ДИНАМИКА ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКИ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

ГРНТИ 30.19.15

Украинец Виталий Николаевич

д.т.н., профессор, кафедра «Архитектура и дизайн», Павлодарский государственный университет имени С г. Павлодар, 140008, Республика Казахстан, e-mail: vitnikukr@mail.ru Гирнис Светлана Римонтасовна к.т.н., ассоц. профессор, кафедра «Промышленное, гражданское и транспортное строительство», Павлодарский государственный университет имени С г. Павлодар, 140008, Республика Казахстан, e-mail: girnis@mail.ru

ДИНАМИКА ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКИ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

Решена задача о действии подвижной нагрузки на трехслойную оболочку в упругом полупространстве. Для описания движения полупространства и внутреннего слоя оболочки используются динамические уравнения теории упругости в потенциалах Ламе, колебания наружных слоев оболочки описываются классическими уравнениями теории тонких оболочек. Первоначально произвольная в окружном направлении бегущая нагрузка полагается синусоидальной по оси оболочки. Для решения задачи предложен метод неполного разделения переменных. Затем полученное решение используется для решения задачи о действии на оболочку движущейся нагрузки, не обладающей периодичностью, но представимой в виде интеграла Фурье. Решение получено для случая, когда скорость движения нагрузки меньше её критических скоростей. Данная задача математически моделирует динамику подкрепленного трехслойной обделкой тоннеля мелкого заложения при действии транспортной нагрузки (нагрузки от движущегося внутритоннельного транспорта).

ВВЕДЕНИЕ

ТЛ U U с/ с/

Впервые задача о действии движущемся с постоянной дозвуковой скоростью осесимметричной нормальной нагрузки на тонкостенную цилиндрическую оболочку в упругом пространстве рассмотрена в работе В.И. Пожуева [1]. Аналогичные исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) двухслойной оболочки в упругом массиве при действии транспортных нагрузок с использованием моделей теории упругости и тонких оболочек проведены в [2, 3]. Было показано существование критических скоростей движения нагрузок, при превышении которых в оболочках позади бегущей нагрузки возникают свободные незатухающие колебания. Последнее ограничивает диапазон возможных скоростей движения нагрузок в тоннелях и подземных трубопроводах, определение которого необходимо для обеспечения прочности и надежности подобных сооружений при эксплуатации.

. Торайгырова,

. Торайгырова,

Движение дозвуковой периодической и апериодической нагрузки вдоль неподкрепленной и подкрепленной тонкой упругой оболочкой круговой цилиндрической полости в упругом полупространстве изучалось в [2, 4, 5] на основе методов неполного разделения переменных и переразложения цилиндрических и плоских волн. Были получены аналитические решения соответствующих краевых задач, на основе которых проведены численные эксперименты и их анализ для разного типа нагрузок и скоростей их движения. В настоящей работе эта теория обобщена на трехслойные цилиндрические оболочки в упругом полупространстве.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую трехслойную оболочку с радиусом наружной поверхности Я1 и внутренней - Я2 в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве (массиве), отнесенному к неподвижным цилиндрической г, 9, г и декартовой х, У, 2 системам координат, ось z которых совпадает с осью полости и параллельна свободной от нагрузок горизонтальной границе полупространства, ось х -перпендикулярна к этой границе: х < И (рисунок 1). Внутренним слоем оболочки является толстостенная оболочка (заполнитель), а внешние слои (обшивка) представляют собой тонкостенные оболочки толщиной А и й02. В силу малости толщин составляющих обшивку слоев допускается, что они контактируют с заполнителем и окружающим массивом вдоль своих срединных поверхностей с радиусами Я1 и Я2. Контакт между слоями оболочки полагается жестким, а контакт между оболочкой и массивом полагается либо жёстким, либо скользящим при двусторонней связи в радиальном направлении.

Рисунок 1 - Трёхслойная оболочка в упругом полупространстве

По внутренней поверхности оболочки в направлении оси z с постоянной скоростью с движется нагрузка интенсивностью Р, вид которой не меняется с течением времени (стационарная нагрузка). Скорость движения нагрузки принимается дозвуковой, т. е. меньше скоростей распространения волн сдвига в заполнителе и массиве. Физико-механические свойства массива и заполнителя характеризуются соответственно следующими постоянными: , Ма, р1; V2, Д2,

р2, где Vк - коэффициент Пуассона, Дк - модуль сдвига, рк - плотность (к = 1, 2). В дальнейшем индекс k = 1 относится к массиву, а к = 2 - к заполнителю.

