Спросить
Войти
Механика
УДК 532.593+536.715 DOI: 10.14529/mmph200307
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛИМЕРНОГО КОМПОЗИТА, АРМИРОВАННОГО S2 СТЕКЛОВОЛОКНОМ
Ю.М. Ковалев
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: yum_kov@mail.ru
Представлены результаты построения полуэмпирического уравнения состояния полимерного композита, армированного S2 стекловолокном. Уравнение состояния включает в себя тепловую и холодную составляющие. Для описания холодной составляющей уравнения состояния было проведено обоснование выбора формы (m и n) потенциала межмолекулярного взаимодействия, адекватно описывающего структуру взаимодействий в компонентах композиционного материала. Для описания тепловой составляющей данного уравнения состояния свободная энергия Гельмгольца определялась в приближении Дебая. При построении уравнения состояния было показано, что уравнение состояния полимерного композита, армированного S2 стекловолокном, может быть представлено в форме Ми-Грюнайзена. Предложен вид зависимости коэффициента Грюнайзена от объема и подход к определению коэффициента Грюнайзена при начальных условиях проведения эксперимента по ударно-волновому воздействию на композиционный материал. Построены экспериментальные и расчетные ударные адиабаты полимерного композита, армированного S2 стекловолокном. Равенство первой и второй производных экспериментальной и теоретической ударных адиабат в точке, определяющей начальное состояние композитного материала, позволило определить коэффициенты, входящие структуру (m и n) потенциала межмолекулярного взаимодействия компонентов композиционного материала. Сравнение давлений, рассчитанных по определенному в работе уравнению состояния полимерного композита, армированного S2 стекловолокном, с экспериментальной ударной адиабатой показало, что они совпадают с расхождением менее 1 %.
Введение
Изучение поведения разнородных материалов в условиях динамической загрузки имеет жизненно-важное значение для многих областей применения композитов. Сложность построения уравнений состояния таких материалов заключается в том, что компоненты, входящие в состав композита, имеют разные механические и термодинамические свойства. Понимание реакции композитных материалов на ударно-волновые нагрузки имеет важное практическое значение в ситуациях, связанных со смягчением удара и взрыва, а также оптимизацией конструкций сооружений, имеющих дело с потенциальной опасностью динамического нагружения. В настоящее время множество различных материалов, начиная от металла, керамики и полимеров, как в монолитных, так и в композитных формах, используются для достижения поставленных целей. Наибольшее распространение получили стекловолоконные [1] и углерод-углеродные композиционные материалы [2].
В литературе имеется большой объем экспериментальных данных о распространении ударных волн в гетерогенных и композитных материалах [3-8]. Применение полимерных композитов, армированных S2 стекловолокном [9], в качестве важного компонента в системах, связанных со смягчением ударно-волновых нагрузок, требует углубленного и детального изучения поведения композиционного материала в широком диапазоне напряженных состояний. Для таких систем рассеяние, дисперсия и ослабление ударных волн играют решающую роль при определении термомеханической реакции среды. В частности, нелинейное поведение полимерного композиционного материала, армированного 82 стекловолокном ^ЯР), можно отнести к сложной структуре материала, развитию многочисленных повреждений в виде обширного расслоения, сдвига волокна, разрушения волокна при растяжении, большого отклонения волокна, микроразрушения волокна и локального напряжения волокна.
Несмотря на большой объем экспериментального материала, многие особенности ударно-волнового нагружения композиционных материалов могут быть исследованы только с помощью математического моделирования. Для быстропротекающих процессов математическое моделирование очень часто оказывается единственным надежным источником получения достоверной информации. Для замыкания математических моделей актуальной остается проблема получения точных уравнений состояния [9].
Целью настоящей работы является разработка подхода к построению уравнения состояния 82 стеклопластиковых армированных полимерных композитов для описания экспериментов по ударно-волновому воздействию, представленных в работе [9], до уровней давления во фронте ударной волны 4,5 ГПа.
Уравнения состояния полимерного композита, армированного 82 стекловолокном
В зависимости от набора экспериментальных данных построение полуэмпирического уравнения состояния связующего [10-13] и минералов [13-18] начинается с выбора термодинамического потенциала. В данной работе таким термодинамическим потенциалом является свободная энергия Гельмгольца Е (V ,Т), которая наиболее простым и естественным образом связана с моделью строения вещества [10-13] и автоматически разбивается на тепловую и «холодную» составляющие:
Здесь и, Т , И, к , соа , - энергия межчастичного взаимодействия между атомами композитного материала, температура тела, постоянная Планка, постоянная Больцмана, частоты нормальных колебаний, энергия нулевых колебаний соответственно. В формуле (1) суммирование производится по всем частотам нормальных колебаний молекул, входящих в структуру композитного материала. Определив выражение для функции свободной энергии Гельмгольца Е(V,Т), путем дифференцирования по объему и температуре данного термодинамического потенциала находятся все выражения для определения как измеряемых (давление), так и вычисляемых термодинамических характеристик (внутренняя энергия, энтропия) [19].
