Категория: Физика

СТРУКТУРА ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА

Автор: Ал. Ал. Берлин

УДК 541.64:539.2

Сформулировано условие, необходимое для возникновения отрицательного коэффициента Пуассона в твердых телах, состоящих из взаимодействующих частиц: тангенциальная жесткость в точке контакта частиц друг с другом должна быть больше нормальной жесткости. Предложена возможная конструкция такого тела и объяснение экспериментальных данных для специальных пеноматериалов.

Хорошо известно [1], что ограничения на коэффициент Пуассона V, которые накладывают общие законы термодинамики, имеют вид —1<^< <0,5. Однако окружающая нас природа до сих пор не давала нам примеров изотропных материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона. Верхним пределом v^í0,5 обладает резина, а известным нижним для изотропных материалов V—0 — натуральная пробка. Так что фактические пределы для коэффициента Пуассона считались 0<^<0,5. Для анизотропных кристаллов [2—5] известны случаи отрицательных коэффициентов Пуассона в одном из направлений. Недавно [6] появилось сообщение о синтезе специальным способом полимерного пеноматериала с V——0,7. Однако объяснение этого явления, приведенное в работе [6], кажется нам неудовлетворительным. Ниже мы рассмотрим возможную структурную интерпретацию материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона.

Заметим, что материалы с ^0,5 (например, резина) сохраняют в процессе деформации свой объем, изменяя форму. Кроме того, гипотетические материалы с коэффициентом Пуассона у=—1 должны сохранять форму, существенно изменяя объем при деформации. В частности, цилиндр из материала с v<0 при одноосном сжатии вдоль оси сжимается и в поперечном, радиальном направлении, и наоборот, при растяжении вдоль оси увеличивается и его диаметр. Такие материалы могли бы представить большой практический интерес. Например, они могли бы быть прекрасными герметиками, иметь существенно большее, чем обычные материалы, сопротивление внедрению в них других твердых тел и распространению трещин (высокую вязкость разрушения) и т. д.

Впервые о возможности существования тел с v<0 и анализ необходимых для этого условий были сообщены в работе [7]. Было рассмотрено механическое поведение случайно упакованных сфер (дисков в двумерном пространстве), взаимодействующих друг с другом в месте контакта двумя типами сил: нормальных к плоскости контакта (центральные) и тангейциальных (трение) (рис.- 1). Предполагалось, что нормальные /„ и тангенциальные силы пропорциональны соответствующим смещениям бп, б< от положения равновесия: /п=/сп6„ и А=/С(б4, где кп и — нормальная и тангенциальные жесткости. Это — линейное приближение. Было показано, что для такого тела коэффициент Пуассона зависит от отношения тангенциальной и нормальной жесткостей, \\=кг1кп, и равен

4+А,

для трехмерного и

для двумерного тела.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 1. Схема тела, состоящего из взаимодействующих частиц

Рис. 2. Элемент конструкции с у= = -1

Рис. 3. Схема элемента структуры пеноматериала до (а) и после специальной обработки (б)

Рис. 3

Затем этот результат был подтвержден методом компьютерного моделирования для двумерного случая [8]. При А,=0, что совпадает с результатом, полученным еще самим Пуассоном, для ансамбля частиц с центральными силами. С ростом X коэффициент Пуассона уменьшается, при Х=1 v=0, а при стремится к —1. Этот результат может быть легко понят, если рассмотреть изменение треугольника, соединяющего центры соседних взаимодействующих частиц (рис. 1), в процессе деформации всего тела. Большое значение X, т. е. высокая тангенциальная жесткость по сравнению с нормальной, означает, что при любой деформации должны сохраняться углы рассматриваемого треугольника. Сохранение углов треугольника при деформации означает, что при этом изменения всех сторон пропорциональны (условие подобия), а это в свою очередь соответствует тому, что для такого тела 1. Подобное рассуждение мож&но распространить на все тело только в том случае, если все оно состоит сплошь из связанных треугольников. Действительно, результаты компьютерного моделирования [8] совпадают с формулой (2) при координационном числе 6 для плоской задачи.

