Спросить
Войти
Библиографический список
References
Статья поступила в редакцию 20.07.20
УДК 514(075.8):81(075.8)
Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov; senior lecturer, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru Balykina Yu.Yu., postgraduate, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov (Orenburg, Russia)
SPECIAL PROPERTIES OF THE TETRAHEDRON IN HISTORICAL DEVELOPMENT. The article discusses one of the most pressing and at the same time difficult issues for teaching geometry, as well as for the assimilation of the properties of spatial figures by students. The authors focus on the peculiarities of the methodology for studying the main facts of the topic "Geometry of a tetrahedron". The importance and difficulty of studying the topic are associated primarily with the versatility, abstractness, features of the images of spatial figures. The characteristic features of the introduction of these concepts are highlighted and described. Considerable attention is paid to the history of the study of tetrahedrons. The methodology for introducing the basic concepts of this topic presented in the article is implemented in a specific educational process at elective classes in geometry and made it possible to increase the efficiency of mastering the studied material by students. Key words: history of tetrahedron, regular tetrahedron, principle of reflection of sun rays, physical quantities.
И.В. Прояева, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет имени В.П. Чкалова, доц. Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, г. Оренбург, E-mail: docentirina@mail.ru Ю.Ю. Балыкина, аспирант, Оренбургский государственный педагогический университет имени В.П. Чкалова, Г. Оренбург
ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ТЕТРАЭДРА В ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
В данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в то же время сложных вопросов для преподавания геометрии, а также для усвоения обучающимися свойства пространственных фигур. Основное внимание в работе авторы акцентируют на особенностях методики изучения основных фактов темы «Геометрия тетраэдра». Важность и трудность изучения темы связаны в первую очередь с многогранностью, абстрактностью, спецификой изображения пространственных фигур. Выделяются и описываются характерные особенности введения данных понятий. Значительное внимание уделяется истории изучения тетраэдров. Представленная в статье методика введения основных понятий данной темы была реализована в конкретном учебном процессе на факультативных занятиях по геометрии и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала обучающимися. Ключевые слова: история тетраэдра, правильный тетраэдр, принцип отражения солнечных лучей, физические величины.
Многогранники - одна из сложнейших тем школьной геометрии. Задачи, связанные с ними, очень часто встречаются в профильном уровне ЕГЭ, причём это задачи повышенной сложности. Существуют замечательные многогранники, их также называют Платоновыми телами. Одним из таких многогранников является тетраэдр (рис. 1). Платон в своих учениях сопоставил тетраэдр со стихией огня (октаэдр - со стихией воздуха, гексаэдр - земли, икосаэдр - воды, а додекаэдр - с целой Вселенной). Тетраэдр в переводе с латинского языка дословно означает «четыре грани». По простоте построения и свойств тетраэдр в стереоеБШИЭЭ1-5497. МИРНАУКИ, КУЛЬТУРЫ.ОБЫАЗОСАНИЯ.^!> 4(89)2020
метрии воспринимается некоторой простейшей фигурой, как в планиметрии воспринимается треугольник. Данный многогранник обладает множеством интересных свойств, которые далекоиевсем известны.
Р ис.1.Тытрзэдр
Невысокая информированность школьников о тетраэдре связана с тем, что на его изучение отводится в школьной преграмсе очень малн в5емзнБ.9зекото-рых школьных учебниках вообще не вводится понятие тетраэдра [1], его рассматривают лишь на примере ерекголзной пиранздые. ПяэАИмкнесАОсые школьнчкк заблуждаются в том, что же на самом деле означает понятие «тетраэдр».
Если изучать инфорьацчяо теннзэдре й Инеернезе, тнможво укидеть, чтн на многих сайтах тетраэдр определяется как правильная фигура, у которой все четыре грани - равносторознье,еавныннежду сзбзй трыезгыльниа. Но эео до-леко не так. Данное понятие может окончательно запутать представления о тетраэдре современных школьников, ведь такое высказывание (сложно назвать его по-другому) определяет лишьирийильньмтетрсэдо, н овидон тет^эд^ п омнме правильного, существует ещё много, представим их далее в нашей статье. Сначала рассмотрим понятия «тетраэдр» и «соезголзнаа пинРмидзвнфаЯзрБмня,) чём же их сходство и отличие.
