УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОДНОРОДНОГО КОНУСА ПО НАКЛОННОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ

Математика. Прикладная математика. Механика В.В. Сельвинский

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОДНОРОДНОГО КОНУСА ПО НАКЛОННОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ

In this paper the motion of the homogeneous cone on the inclined plane is considered. This motion is result of the action of gravity, friction and inertia. The conditions of stability or instability are obtained for one of possible motions of the cone. Рассмотрим однородное тело вращения, контур кото-рого вписывается в круглый конус; при этом ось симмет-рии тела является главной центральной осью инерции. Для краткости будем называть его круглым однородным кону-сом. Z

Рис. 1. Схема положения однородного конуса на шероховатой плоскости. Исследуем безотрывное движение круглого однородно-го конуса по неподвижной шероховатой плоскости (рис. 1). Будем считать, что взаимодействие конуса с плоскостью осу-ществляется в точках А( и А,, лежащих на одной образую-щей конуса, и выражается коэффициентом трения сколь-жения / Свяжем с плоскостью систему координат Oxyz, направив ось Ох по линии наибольшего ската вниз, а ось Oz - перпендикулярно плоскости; с конусом свяжем сис-тему главных центральных осей Слг/С Будем использовать также прямоугольную систему координат Ariz &с началом в вершине А конуса, ось А1 направим по линии А/1р ось Azпараллельно Oz, Пусть инерционные свойства кону-са характеризуются массой М и моментами инерции./,, J,, лотносительно осей Ct,(J = J2); положение конуса определяется координатами центра масс хс, ус и углами Эйлера <р,ц/ {(р-угол собственного вращения, ц/~ угол прецессии, угол между осью Аг и линией наибольшего ската). Центр масс С лежит на оси конуса так, что при любых значениях обобщенных координат выполняется условие статической неопрокидываемости: АА,<АС Sin(e±y) Cosy <АА ч,

где у- угол наклона шероховатой плоскости; в— угол, ко-торый составляет ось конуса с осью Az&.

Во время движения на конус действуют следующие силы: сила тяжести G, нормальные реакции /V плоскости и силы трения F. в точках А. (/=/,2); проекции сил трения на оси х, у при условии проскальзывания в точках А. рав-ны:

f. FA-jn, ще

vix=xc+(/, - jy/Cosi// + IxpCosdCosi// vn, = yc. +(- Ic )ipSiny/ + IfiCoseSim// & (1) (2)

- проекции скоростей точек контакта А.; i = АА ; / = =AC4Sind. В отсутствие проскальзывания силы трения не превосходят по величине своих максимальных значений,

(7=1,2).

Выражение кинетической энергии конуса, отнесенной к подвижным осям имеет вид

T = LMv2c+-2JI(coI+a}2r,) + ±J36>I (3) где vr- скорость центра масс С;

а>с = Sin<p ■ Sin0 ■ \\jj + Costp ■ в, con = Cos(p ■ SinQ ■ i/> - Sirup ■ в, a, = Cos6 -ф + ф.

- проекции вектора угловой скорости конуса.

Уравнения движения конуса составляем как для сво-бодного твердого тела, на которое накладываются допол-нительные геометрические связи. Обобщенные силы, со-ответствующие координатам хс, yr, zc, находятся как про-екции на оси Oxyz главного вектора всех сил, действую-щих на конус; обобщенные силы, соответствующие коор-динатам ср. и/, в, как главные моменты этих же сил относи-тельно осей собственного вращения, прецессии и нута-ции соответственно: Qx = MgSiny + F,x + F,x,

Qz = -MgCosy + N + М,,

Q,=(Flrll + F}rl})Cos0,

Qr = Flr(ll-lc) + F2r(l2-/c).