Поскольку рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому можно перейти к связанной с нагрузкой подвижной декартовой х,у, ц = г-сг или цилиндрической г. 6-1] = 2 - сг системе координат.

Для описания движения массива и заполнителя используются динамические уравнения теории упругости в подвижной системе координат [3]

(м;1 йк щ I м;>&4 = д\\/дц2, к = 1,2, (1)

где Мрк =с/срк, Мзк = с/счк - числа Маха; срк = ^(Хк + 2цк)/рк, сл = ^цк/рк - скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига в массиве и заполнителе, Хк = 2цкУк /(1 - 2хк);

ик - векторы смещений точек массива и заполнителя,

V2 - оператор Лапласа.

Колебания слоев обшивки описываются классическими уравнениями теории тонких оболочек в подвижной системе координат [3-5]

б2"о^ | 1-\\&ок , 1 + дЧ«- | У№ дим = 01Г 2 Д2 ае2 2Кк бг)Ш Як дц

l + vot öl&W , (1-VqJ

+ 1 du

Здесь для наружного слоя обшивки к = 1, для внутреннего - к = 2; у01 , Ц-м, рм - соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материалов слоев обшивки; ноп*> иш ■ иогк - перемещения точек срединных поверхностей слоев обшивки; = > Чц = ^^ > чл = - составляющие реакции заполнителя и массива, У = г (при скользящем контакте оболочки с массивом

=<?ел, аг,2 - компоненты тензоров напряжений в массиве и

заполнителе, qJ 2 = PJ (в, п), р (0, п) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки р(в, п), 7 = П, б,г .

Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то, при х=^Ь

При различных контактных условиях оболочки с массивом граничные условия имеют вид:

- для скользящего контакта оболочки с массивом

ип = ип . "л = "ол, а,П1 = 0 > = 0,

при г = R1 ~

при г = R2 и]2 = uQji, j = г, 0, г|;

- для жёсткого контакта оболочки с массивом при г = R1 uji = uj2 > uji = uoji > при г = R2 Uj2 = Hoj-2 j J = r& ®> П -где Ujk (к - 1, 2) - компоненты векторов u.

Векторы uk можно выразить через потенциалы Ламе [2, 3]

ик = grad фи + rot(cp2ier)+rot rot((p3jlen \\ к = 1, 2, которые, как следует из (1) и (6), удовлетворяют уравнениям

где Mlk = Mрк, М2к = Мзк = Msk.

Через эти же потенциалы, используя (6) и закон Гука, можно выразить компоненты тензоров напряжений ^¡„г, в массиве (к = 1) и заполнителе (к = 2) в цилиндрической (l,m = г,в,ц) системе координат, а также сг/ш1 в декартовой (/. ш = .y. v. i-| ) системе координат.

Таким образом, для определения компонент НДС массива и заполнителя необходимо решить уравнения (7), используя граничные условия (3) и, в зависимости от условия контакта оболочки с массивом, (4) или (5).

где константа £ определяет период T = 2п/ £ действующей нагрузки.

В установившемся состоянии зависимость всех величин от П имеет вид (8), поэтому

ф.,(г,в,п) = ф>,еу?\\ 7 = 1,2,3, ¿ = 1,2,

"од(М) = ZUQnjk^e&^ij = г Л П, к = 1,2.

Подставляя (9) в (7), получим

= 0, j = 1,2,3, к = 1,2,

: (1 - М&-к) , т1к = трк, т2к =тзк = т,к, -двумерный оператор Лапласа.

Используя (9) можно получить выражения для перемещений и напряжений о]тк [),т = г,д,ц) в массиве (к = 1) и заполнителе (к = 2), а также

и*ц, а*т1 (1,т = х,_у,г|) в массиве от синусоидальной нагрузки как функции от (I).... (* означает, что данные компоненты найдены при действии на оболочку синусоидальной подвижной нагрузки).