Тетраэдр - это геометникеезам фиг—а, котмраррмезтбнёЗерк 4 граыни 4 вершины, где каждая грань является треугольником, но, повторим, совсем не обязательно, чтобы грани тзрнэдра бьтз-ивнысемаду ся6о8срр тез-илез были равносторонними треугольниками.
Во многих задачах ЕГЭ, даже когда речь идёт о тетраэдре, в контексте можно встретить понятие «треугольная пирамида». С одной стороны, эти понятия являются тождественными, но если рассматривать конкретный пример правильной пирамиды и правильного тетраэдра, то понятия уже отличаются.
Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой в основании лежит правильный треугольник, а вот грани, важно заметить, не должны быть равносторонними треугольниками, но если это условие всё же выполняется, то геометрическое тело уже будет являться правильным тетраэдром.
Несомненно, правильный тетраэдр - это один из самых простых видов тетраэдра, используемый обычно для решения задач, но также существуют и другие виды тетраэдра.
Ещё один, наиболее известный школьникам по сравнению с другими видами тетраэдра - это прямоугольный тетраэдр. У такого тетраэдра прилежащие к одной из вершин рёбра перпендикулярны между собой. Такой вид тетраэдра широко используется в оптике.
Расскажем о фактах и видах тетраэдров, которые малоизвестны не только школьникам, но и в целом среднестатистическим взрослым людям.
В отличие от треугольника, у обыкновенного тетраэдра высоты не пересекаются в одной точке, но если это всё же происходит, то такой тетраэдр называется ортоцентрическим.
Если для данного тетраэдра можно построить сферу, которая б дет касаться всех его рёбер одновременно, а окружности, вписанные в гран, будут попарно касаться друг друга, то такой тетраэдр называется каркасным. Одним из частных видов каркасного тетраэдра является квазиописанный тетраэдр
Равногранным называется тетраэдр, у которого все грани равны. Важно заметить, что равногранный тетраэдр будет являться правильным только в частном случае - когда все его грани будут равносторонними треугольниками, а в осталь -ных случаях гранями равногранного тетраэдра являются произво ьные, равные между собой треугольники.
Если тетраэдр имеет квазивписанную в него сферу, то он называется квази-описанным. Не будем вдаваться подробно в определение данного вида тетраэдра, так как его корни уходят глубоко в высшую геометрию, кото раянтсколско сложна для понимания простыми читателями. Отметим только, что у такихсен траэдров суммы длин противоположных рёбер обязательно равны.
Изодинамическим называется тетраэдр, у которого произведения длин противоположных рёбер равны [2].
Если два тетраэдра удовлетворяют теореме Понселе [3], то они являются перспективными (гомологичными). Гомологичные четыре раза между собойае-траэдры называют десмическими.
И, как уже говорилось ранее, если все рёбра тетраэдра равны, то тетр аэдр называется правильным. Очевидно, правильный тетраэдр являетрси крнорен-трическим, каркасным, равногранным, квазиописанным и изодинамическим одновременно. Следовательно, все теоремы и свойства, применимые к каждому из видов тетраэдра, можно применить и к правильному тетраэдру, но в школьной
программе многим из этих знаний школьников учить не предполагается. Выходом из данной ситуации будет являться лишь элективный курс.
Тетраэдр также можно задать в прямоугольной декартовой системе координат (ПДСК). Причём некоторые задачи могут решаться проще при таком задании тетраэдра. Любой тетраэдр, стороны которого известны, можно поместить в систему координат, но легче всего поместить туда прямоугольный тетраэдр, так как его 3 грани совпадут с осями координат. Поэтому элементы прямоугольного тетраэдра найти проще всего в системе координат. Правильный тетраэдр нет смысла помещать в ПДСК, так как если известна длина одного из его рёбер, то все другие его элементы найти несложно с помощью простых геометрических формул, которые даны в школьных учебникж[4].