Qe = -N,(1, -1с)~ N2(12 -1с) + + Fv )zc,

Fir = FixCosip + FlvSinip, Fu = -FaSiny/ + FtyCosip. Используя уравнения Лагранжа (4) ДТ dq, (j=i.....6)t

с учетом В = 0, z( -0 получаем уравнения состояния однородного конуса:

Мхс = MgSiny + FLX + F}X,

Мус = FTY+F2Y,

О = -МдС^у + N,+N2,

JJP + J}Cos9tp = (F)RL, + F2RL2 )COS6,

J fosdip + J J> = F„ (I, -1с) + F2r (12 - 1с ), (5)

J.SinQipij/ - ( Jt - J, )Sin9Cosip2 =

= -LC)- N2(L2 -LC) + + F2I )ZC,

где J.. = J,Sin2в + Jf os2в.

Чтобы уменьшить количество независимых парамет-ров системы, перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве характерного размера расстояние цен-тра масс до вершины конуса: hc = АС=

а в качестве характерного времени - период малых коле-баний конуса: Т = 2я/а>0 , где ш<>

а>„ =

-характерная частота.

Таким образом, безразмерные переменные и парамет-ры будут определяться следующими соотношениями: т=а>01 - время; = хс / hc, ус =ус /, zc = zc / hc = Cosd,... - координаты; х& =■ с dr рости; dxr

= xc/(hc-a>0),y&r=A = yc/(hr-co0) - Ско- ат d xr ..//] & i d yr ■) ,

Xc = —ГТ = XC /(hc ■ co-0 J, yr = —Ft = yc /(hc -co0)- ye-ar" йт~ hi = h + Cos2b, j„ = j, cos2 в + j3 sin2 в; нормальные реакции: N, = y-j [Cosy(1\\ - SinB ) - CosdSinySin,и - jjgdiy&2 J Л

(i,j =/, 2; i*j); Проскальзывание наступает в точках контакта А , А, при выполнении неравенств

|F2r| > F2°, F]r2 + F2 <(F° )2 (поворотвокругточкиА1); F2r2 + F2 < (F2° )2 (поворот вокруг точки A2);

(проскальзывание сразу в обеих точках). Для проверки этих неравенств нужно полагать:

Fr = -&-=&- SinyCosy/. JAI

Fj = -Siny Siny/ + Sindy2, Mr

.Ji-Js JA,

SinBCos2 OSinyCosif/, (9)

корения;

, dy . , , d<p . У =-= ц>/а>0, <p = — = (р/гаО-угловыескорости; at ax

„ d2\\jj .. . , „ d tp .. . , W = —T-y//co0, q> = —7 = (p/a>0 -угловыеускоре- dr ат~ ния;

j, = J. /(Mh2),j3 = J3 /(Mh2c),...- моменты инерции;

Nt = N,/(Mg) = aNti(Mhcco2), Ft=Ff /(Mg) = aFi/(Mhco)2) - силы;

I, = I,/ hc, Ic -lc/ hc = Sind - линейные размеры (i-1,2). Дя пор «волну» Н£»Д

w£зразМе р ными переменными для краткости записи опускаем.

Уравнения (5) принимают вид

x"c=Siny + Flx+F2x, О = -Cosy + N, + N2,

j3<p" + jfosdiif" = (FJ, + FJ2 )Cos6, (6)

j£os6q>" + jj/& = FJIj - Sind) + F2r(i2 - Sine), jjSinetp&y/&j, - j3 jSmdCosOti/&2 = = -N,(l, - Sine) - N2(I2 - Sine) + (F„ + F2!)Cos6.

При чистом качении вершина конуса А неподвижна и мгновенная ось вращения проходит через точки контакта: x&A=y&A=0, (p&Cose + ц/& = 0 .

Отсюда

х&с = Sine ■ Cost// ■ ц/&, у&с - Sine ■ Sinif/ • ц>&, и из уравнений (6) получаем: уравнение качения конуса + a2SirtF = 0, (7) где

я SindSiny Ч& -Ц! , <:->- = F = fN, а = 1,2).