В дозвуковом случае Мак < 1 (пьк >0, к = 1,2), и решения уравнений (11) можно представить в виде [3]

где тА

Фд = Ф$+Ф$,7 = 1,2Д к = 1,2,

- для массива

- для заполнителя

П = > Фп = е(13)

Здесь /,,(А&;г). Кп (к г) - соответственно модифицированные функции Бесселя и функции

Макдональда, к|шд4|, А-,2" |/г?;2ф ап1,...,ая9 ~ неизвестные функции и

коэффициенты, подлежащие определению, ] = 1,2,3.

Как показано в [2, 3, 5], представление потенциалов для полупространства в форме (12) приводит к их следующим выражениям в декартовой системе координат:

Воспользуемся переписанными для (ш = х,у,г|) граничными условиями (3), с учетом (15). Выделяя коэффициенты при и приравнивая, в силу произвольности у, их нулю, получим систему трех уравнений, из которой выражаем функции ёчерез неизвестные коэффициенты а„1,а„2>апз:

р4 - а

\\ .—± \\ \\

Д* = Д* = 2 1-2 & 32 02 & 33

г +

(2Р;-Р2)2

Заметим, что А* - определитель Рэлея, который обращается в ноль при

р1к = Ъ^М^, или в двух точках ± £к = -1, где Ык = с / ск - число Маха,

ск - скорость поверхностных волн Рэлея, которую условимся называть рэлеевской

скоростью. Из последнего следует, что А не обращается в ноль на действительной оси, если Ык < 1, или п < пк, то есть при дорэлеевских скоростях движения нагрузки. В этом случае потенциалы (15) можно представить в виде

Следует отметить, что рэлеевская скорость ек несколько ниже (на 5^ 10%) скорости волн сдвига в массиве.

С учетом (17) выражения для компонент НДС массива в декартовых координатах при п < пк примут вид

Используя известное при х < к соотношение [2, 5]

ехр(г^С К* Ь)^2+к]) = ¿/:| + }е ,

П=—°0

представим Ф (12) в цилиндрической системе координат Подставляя в последнее выражение из (16) С), для « < получим

Фд = ¿кА^л&-) 1 (19)

где "■> г—1 "" & "j j л

^ /=1 т= м _„ ü

С учетом (19) выражения для компонент НДС массива в цилиндрических координатах при с < сК примут вид

Используя соотношения для Ф;2 (12) получаем формулы для вычислений

компонент напряженно-деформированного состояния заполнителя при

где£= 1,2; ou

Разрешая (22) относительно ^Опцк ? ^OnQk & -Grift находим

для Цф и Чн]я1 индекс j = 1 соответствует индексу Л, j = 2 - 9 , j = 3 - г . Для определения коэффициентов а„\\, ■ ■ а„9 воспользуемся, в зависимости

от условия сопряжения оболочки со средой, переписанными для п*к (I = г, 9, п)

и , аю1 граничными условиями (4) или (5), с учётом (8), (10), (20), (21), (23). Приравнивая коэффициенты рядов при вп 6, получим бесконечную систему (п = 0, ±1, ±2,...) линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно использовать метод редукции или более удобный для решения поставленной задачи метод последовательных отражений [5], позволяющий при каждом последовательном отражении решать систему линейных уравнений блочно-диагонального вида с матрицами размером 9х9 определителями А п с) вдоль главной диагонали. После определения коэффициентов, компоненты НДС массива и заполнителя можно вычислить по формулам (20), (21).

Зная решение задачи для синусоидальной нагрузки, реакцию оболочки и окружающей её среды на движущуюся с постоянной скоростью апериодическую (локальную) нагрузку вида Р(в, £) = р(в)р(п) (характерного для транспортных средств) можно найти при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС массива и заполнителя в виде интегралов Фурье

Здесь р(1)= .

Для вычислений перемещений и напряжений (24) можно использовать любой численный метод интегрирования, если определители A n c) (n = 0, ±1, ±2,...) разрешающей системы линейных алгебраических уравнений отличны от нуля, т. е. когда скорость движения нагрузки с меньше её критических скоростей , которые могут оказаться меньше, чем скорость волны Рэлея в массиве. Значения %)* зависят от числа п и определяются из дисперсионных уравнений = 0

как минимумы соответствующих этим уравнениям дисперсионных кривых с~ £ . Причём, минимальная критическая скорость, как показывают расчёты, имеет место при п = 0 (min %у = с:о:<) [4].

