Спросить
Войти
ФИЗИКА
СЕКЦИЯ
«ТЕПЛОФИЗИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА»
НУЛЕВОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Ахметова Оксана Валентиновна
канд. физ.-мат. наук, доц., научный сотрудник, Стерлитамакский филиал башкирского государственного университета,
РФ, г. Стерлитамак E-mail: ahoksana@yyandex. ru
Губайдуллин Марат Радикович
аспирант, Стерлитамакский филиал башкирского государственного университета,
РФ, г. Стерлитамак E-mail: _ fir_bmf@mail.ru
Сираев Равиль Вилович
аспирант, Стерлитамакский филиал башкирского государственного университета,
РФ, г. Стерлитамак E-mail: st. ravil@mail. ru
Фаттахова Екатерина Николаевна
магистрант, Стерлитамакский филиал башкирского государственного университета,
РФ, г. Стерлитамак E-mail: 24.11.1989katja@mail. ru
^ СибАК
www.sibac.info
APPLICATION OF ASYMPTOTIC METHODS OF COEFFICIENT WISE AVERAGING IN PROBLEMS WITH VARIABLE COEFFICIENTS
Oksana Ahmetova
candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Sterlitamak branch of Bashkir State University, Researcher,
Russia, Sterlitamak
Marat Gubaidullin
graduate student, Sterlitamak branch of Bashkir State University,
Russia, Sterlitamak
Ravil Siraev
graduate student, Sterlitamak branch of Bashkir State University,
Russia, Sterlitamak
Ekaterina Fattakhova
undergraduate, Sterlitamak branch of Bashkir State University,
Russia, Sterlitamak
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-08-00548 А.
АННОТАЦИЯ
В этой работе иллюстрируется использование метода покоэф-фициентного осреднения в задаче с переменными коэффициентами на примере задачи о квазистационарном поле давления неоднородного анизотропного пласта в среде с вертикальными трещинами.
ABSTRACT
This work illustrates the use of the method of coefficientwise averaging an example of the problem of quasi-stationary field of pressure in inhomogeneous anisotropic reservoir in an environment with vertical cracks.
This work illustrates the use of the method of averaging in coefficientwise task with variable coefficients on the example of the task of quasi-stationary field of inhomogeneous anisotropic reservoir pressure in an environment with vertical cracks.
\\(f СибАК
Естественные и математи ческие науки в современном мире у^У № 6 (41). 2016г._www.sibac.info
Задачи о полях давления при фильтрации жидкости составляют основу теории массопереноса в пористой среде, поскольку они имеют большое практическое значение для добычи углеводородов, гидрогеологии и экологии. Существуют многочисленные аналитические решения задач о поле давления для пористых пластов учитывающие различные неоднородности [3; 4; 6; 10; 11] поскольку реальные пласты неоднородны как по толщине, так и по простиранию. В данной работе рассмотрена трехслойная модель пласта, центральный пористый пропласток которого обладает вертикальной неоднородностью, а слабопроницаемые настилающий и подстилающий пропластки однородны.
Неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела zd = +h, перпендикулярными вертикальной оси. Течение полагается плоским (в осях zd, xd). Средняя область толщины 2h (-h < zd < h) является ортотропно проницаемой в горизонтальном Кл (zd ) и вертикальном kzd (zd ) направлениях, причем ее проницаемость не зависит от координаты xd. Покрывающий и подстилающий пласты имеют преобладающую вертикальную трещино-ватость и считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении настолько, что можно пренебречь второй производной по координате Xd в уравнении для окружающей среды.
Для простоты рассматривается квазистационарный частный случай. Это означает, что производная от давления Pd по времени т в уравнении пъезопроводности для центрального участка среды отсутствует. Несмотря на это, время входит в виде параметра в полученное решение для поля давления в центральном пласте через условия сопряжения. Свойства подстилающего и настилающего пластов полагаются идентичными, что так же позволяет упростить постановку задачи.
Постановка задачи содержит уравнения пъезопроводности флюида с плотностью р в гравитационном поле g, направленном противоположно вертикальной оси zd.
Задача приводится к безразмерному виду с использованием соотношений
z = zjh, x = xjh, t = TxJh2 , P0 = PoJ P00 , kx (z) = kxd (zd )/kiz, kz (z ) = kzd (Zd )/kiz , Pj =(Pj - PA +PgzA VP00
В безразмерном виде задача содержит уравнение пьезопро-водности в пластах, окружающих пласт-коллектор
BP д2 P
— = 0 , t>0,z> 1, dt dz2
квазистационарное уравнение теплопроводности в пласте -коллекторе
IP * Ш i ( ^ (z)fj- 0, -1 < z < 1, x > 0, (2)
условия симметрии, равенства давлении и потоков на границах раздела высокопроницаемого пропластка и окружающих проницаемых пород [6]
= 0, Р| = Р|
= К ( z)
Рассмотрен режим постоянной депрессии величиной Р01 в перфорированном пласте [1]
Р| = Р.