Если в точках контакта Ai начинается проскальзыва-ние, силы трения будут определяться равенствами (1); нормальные реакции выражаются из третьего и шестого уравнений (6): N, + N2= Cosy,

£ N, (I, - SM + f Cosu • ) = (j, - j3 )8МСо*еч/&2 - j3Sin6<p& ц/&,(10/> где v® - проекция на ось Al единичного вектора направле-ния скорости точки А.. Остальные уравнения (6) определяют изменения обоб-щенных координат при безотрывном движении однород-ного конуса. Нетрудно заметить, что эти уравнения до-пускают частное решение:

х"с= const, у&с = 0, ср& — 0, ц/ = я/2, (11) которое соответствует поступательному

скольжению ко-нуса основанием вниз по наклонной плоскости; при этом линия

касания конуса с плоскостью остается параллель-ной оси Ох.

Допустим сначала, что tgy=f, и исследуем решение уравнения движения (11) на

устойчивость. Пренебрегая величинами второго порядка малости, имеем:

F* = р» = ~Тп[Ус +(1, -1с)¥+1,Со$вф1

\\хс\\

Из первого уравнения системы (6) следует: х"с = Siny - f(N, + N2) = Siny - / Cosy = 0,

то есть x&c = x&co = const > 0 для соответствующих началь-ных условий. Введем новые переменные: Ф^р-cose+tf/, v=^--j

и линеаризуем второе, третье и четвертое уравнения сис-темы уравнений (6), предварительно выразив вторые про-изводные. В результате получаем систему трех дифферен-циальных уравнений с постоянными коэффициентами: 2 & & }А< &

у: + а1/Г& + Ъ1,/с+Ь13Ф& = 0,

У" + а2Т + Ь2,у[ + Ь32Ч* + Ь23Ф& = О, Ф" + a,!F& + Ь„у1 + b!24J + Ь33Ф& = 0. (12) Здесь

ь11=ль1з=Мк.гЬ21= tWs2 , хсо хсо xcojiSin в ь„=-JRs К =

f(jaMN-jsNSM) x&CBj,Sin в - J,J3XC0 f(jaRN~j3MNSM) °33~ ■ ■ , JlJзхсо

bJ2=-b,,x&cn ( j = 2,3) (13)

а12=-Ь]^те (j =1,2,3) где

N = N + N2; MN = Ш, + NJ,; MS = MNSin29- NSind; ja = j,Cos26 + j3Sin2e;

Rn = + NJ2, RS = RNSin26 - MNSine. Характеристическая матрица системы

уравнений (12) после элементарных преобразований, с учетом выраже-ний (13)

для коэффициентов а.., Ь.., примет вид

&Л + Ь„ Л2 Sin0 Ъ„

"21 ъ„

А2+Ь, Ь„

л + ь...

Вычисляя определитель данной матрицы, получаем характеристическое уравнение:

XJ +а,к3 + а2Л2 + а3Я + а4 =0, (14) где

ai ~ ьзз + Ь,, - b2lSine, а2 = Ъ22 + Л22 + А^п0, а3 - ЪИЪ22 + Л12х&С0, а4 = ЪпЛ12х&со, 4г = ~Ь21Ьзз + Kb3i • = Ь„Ь3з - Ь,,Ьэ1.

Исследуемое решение будет асимптотически устой-чивым, если корни уравнения (14) имеют отрицательные действительные части, что гарантируется критерием Рау- са-Гурвица:

а4 >0, а,> 0, а,а2 -а3>0, ata2a3 - а3 - а4а2, > 0 (15) Левые части неравенств (15)

можно представить в виде

f!N • Sind ■ Ctg20

В0, arf-в,

xcoJtJ? XcoJih

f2( JixcqB2 + / • jA,SinA0 ■ B„B,) л x&r,Jij2,SinJe (16)

ми выражений B(J,..., B4, атакже значениями критических скоростей: v.= f-jMSin4e BOB, J3 В,

f-Sin4e В0В,В4 J3

B2B3 ■

Нетрудно заметить, что В() >0, В, >0 при любых дей-ствительных значениях параметров конуса, а значит а>0, а1 >0, и первые два неравенства системы (15) всегда вы-полняются. Третье неравенство системы (15) выполняет-ся при В2 > 0 либо при В2< 0 и достаточно малых скорос-тях, х&.„ < v* . Четвертое неравенство системы (15) выпол-няется при В2-В3 >0,В> 0, либо приВ2-В}<0,В4>0 и достаточно малых скоростях, x&r„ < v*, либо при В, ■ Bj > 0, В,< 0 и достаточно больших скоростях, x&r„ > v* .