Полученный результат позволяет понять, почему в окружающем нас мире отсутствуют (или очень редки) тела с у<0. Дело в том, что все известные потенциалы взаимодействия атомных и молекулярных частиц друг с другом или центральные, или значительно жестче в нормальном, нежели в тангенциальном направлении: например, жесткость химических связей выше жесткости валентных углов и т. д. (5\\,<1).

Решение задачи [9] для деформации двух упругих сферических тел с абсолютной адгезией показывает, что отношение тангенциальной и нормальной жесткостей зависит от коэффициента Пуассона материала, из которого сделаны сферы, и может стать больше единицы (А>1) лишь в том случае, если коэффициент Пуассона этого материала сам отрицательный (v<0).

Таким образом, для создания изотропного тела с v<0 необходимо иметь либо потенциал взаимодействия между соседними частицами, либо такой элемент конструкции, соединяющий случайно расположенные узлы, которые бы обеспечили слабую нормальную жесткость по сравнению с тангенциальной (сдвиг или изгиб). Примером такого тела может быть конструкция из жестких узлов с жесткими углами, соединенными друг с другом элементами типа телескопической антенны (рис. 2).

Чтобы понять, что такого типа структура могла быть получена в работе [5], рассмотрим подробнее метод получения пенополиматериала с v<0. Автор работы [6] в качестве исходного материала использовал различные жесткие пенополиэфиры. Характеристики исходного пенопласта: плотность ~0,03 г/см3, модуль Юнга ~70 КПа, v^0,4, Гс=*170°. Значение коэффициента Пуассона положительно и соответствует обычным синтетическим пенопластам. Образец такой пены подвергался трехосному сжатию (изменение объема в 2—4 раза), затем нагреву до температуры, близкой к температуре размягчения (Тс) и охлаждению до комнатной температуры. Полученный после такой обработки пенополимерный материал имел коэффициент Пуассона v=—0,7. Аналогичный результат получил автор для металлической пены путем ее пластической деформации (трехосного сжатия) при комнатной температуре. Трансформация структуры в процессе описанной выше обработки может быть представлена, на наш взгляд, следующим образом (рис. 3). Элемент структуры пены, показанный на рис. 3, а, при сжатии теряет устойчивость в наиболее узком месте и одна часть проваливается в другую, как это показано на рис. 3, б, образуя элемент типа телескопической антенны. Такой элемент обладает высокой жесткостью на изгиб и малой на осевое сжатие — растяжение и обеспечивает тем самым необходимое условие для получения материала с v<0.

Таким образом, показана возможность существования изотропных материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона, определены условия и предложены варианты структур, обеспечивающих данное свойство материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М., 1965. С. 204.

2. Love A. R. И. A Treature on the Mathematical Theory of Elasticity. N. Y., 1944.

3. Li Y. U Phys. Stat. Solid. 1976. V. 38. P. 171.

4. Gibson L. S., Ashby M. F., Schaier G. S., Robertson С. I. //Proc. Roy. Soc. London.

A. 1982. V. 25. P. 382.

5. Светлов И. Л., Епишин А. И., Кривко А. И., Самойлов А. И., Одинцов И. Н., Андреев А. П. ¡I Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 6. С. 1372.

6. Lakes R. // Science. 1937. Y. 235. P. 1038.

7. Rothenburg L. Micromechanics of Idealized Grannular Systems. Canada, 1980.

8. Bathursh R. J., Rothenburg L.II J. Appl. Mechan. ASME. 1988. V. 55. № 1. P. 17.

9. Mindlin R. D. II J. Appl. Mechan. ASME. 1949. V. 16. № 3. P. 259.

Институт химической физики Поступила в редакцию