности. Необходимо отметить, что все приведенные методы фрактального анализа имеют определенные ограничения на область своей применимости - некоторые могут быть применены только к самоподобным, но не к самоаффинным фракталам, другие - только к однозначным зависимостям. Кроме того, все методы обладают разной степенью точности, причем эта точность зависит от типа объекта, к которому применяется тот или иной метод анализа. Поэтому в практике применения фрактального анализа часто ставится подзадача определения оптимально пригодного метода. Другой распространенный подход - одновременное применение нескольких различных методов с целью получения более адекватной оценки фрактальной размерности.

Метод Ричардсона - исторически один из первых методов определения фрактальной размерности самоподобных кривых. Идея метода заключается в измерении длины Ь анализируемой кривой при варьировании длины эталонного отрезка г, который многократно укладывается вдоль кривой.

Компьютерная реализация метода Ричардсона позволяет определять фрактальную размерность кривых с повышенной точностью. В этом случае кривая на плоскости задается последовательностью координат (x , y ) точек, представляющих кривую с максимальной доступной точностью. Начиная с начальной точки кривой, ищут пересечение кривой, заданной набором отрезков, с окружностью заданного радиуса r. Далее отыскивается новое пересечение кривой с окружностью, построенной из ранее найденной точки пересечения, и т.д.

Суммарная длина L кривой рассчитывается как суммарная длина всех N полученных

отрезков длины r плюс последний неполный отрезок Г от последней найденной точки пересечения до конечной точки кривой:

L(r) = N(r) • r + r .

Для определения фрактальной размерности D исследуемой кривой зависимость L(r) строят в двойном логарифмическом масштабе, т.е. строят зависимость logL(logr) и проводят линейную

аппроксимацию. Тангенс угла наклона / линейной аппроксимации связан с величиной D = 1 —/.

Другим классическим методом анализа фрактальной размерности является метод Колмогорова. Как и метод Ричардсона, он применим для самоподобных фрактальных кривых. Идея метода заключается в измерении длины кривой при различной степени огрубления ее представления. С этой целью плоскость, на которой представлена кривая, разбивается на квадратную сетку с шагом, соответствующим наибольшему пространственному разрешению, с которым задана кривая. Оценка длины кривой производится подсчетом числа элементов сетки, через которые проходит эта кривая:

L(a) = N (a )• a, где a - размер элемента сетки.

Затем сетка огрубляется вдвое и расчет длины кривой повторяется. Естественно, что после огрубления длина кривой окажется меньше, так как эта процедура приводит к потере информации о мелких деталях геометрии кривой. Таким образом, величина L рассчитывается для разного шага сетки. Далее зависимость L(a) анализируется так же, как и зависимость L(r) в методе Ричардсона.

Одним из наиболее точных методов анализа фрактальной размерности признан метод Миньковского. В нем исследуемая кривая покрывается окружностями и рассчитывается зависимость площади полученного покрытия S от радиуса окружности r .

Для построения зависимости S (r) строят карту евклидовых расстояний. Для этого плоскость, в которой построена кривая, разбивается на квадратную сетку и каждому элементу сетки ставится в соответствие число, равное минимальному расстоянию от центра этого элемента до кривой.

Нетрудно заметить, что по построению число элементов матрицы N(5 < r) со значением s,

меньшим или равным радиусу r, умноженное на площадь одного элемента a , совпадает с площадью S(r) покрытия кривой окружностями радиуса r :

S(r) = N(s <r)• a2.

Для определения фрактальной размерности D кривой методом Миньковского пользуются следующим эмпирическим законом:

S (r )~ r 2—D .

Таким образом, линейная аппроксимация зависимости log S(logr) должна давать величину тангенса угла наклона /, соответствующую D = 2 — / .

Следующая группа методов (методы Корчака, Херста, Расса, RMS и Фурье), как и метод Миньковского, позволяет проводить анализ фрактальной размерности и самоподобных, и самоаффинных кривых. Однако эти методы применимы только к однозначным кривым.