Для более наглядного представления рассмотрим плос-кость параметров В2, В3 (рис. 2), учитывая, что условие В4> 0 эквивалентно условию В3> N ■ Sine ■ Cos2 в • В, / jAI > О. Ф вг°

устойчиво, если х&со < V*

фв4<о неустойчиво 4<о 0

неустойчиво В4>0

устойчиво ■£> в4<о

устойчиво, ест х&со >v2 ■в4=о © в4<0

неустойчиво

B0 = RnN-M2n=N,N2(1 ,-12)2,

в, = .ЛГУ, + 1)N -2-Sine ■ j3MN + jaRH =

=MfL+JjN+jCos2e-RN, sin2e

B2=- j3MsRNC - j,MN RsSin2eCos2e, (17)

в, = sine ■cos&-e ■ в0 - j,nm, ,

B4 = jAIB3 - N ■ Sine ■ Cos2e ■ B,,

RNC = RsSin2e - MsSine =

= Sin2e(N,(l - l,Sin6)2 +N2(1- l2Sin0)2)>0. Выполнение неравенств (15) зависит от знаков выра-жений (16), которые, в свою очередь, определяются знака-Рис. 2. Области устойчивости решения (12) на плоскости параметров В7, В}. Сравнивая критические скорости v*, v_*, заметим, что

условие v* < v* эквивалентно условиям В<0, В3 >0. Та-ким образом, получаем следующее расположение облас-тей устойчивости: 1 - область условной устойчивости

(.В, < 0, В > 0, В4 > 0, при условии х&.„ < v"); 2 - область устойчивости (В, > 0, В, > 0, В4> 0); 3 - область неустой-чивости (Л, <0,В3> 0, В 4 < 0, нарушается четвертое нера-венство системы (15)); 4 - область условной устойчивос-ти (В, > 0, В 3> 0, В4 < 0, при условии х&со > v*); 5- область неустойчивости (В, < 0,В}< 0, В4 < 0,

исключается воз-можность выполнения противоречивой системы нера-венств:

х&.„ < v*, х&.„ > v*, v* > V,*); б - область неустойчи-вости (В, > 0, В3< 0, В4 < 0,

нарушается четвертое нера-венство системы (15)).

Обобщая последние замечания, приходим к следую-щим случаям

асимптотической устойчивости тривиаль-ного решения системы уравнений (12):

I. В>0, В>0 (область 2 на рис. 2);

И. В<0, В>0, х&со < v* (область 1 на рис. 2);

III. В>0, В>0, В<0, х&со > v] (область 4 на рис. 2).

Решение будет неустойчивым, если нарушаются огра-ничения на скорость хё0 в случаях II, III или имеет место

IV. а) В<0, В<0 (область 5 на рис. 2); б) BfiAO, В<0 (области 3 и 6 на рис. 2).

Расположение областей устойчивости I, условной ус-тойчивости II, III, неустойчивости IV можно показать на плоскости параметров у,,/,, для чего предварительно оп-ределим область возможных значений Jr J3, обусловлен-ных ограничением на форму конуса.

Поскольку масса, распределенная внутри рассматри-ваемого конуса, имеет форму тела вращения, ее всегда можно разбить на элементарные кольца массами mk, ра-диусами гк. Плоскости этих колец перпендикулярны оси конуса, а их центры лежат на оси конуса на расстояниях Q от центра масс С. Тогда J, + , J3 = 2>tr/ •

Сразу можно заметить, что J3 < 2J,. С другой сторо-ны, поскольку все элементарные кольца лежат внутри ко-нуса, то гк <(Ak~AA)ctge.