Значения давления Р, р на бесконечности и в начальный момент времени соответствуют гидростатическим, а его возмущения отсутствуют
р| = р\\ = 0, р| = 0. (5)
Точное решение этой задачи осложнено переменными коэффициентами в уравнении пьезопроводности для пластаz=0
^ СибАК
www.sibac.info
коллектора и условии равенства потоков на границе раздела пластов. Под руководством проф. А.И. Филиппова был разработан асимптотический метод - метод пространственного покоэффициентного осреднения, позволяющий решать такие задачи. В статье иллюстрируется нахождение нулевого коэффициента асимптотического разложения.
Р. = р(0) + еР(1) + е2 Р(2) +... + с"Р)п> +6>;
э(пК а(п)
где: нижние индексы у безразмерного давления Р относятся к номеру области и принимают значение либо «пробел» - для среды в скважине, либо единица - для окружающей скважину среды, а верхние соответствуют порядковому номеру асимптотического приближения.
Подставив (6) в параметризованную постановку задачи получим задачу, разбитую по степеням е [5]
ар(0) д2р;
- + е
(дР( (1)
д2 р(&П
+... = 0,
е кх (г) дz
дР( 0) дг
.2 р(0)
кх (г) дг
кЛг )
- кг(г)
дР( 2) дг
+... = 0 ,
(7) = 0 ,(8)
^ СибАК
м&и&и \\sibacinto
+... = 0,
, + еР
Р (0 &I +еР 1 1 |/=0 + еР 1
+ = Р Р + ... Р0 , Р1
+ еР&
х ^ад \\х ^ад
+ еР
х+г +е1 1 +... = 0 ,
+... = 0.
(10) (11)
Анализ задачи показывает, что в уравнениях, например, в (8), при одинаковой степени е, содержатся коэффициенты различных порядков разложения. Приравнивание этих коэффициентов к нулю приводит к «зацепленным» уравнениям. Для построения решения необходимо осуществить процедуру расцепления [5].
Расцепление уравнений для нулевого коэффициента осуществляется следующим образом. Поскольку уравнения и условия задачи (7) - (11) выполняются тождественно по е, коэффициент при каждой степени е обращается в нуль независимо. Так из (8), получим уравнение для нулевого коэффициента разложения для Р(0)
д ( дР(0) к (г)др_
дг I г ( & дг
С учетом условий (9) получим, что нулевой коэффициент является только функцией горизонтальной координаты
р(о)= Р(0)(х) .
Выражение для определения нулевого коэффициента разложения для давления может быть получено при помощи расцепления уравнения [5]. Представим выражение, следующее из (8) при е0 в виде
кх (г) дг
^г (г)
■ = А(г, х).
где: A(t, x) - вспомогательная функция. Интегрируя (13) по г, найдем
дР -& г
к (г)-= | к (г&) ¿г& А (г, х) + В (г, х) .
# СибАК
Естественные и математи ческие науки в современном мире у^ у № 6 (41), 2016г_mvw.sibac.infо
Используя (9) получим
дР(1\\ г ч ^ ч 1 дР(0)
-л г = 0
В(х,Ро) = 0, А(Бо,х) = — —^|г=1, где (к,) = {К(г&)¿г&
\\кх/ д 0
Подставляя (15) в (13), получим расцепленное уравнение для нулевого коэффициента асимптотического разложения
д2 Р( 0) 1 дР(0) - + - 1
дх2 (к) дг
= 0. (16)
дР<») д2Р(0)
—1---^ = 0, г > 0, г > 1, (17)
д г д г2
д2Р(0) 1 дР(0) -+- 1
дх2 (кх) дг
= 0, х > 0, 0<г < 1, (18)
Р(0) = Р(0)| , Р(0)1 = Р, Р(0)| = 0. (19)
В работах [1; 8] показано, что в частных случаях, когда все коэффициенты в задаче являются константами, постановка задачи для нулевого коэффициента асимптотического разложения совпадает с интегрально осредненной исходной параметризованной задачей, а нулевой коэффициент разложения совпадает с решением интегрально усредненной задачи.
Приведенная задача (17) - (19) отличается от классических наличием следа производной решения для внешней области в уравнении (18) и наличием переменных коэффициентов.
рР ( 0)и = 0, г > 1 (20)
д 2 р( °)и 1 дР( 0)"
--I---1д х2 (к,) дг
р( 0)" = р (0>| р (0)и|
= 0, х > 0, 0<г < 1,
(21) (22)
Решение уравнения (20) с учетом условия (22) имеет вид = Р0)" ехр (-1))
С учетом этого равенства уравнение (23) для определения Р(0)м можно представить как
Р( 0)" = 0.
Решение уравнения (24) представится в форме
Р(0)" = Р ехр
Подставив (25) в (23), получим решение для внешней области
Р(0)" = Р> ехр
ехр (-4р(г-1))& г
Выражения (25) и (26) представляют решение задачи в нулевом приближении в пространстве изображений.
Полученные выражения (25), (26) позволяют рассчитать асимптотически осредненные по толщине центрального слоя значения давления и распределение давления в окружающих породах. Для исследования детального распределения давления в центральном пропластке необходимо найти первый коэффициент асимптотического разложения [7; 9]. Переменные коэффициенты не представляют трудностей при решении задачи в нулевом приближении, так как при расцеплении превращаются в моментные интегралы, не зависящие от пространственных координат.
Список литературы:
^ СийАК
www.sibac.info