ВЫВОДЫ

г» " "

В строгой математической постановке получено аналитическое решение задачи о действии подвижной нагрузки на трехслойную оболочку в упругом полупространстве. Решение получено для докритических скоростей движения нагрузки. Разработанную методику расчета рекомендуется использовать для динамического расчета подкрепленных трехслойными обделками тоннелей мелкого заложения при действии транспортных нагрузок.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Материал поступил в редакцию 02.03.20.

Украинец Виталий Николаевич

т^.д., профессор, «Сэулет жэне дизайн» кафедрасы,

С. ТораЙFыров атындаFы Павлодар мемлекетлк университет^

Павлодар к., 140008, ^азакстан Республикасы,

e-mail: vitnikukr@mail.ru

Гирнис Светлана Римонтасовна

т^.к., кауымд. профессор,

«Энеркэсштж, азаматтык жэне келж курылысы» кафедрасы,

С. ТораЙFыров атындаFы Павлодар мемлекетлк университет^ Павлодар к., 140008, Казахстан Республикасы, e-mail: girnis@mail.ru Материал баспаFа 02.03.20 TY^i.

гул • • • U • •

Жылжымалы жYктеме эрекет1нен серп1мд1 жартылаи кец1ст1кте орналаскан уш кабатты кабыкшанын динамикасы

CepniMdi жартылай кещстжте орналаскан уш цабатты цабыцшага жылжымалы жуктемесшщ epeKemi туралы ece6i шешшген. Щабыцшаныц сыртцы цабаттарыныц тербелс жуца цабыцша теориясыныц классикалыц тецдеулермен царастырылды, ал шк цабыцшаныц цабаты мен жартылай кещстжтщ цозгалысын сипаттау ушш Ламе потенциалдардагы сepпiмдi теорияныц динамикалыц meцдeулepi цолданылды. Бастапцыда айналма багытта еркш жылжымалы жуктемеа цабыцша оа бойынша синусоидалы деп саналады. Тапсырманы шешу ушш айнымалылардыц толыц бвлшбеу эдс усынылды. Содан кешн алынган шeшiм мepзiмдiлiгi жоц, бipац Фурье интегралы туршде усынылган жылжымалы жуктеменщ цабыцшасына эcepi туралы тапсырманы шешу ушш цолданылады. Шeшiм жуктеме цозгалысыныц жылдамдыгы оныц сыни жылдамдыгынан аз болган жагдайда алынды. Бул есеп уш цабат цаптамасымен кушейтшген таяз орналасцан тоннельде квлжтщ жуктемеа (тоннельдщ шшде жылжымалы квлшшц жуктемесi) эсер еткенде динамикасын математикалыц модeльдeйдi.

Кiлmmi свздер: cepпiмдi жартылай кeцicmiгi, ушцабат цабыцша, жылжымалы жуктеме, тоннель, кернеу-деформациялыц куш.

Ukrainets Vitaliy Nikolaevich

Doctor of Technical Sciences, professor,

Department of «Architecture and Design»,

S. Toraighyrov Pavlodar State University,

Pavlodar, 140008, Republic of Kazakhstan,

e-mail: vitnikukr@mail.ru

Girnis Svetlana Rimontasovna

Candidate of Technical Sciences, associate Professor,

Department of «Industrial, Civil and Transport Constraction»,

S. Toraighyrov Pavlodar State University,

Pavlodar, 140008, Republic of Kazakhstan,

e-mail: girnis@mail.ru

Material received on 02.03.20.

Dynamics of a three-layer shell in an elastic half-space under the influence of mobile load

The problem of action of movable load on three-layer shell in elastic half-space is solved. The dynamic equations of the theory of elasticity in Lame potentials are used to describe the motion of the half-space and the inner layer of the shell. Fluctuations of the outer layers of the shell are described by the classical equations of the theory of thin shells. Initially, a randomly

running circumferential load is assumed sinusoidal along the axis of the shell. The method of incomplete separation of variables is proposed to solve the problem. Then, the obtained solution is used to solve the problem of the action of a moving load on the shell, which does not have periodicity, but can be represented as a Fourier integral. The solution is obtained for the case when the speed of the load is less than its critical speeds. This article provides a solution to the problem by mathematically modeling the dynamics supported by a three-layer lining of a shallow tunnel under the action of a transport load (the load from moving in-tunnel vehicles).