Не ограничивая общности, применим подход Дебая и перепишем колебательную часть свободной энергии Гельмгольца Е(У,Т) свободной энергии в выражение (1) следующим образом:
здесь Я, N, вО - универсальная газовая постоянная, поделенная на эффективную молекулярную массу композитного вещества /, число атомов, характеристическая температура Дебая.
Интегрируя по частям третье слагаемое в выражении для свободной энергии Е (V,Т) , определенное равенством (2), а также вводя функцию Дебая О (х) [20]
получим следующее выражение для свободной энергии Гельмгольца:
где хО = вО / Т .
Выражение для свободной энергии Е(У,Т) (3), позволяет определить давление Р и энтропию Ь путем дифференцирования свободной энергии Гельмгольца по объему и температуре соответственно
р=_№ 1 =_и _ йЕж _ ,тт () ¿СпУ I (4)
^V )Т 8V ау V Р й (1п V) V
S = -\\3NR
ln (1 - exp(-xD ) )-D( Xd )
- 3NMRD( xD )k (5)
При выводе формулы (5) было использовано свойство функции Дебая
Р( х) =-_ |р&( х),
ехр ( х)_ 1 3
где штрих обозначает дифференцирование по характеристической температуре х.
Уравнения (3) и (5) позволяют определить выражения для энергии Е и теплоемкости при постоянном объеме Ск:
Е = Е + ТЬ = и + Е0У + 3ЖТР(х0 ) , (6)
Cv = 3NR
exp( Xd ) -1 y
Вводя в рассмотрение коэффициент Грюнайзена по формуле
rD (V) = -&
d (ln 9d )
й (1п V) &
выражение (4) можно записать в виде
р = 3жтт (V) р (хд)
Исходя из определения энергии нулевых колебаний и учитывая разделение частот, получаем
выражения для функций Еок и ——:
Е„, = 1 £ 9-ИКвв (V); йЕ01 = _9 ™Гр (у Н (у) . (9)
ок 2£ а 8 >& dV 8 V
Дифференцируя выражение (3) по объему V с учетом равенства (9), получим выражение для давления Р:
Р =-(Р ( хр )) + Рх, Рх =_и + 9 ЖТГр (V) Хр / V, (10)
где второе выражение (10) определяет холодную составляющую давления композитного материала.
Объединяя давление нулевых колебаний с тепловой частью давления, преобразуем первое равенство (10) к следующему виду
Р = ЗНЯТур(ПР(Р(хр) + -хр) + Рс Рс =_8и-. (11)
Подставляя выражение для энергии нулевых колебаний в равенство (6), получим следующее выражение для определения внутренней энергии
Е = и + 9ЫКвп (V) + 3ЖТР(хп ) . 8
Объединяя второй и третий члены правой части последнего уравнения, получим выражение для определения внутренней энергии
Е = и + 3ЖТ(Р(хР ) + - хР ). (12)
Ковалев Ю.М. Уравнение состояния полимерного композита,
армированного s2 стекловолокном
Выражая второй член правой части уравнения (12) через внутреннюю энергию Е и энергию меж частичного взаимодействия и и подставляя полученное равенство в уравнение (11), получим уравнение состояния в форме Ми-Грюнайзена
Р - Рс = ГО (У)Р(Е - и) (13)
Для полимерного композиционного материала, армированного 82 стекловолокном, в работе [8] на основании экспериментальных данных была получена зависимость скорости ударной волны В от массовой скорости полимерного композиционного материала, армированного 82 стекловолокном, за ударной волной и:
О = а + Ьи = 3,228 + 0,996м, (14)
где а и Ь - постоянные значения, определенные из экспериментов по ударно- волновому нагру-жению полимерного композиционного материала, армированного 82 стекловолокном. Выражение для скорости ударной волны (14) позволяет построить ударную адиабату полимерного композиционного материала, армированного 82 стекловолокном в виде:
Р =Роа2(1 - х)/(1 - Ь(1 - х))2, (15)
где х = р0 / р. Для уравнения Ми-Грюнайзена (13) построим ударную адиабату (адиабату Рен-кина-Гюгонио). Соотношение, связывающее внутреннюю энергию и давление за фронтом сильной ударной волны, имеет следующий вид
Е - Ео = р (V - V),
где Е,Р, V - значения внутренней энергии, давления и удельного объема за фронтом ударной волны соответственно, Е0, У0 значения внутренней энергии и удельного объема до фронта ударной волны.