Форму прямоугольного тетраэдра используют на практике, так как у неё есть одно очень удивительнше свойство. Лучи, попадающие внутрь прямоугольного тетраэдра, отражаются от него строго в обратном направлении. Это свойство используют в оптике, машиносвроении, строительстве и даже радиоэлектронной борьбе (рис. 2).
Рис. 2. Принципшткажйния соьшечных ллчвнот конструкции в фонметзтраэдра
Мримзтнльно.ыо люди ещмызнрыдры^шкоМБщальнокстййирзи.еортонт щие из нескольких соединённых между собой прямоугольных тетраэдров, летом на крыши домов. На наш взгляд, это можншдзшатеылУчого,вчоНы ырниз сшлнеч-нымсуыи отржалззьоиз^шзднма . Тогда на зам, м высоком этзкеэтого .ома летом было бы не так жкрео.веньуолшечные нуеи.шочорыенагревают крыжу, отдаыятснат неё сиркга в рpoыийoгялыжн8м ноззрвленкз. Пмтому же причкипу можно изобрести коврик ж длю ннкдыт ия аотомоОиляв дачкуюсолнечноюпо юдн А быть может, использование простого светоотражательного утеплителя, который сейчас обычно применяется в таких целях, является наиболее оптимальным способом? Невозможно нтоеьиор с°)аьу нк этот оов|воь, ве^ шю°н юродположк-ние необходимо проверить экспериментальным путём. Сами каркасы крыш некоторых домов конструируете форле проьильно го тетоУэдкн.Эчоевякааое тем, что он является одним из самых прочных геометрических тел, кто знает, может, и самым прочным. В люДопьлнчашднелрнэынаесчь уюив^^о^ьрюс^^ести. Просто люди в процессе науки нашли их ещё не все, не все изучили и не все научились правильно пр чмовяььспошьзо й одячжпювнчештьа[5 ].
Рассмотрим применение свойств тетраэдра в задачах ЕГЭ.
Задача 1. Найти объем правильного тетраэдра с ребром а.
Решение. Из равенлтьагфяонукольных т^гожьоьков АЕЦВШк СЕО (по катету и гипотенузе) мы видим, что основание высоты есть точка, равноудаленная от вершины основания (виш.Ч).
Лсо 3 .
Но сон наэ осклтлние ЛВС - раесеснороннсй тяеогоскзса, те Е - точса пе-°лсечснсн его млдиан Гаси нн е н-спек-рисы с иысоты). Вннлптого, что СР - вы-аота, нлен)к(^н^тло11нП-;|, нортяндня—пр к ЛУ иШР нроен-ня О- ос ОР - по-гскеикоовpкЛB. Мы зоеол паким о^оззо: оо? = 0ы-Ь (яукиозвял эaвнoсоPттынсл-тpсЕГссьнеуе со ытореэсы о), о= = Шу- .по 3 рсду-ч-! Сл, катония товтст-г ысыял ы ыыыяуа тУвкоутодренeгс ннсуа-лжккрт не яеядоияв л), 10)13 пряосе-ооыит-нотреугелэанка ЛУЕ, получаем,следовательно:
I- 3а2 3а2 аеб
Площадьоснотннисдсктлощадь равностсротнеготреугольноссуосторонойа, рткса S 77
Сл^^с^^ател Гпрааиль>но^о тет|заэдраравен:
Зэрэчэ 2. Вычислить рля правильного ееераэрра рэрлус шара, касающегося всех его рёбер.
Решение. Рэрлус шэра, кэсъющегоия исет аёбед ррэиллноого тееаээдаа, равен рэссеобнлю ое его ценерэ ро кэкого-ллбо лз рёбер. Рэрлус R& этого шара легто оаререлтен лз равнобедренного ереуголннлкэ ОАВ, грл О - цетер мотгот грэоолкэ, АВ - одно лз его рёбер. Тэклм тбрэзом, ролучэееся формула:
где R - рэрлус оплсэнного шара, э а - ребро моогогаэоолкэ.
Псглнзуясн Еюрэжениямл для ребра, получпм рля псэиилнняго еееаээраэ иыраженля рэрлусэ R&:
рля еееааэдаа .