В методе Корчака проводится сечение исследуемой кривой горизонтальными прямыми линиями, параллельными оси абсцисс. В результате получается набор отрезков-сечений, для которых строится кумулятивная функция распределения N(w) - число отрезков N с длиной, превышающей

величину w. Для получения статистики, достаточной для анализа, необходимо провести порядка 10 сечений в диапазоне от 10% до 90% от общего размаха высоты кривой в исследуемом интервале.

Зависимость N(w) для самоаффинной кривой с фрактальной размерностью D должна

удовлетворять простому закону:

N (w) ~ w1-D .

Это означает, что в двойном логарифмическом масштабе зависимость N(w) должна следовать линейному закону с тангенсом угла наклона / = 1 — D.

Метод R/S-анализа, предложенный первоначально Херстом для анализа временной зависимости стока воды из различных рек и озер, может быть применен для определения фрактальной размерности D, а также других временных рядов и однозначных самоаффинных кривых.

Метод Расса является упрощенной реализацией метода Херста. Предлагается анализировать зависимость R(t), где R - максимальный размах исследуемой кривой X(t), найденный в пределах

временного интервала t При этом поиск размаха R для каждого t осуществляется не только на начальном участке, но и по всей кривой.

Для определения фрактальной размерности D зависимость R(t) строится в двойном

логарифмическом масштабе и из линейной аппроксимации находится тангенс угла наклона 3, который дает показатель Херста H = / и фрактальную размерность D = 2 — H .

Метод RMS, как и методы Херста и Расса, является оконным методом. Для анализа фрактальной размерности D некоторой самоаффинной кривой, заданной дискретным наборомточек y(x), расположенных эквидистантно вдоль оси абсцисс X, необходимо построить следующую зависимость:

RMS(w) = — V -- —М ]

nw j=1V w — 2 i=1 y j

где n - количество анализируемых окон размером w (под размером окна понимается количество содержащихся в нем точек) вдоль кривой; ^yj - среднее значение в j-м окне; yi,j- i-я точка в j-м окне.

При этом перед началом вычислений в каждом окне из всех точек вычитается прямая линия, соответствующая либо линейной аппроксимации точек окна, либо соединяющая концевые точки этого окна.

Как и в предыдущих двух случаях (методы Херста и Расса), линейная аппроксимация зависимости RMS(w) , построенной в двойном логарифмическом масштабе, дает тангенс угла

наклона 3= H и фрактальную размерность D = 2 — H .

Открытым остается вопрос о выборе набора окон для каждого размера w , которые будут участвовать в анализе и подсчете величины RMS. Здесь существует некоторый произвол. Можно для каждого w выбирать одно и то же фиксированное количество окон n , размещенных либо

эквидистантно, либо случайным образом на кривой. Можно также выбирать все возможные окна

размера , которые могут быть размещены на кривой. Разумно при этом наложить ограничение, чтобы выбираемые окна для данного w были несмежными.

Метод разложения в ряд Фурье - наиболее быстрый способ определения фрактальной размерности самоаффинных кривых, поскольку быстрое Фурье-преобразование присутствует в подавляющем большинстве математических пакетов. Однако вместе с тем этот метод является одним из наименее точных.

Процедура разложения в ряд Фурье дает на выходе значения амплитуды с и фазы у для некоторого фиксированного ряда частот /, по которому происходит разложение анализируемой кривой ). Вид разложения совпадает с представленным в выражении (1). Анализ частотного

спектра мощности с 2(/) позволяет получить величину фрактальной размерности В для исследуемой

кривой. Линейная аппроксимации зависимости с 2(/), представленной в двойном логарифмическом

масштабе, дает тангенс угла наклона /, связанный с В = (4 + /) / 2.