Выражая внутреннюю энергию Е из уравнения (13) и подставляя в последнее уравнение, получим уравнение для адиабаты Ренкина-Гюгонио
Р = (Рс + ГО(V)р(Е0 -и))/(1 -0,5^- V)) . (16)
Выражение для коэффициента Грюнайзена в дальнейшем было принято в виде, полученном в работе [21, 22]
Го (V) = 70 (р/Р0), (17)
где г0 - значение коэффициента Грюнайзена при начальной плотности р0 равной 1,959 г/см3 [8]. Для определения начального значения коэффициента Грюнайзена г0 рассмотрим предельный случай, когда давление Р стремится к бесконечности, и определим предельные значения плотности р» или удельного объема V». Из уравнения (15) следует, что давление стремится к бесконечности, когда знаменатель равен нулю. Таким образом, из равенства
следует, что
х» = (Ь -1)/Ь. (18)
Из уравнения Ренкина-Гюгонио (16) можно определить начальное значения коэффициента Грюнайзена при условии стремления давления к бесконечности в точке х». Из равенства нулю знаменателя в уравнении (16)
получаем, что начальное значение коэффициента Грюнайзена связано с параметром Ь экспериментальной ударной адиабаты следующим образом:
Г0 = 2Ь. (19)
Таким образом, уравнение Ренкина-Гюгонио можно представить в следующем виде:
Р = (Рс + 2Ьр0(Е0 - и ))/(1 - Ь(1 - х)) . (20)
Сравнение выражений для описания холодной составляющей давления и внутренней энергии, полученных в работе [23], с уравнением Винета [24], показало [23], что эти составляющие могут быть представлены следующим образом:
Рс = ЪрС (х-"1+1) - х"(и+1)), (21)
и = 3С021— х"т--х~ " I, (22)
^ т п )
где С0 - объемная скорость звука, равная 2,6 км/с [8]. Из равенства нулю при х = 1 экспериментальных (15) и расчетных (20) значений давления на ударной адиабате следует, что
Ео = и = 3Со2 Г- - Л . (23)
^ т п )
Для определения значений т и п, потребуем равенства первой и второй производных по х на экспериментальной (15) и расчетной (20) ударных адиабатах в точке х = 1. Получим систему из двух уравнений
ЯР ЯР ЯР
где Рех и Рса1с определяются из уравнений (15) и (20) соответственно.
Подставляя в уравнения (24) и (25) выражения для соответствующих производных давления на ударных адиабатах, определенных равенствами (15) и (20) по х, получим следующую систему уравнений для нахождения параметров т и п:
(26) (27)
В результате решения системы уравнений (26) и (27) были получены следующие значения: т = 0,7567, п = 0,2429. В таблице приведены значения давлений на экспериментальной [8] и расчетной ударной адиабате (20).
dP ex dPcalc dPc
dx dx dx
d2 P ex 32 Pcalc l 1 d CP
dx2 dx2 dx2
а2 /(ЗС^) = m - n, (4а2 b)/(3C2) = (m + 1)(m + 2) - (n + 1)(n + 2).
s x Pex, ГПа Pcalc , ГПа
Приведенные в таблице данные показывают, что расхождение экспериментальных и расчетных значений давления на ударных адиабатах менее 1 %.
Выводы
Поступила в редакцию 1 июня 2020 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2020, vol. 12, no. 3, pp. 48-55
DOI: 10.14529/mmph200307
EQUATION OF STATE FOR S2 GLASS-FIBER REINFORCED POLYMER COMPOSITE
Yu.M. Kovalev
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: yum_kov@mail.ru
This article presents the results of building a semi-empirical equation of state for S2 glass-fiber reinforced polymer composite. The equation of state includes the heat and cold elements. To describe the cold element of the equation of state, the substantiation has been performed for the choice of the form (m and n) of the intermolecular potential adequately describing the structure of interactions in the composite material&s components. To describe the heat element of this equation of state, the Helmholtz free energy has been determined with the Debye approximation. When building the equation of state, it has been shown that the equation of state for S2 glass-fiber reinforced polymer composite can be presented in the form of a Mie-Grüneisen equation. A type of dependency has been suggested between the Grüneisen coefficient and the volume, as well as an approach to determining the Grüneisen coefficient at the initial conditions of holding an experiment on the shock-wave exposure of the composite material. Experimental and calculated shock adiabats have been built for the for S2 glass-fiber reinforced polymer composite. The equality of the first and second derivatives of the experimental and theoretical shock adiabats in the point determining the initial state of the composite material has allowed to determine the coefficients being part of the structure (m and n) of the intermolecular potential of the composite material&s components. The comparing of the pressures calculated as per the work-determined equation of state for S2 glass-fiber reinforced polymer composite, with an experimental shock adiabat, has shown that those correspond with a difference of less than 1 %.
References
Received June 1, 2020