Зэрэчэ 3. Вычлсллен объём паэиллноого ееераэрра, иплсэнного и шар, рэрлус коеорого равен R.
Библиографический список
Решенле. Соерлняя ценер рэнного паэиллноого ееераэрра с его иершл-нэмл, рэзложлм его на F равных паавллноых плрэмлр, гре F - члсло граней моогогааоолка. Слероиэеелнно, объём моогогааоолка бурее и F раз более объёма орной еэкой плаэмлры. Оесюра площэрн осноиэнля аэссмэеалиэемой 1
т -~Р-От -Р-Ст плрэмлры бурее раина 2 , а её иысоеа г. Оесюра без ерурэ
получэееся слерующее иыаэжеоле рля объёма паавллноого ееераэрра:
V& =1 ^ОтСтР1 г 6
Порсеэиляя сюра члсловые знэченля, получлм слерующле иыраженля
объёма V рля деераэрра 3 .
Мы рассмотрели все виды тетраэдров. Некоторые его виды малоизвестны, в школе изучаются не все. Современной информации о тетраэдре практически нет Конкретную информацию о видах тетраэдров не включают в школьные учебники. На основании этого можно сделать вывод, что человечество забывает о некоторых достояниях науки, вычислениях, соотношениях, экспериментах и опытах великих учёных давнего времени. А ведь именно в форме тетраэдра располагаются наиболее прочные каркасы крыш домов, атомы в некоторых молекулах и многое другое, в чём нельзя увидеть форму тетраэдра невооружённым глазом. Но это ещё не предел учений о тетраэдре. Кто знает, может эта удивительная форма хранит в себе ещё множество научных открытий...
References
Статья поступила в редакцию 21.07.20
УДК 159.91:378.4(571.150-25)
Sivtsova A.V., Cand. of Sciences (Psychology), senior lecturer, Altai State Agricultural University (Barnaul, Russia),
E-mail: sivtsova-anna@mail.ru
Latkin V.A., postgraduate, Altai State Agricultural University (Barnaul, Russia), E-mail: latkinvadim@mail.ru
ATTITUDE OF BOYS AND GIRLS TO EXAMINATION STRESS IN THE EDUCATIONAL PROCESS OF THE HIGHER EDUCATION INSTITUTE (ON THE EXAMPLE OF STUDENTS OF ALTAI STATE AGRICULTURAL UNIVERSITY). The article discusses a problem of manifestations of examination stress in the process of professional training of BA students, MA students and postgraduate students. The results of the study of the perception by young men and ladies of examination stress and its manifestations are presented. It is shown that stress, including examination stress, affects the performance and health of almost all students. The symptoms of stress and the causes of stress, the most common of which are learning activities and personal life are studied. The necessity of psychological and pedagogical support of students in the process of implementing pedagogical interaction at the higher education institute during the preparation for the midterm and final attestation is considered.
A.В. Сивцова, канд. психол. наук, доц., Алтайский государственный аграрный университет, г. Барнаул, E-mail: sivtsova-anna@mail.ru
B.А. Латкин, аспирант, Алтайский государственный аграрный университет, г. Барнаул, E-mail: latkinvadim@mail.ru
ОТНОШЕНИЕ ЮНОШЕЙ И ДЕВУШЕК К ЭКЗАМЕНАЦИОННОМУ СТРЕССУ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ ВУЗА (НА ПРИМЕРЕ СТУДЕНТОВ АЛТАЙСКОГО ГАУ)
В данной статье рассмотрена проблема проявлений экзаменационного стресса в процессе профессионального обучения студентов-бакалавров, магистрантов и аспирантов. Представлены результаты исследования восприятия юношами и девушками экзаменационного стресса и его проявлений. Показано, что стресс, в том числе экзаменационный, оказывает влияние на работоспособность и здоровье организма практически всех обучающихся. Изучены симптомы проявления стресса и причины, вызывающие стресс, наиболее частыми из которых оказываются учебная деятельность и личная жизнь. Рассмотрена необходимость психолого-педагогической поддержки студентов в процессе реализации педагогического взаимодействия в вузе в период подготовки к промежуточной и итоговой аттестациям.