Расчет фрактальных характеристик временного ряда методом Л/У-анализа

на примере прикладной задачи

В данной работе предлагается использовать метод ^/^-анализа для расчета фрактальных характеристик токов переключения поляризации в сегнетоэлектрических кристаллах на примере расчета фрактальной размерности тока переполяризации кристалла триглицинсульфата в режиме инжекции электронов под поверхностный слой [16]. Как отмечают многие авторы, поскольку процесс переключения поляризации является результатом образования самоподобных структур, то доменная конфигурация в целом проявляет фрактальный характер. Для описания геометрии подобных доменных конфигураций и характеристик переключения используют концепции фрактальной теории.

Реализация основных шагов алгоритма метода ^/^-анализа проводилась в ППП Ма1;1аЬ. Предложенное программное приложение позволяет определять показатель Херста и фрактальную размерность произвольно введенного временного ряда.

При этом если 0 < Н < 0.5, то данный диапазон соответствует антиперсистентным рядам. Такой тип системы часто называют «возвратом к среднему», и соответствующий временной ряд наиболее изменчив.

При Н = 0.5 никакой выраженной тенденции процесса не выявляется и нет оснований считать, что она появится в будущем. В данном случае показатель Херста указывает на случайный ряд.

Если 0.5 < Н < 1.0, то исследуемый временной ряд является персистентным или трендоустойчивым. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то, вероятно, он будет сохранять эту тенденцию какое-то время и в будущем. Трендоустойчивость поведения увеличивается при приближении Н к единице.

Приведем основные шаги алгоритма ^/^-анализа.

из логарифмических отношений:

элемент в 1а помечен Ык, при этом к = 1,2,3,..., п. Для каждого 1а длины п определяется среднее

¿а 1\\к

значение согласно соотношению:

еа =(1/п)• 2N ,

где еа - среднее значение Ык, содержащееся в подпериоде 1а длины п.

Хк,а = 2 N,а - еа ),к = 1,2,3,.., п ■

\\ = тах(Хк,а)- ш1п(Хк,а ),1 < к < п.

Б1а = ^(1/пу£(Рк,а - еа2

Поэтому повторно нормированный размах в течение каждого 1а подпериода равен р / Sт . Среднее

значение Я / S для длины п определяется с помощью полученных на шаге 2 смежных подпериодов длины п:

(я/s)п = (1/АУ а (я1а /sIa).

Длина п увеличивается до следующего, более высокого значения, а (М -1) является

целочисленным значением (здесь используются значения п, включающие начальные и конечные

точки временного ряда), шаги 1-6 повторяются до значения п = (м - . Далее выполняется линейная

регрессия методом наименьших квадратов на 1п(п) как независимой переменной, и 1п(Я/ S)п - как зависимой переменной. Отрезок, отсекаемый на координатной оси, является оценкой 1п(с) и, соответственно, константой. Наклон прямой - оценка показателя Херста Н. Показатель Херста связан с фрактальной размерностью В кривой соотношением: В = 2 - Н .

Для данного набора экспериментальных данных проведенный Я^-анализ дает значения: показателя Херста - Н = 0.65 и, соответственно, фрактальной размерности - В = 1.35 .

Применение методики Я^-анализа подтверждает, что рассматриваемый процесс переключения поляризации сегнетоэлектрика имеет не случайный характер, а в процессе формирования последующих состояний системы учитываются предыдущие состояния, т.е. присутствует так называемый эффект памяти. Самоорганизованное движение доменных границ носит персистентный характер. Проведенная программная реализация в ППП МаАаЬ метода Я/S-анализа позволяет для данного набора экспериментальных данных токовых зависимостей оценить величину фрактальной размерности процесса переключения.

Заключение

Проводя сравнительный анализ алгоритмов анализа фрактальной размерности, можно заключить, что Л/^-анализ является устойчивым методом для раскрытия эффектов долговременной памяти, фрактальной статистической структуры и наличия циклов. Поэтому именно эту методику целесообразно использовать для оценки параметров временных зависимостей, характеризующих фазовые превращения в конечных физических системах.