Это позволяет выявить еще одно ограничение: а)/= 0.1, в = 1.047, /( = 0.433, /, = 1.732; J3<(JI+MAA) 2ctg26 2 + ctg20&

Таким образом, для безразмерных параметров имеем:

j,>0, 0<j3<2j„ j3<(j, + l) 2ctg в 2 + ctg26&

Границы областей знакопостоянства величин В , В}, В4 определяются из соответствующих выражений (17):

а) граница для В2 - jt MSR,C

MNRsSin 6Cos В Js

б) граница для ВЗ - Л = 7777- Sin6Cos6 •

в) граница для В4

. л Bfosd - j3MsMsCos26 - jjNM sSin9 Jl~ MKCos20( M NCos2e + j3NSine ) Граница для B2 имеет реальное содержание, если MS -RS <0, так как все остальные величины, входящие в ее выражение, существенно положительны; граница для В} имеет реальное содержание, если Ms>0. Для анализа зна-ков величин Mv и R,. рассмотрим их выражения с точнос-тью до величин первого порядка малости. Используя (10), (17), имеем: N = N, + N2 = Cosy;

MN = N,l, + N212 = Sind ■ Cosyf 1 + f ■ CtgO);

Ms = MNSin20 - NSinB = Sin2 6 ■ CosQ ■ Cosy • f / - Ctg6);

RNC = RsSin26 - MsSinO > 0.

Из последнего неравенства следует

Фактически это означает, что одновременное суще-ствование границ для В и б, исключается. Это влечет за собой невозможность реализации значений из области 6 на рис. 2, так как Ms <0 соответствует условию В3> 0, а Ms > 0-В,< 0. Знак величины Ms определяется знаком разности / = tgy и CtgO; более конкретно величина Ms положительна, если ось конуса в устойчивом состоянии составляет с шероховатой плоскостью угол меньше у. За-О.йг

б)/= 1.376, 0= 1.047, 1, = 0.142, 1, = 1.865; 0ЛЦ

граница _ j.

граница В4—0

и 0.2 0.4 0.6 0.8

в)/= 0.445, 9=1.047, 1, = 0.579, 1, = 1.197; !

J3 Ms<О, О (в7>О, В,>01_ граница В4=0 4.

Рис. 3. Расположение областей устойчивости при различных значениях параметров однородного конуса.

метим также, что границы для В} и В4 не могут пересекать-ся в области допустимых значений параметров конуса, так как из (17) следует, что В<0 всегда при В3 =0.

Это позволяет установить существование трех возмож-ных типов диаграмм расположения областей устойчивос-ти на плоскости параметров jrj3- На рис. 3 приводятся примеры таких диаграмм для указанных наборов значе-ний параметров однородного конуса. Стрелки направле-ны в сторону положительности величин, определяющих соответствующие границы. Граница, окаймляющая про-нумерованные области, выделяет множество допустимых значений главных приведенных моментов инерции.

На рис. За граница В, представляет собой прямую, угол наклона которой зависит от конкретных значений пара-метров конуса. С увеличением угла наклона диаграмма может изменяться таким образом, что сначала исчезает область 4, а затем и область 2.

Рассмотрим характер движения конуса в каждой из пронумерованных областей. В области условной устой-чивости 1 (рис. За, 36) характер движения конуса зависит

от соотношения начальной х&со и критической vj скорос-тей. Варианты характера движения представлены на рис. 4: там приведены результаты численного решения урав-нений (6) в виде графиков координатных функций х{,, ср, ц/.; графики остальных функций ус, у&с, ср&, ц/& принципиально не отличаются от представленных. Что касается величины критической скорости v_*, то как функция параметров j,j она неограниченно возрастает в окрестности границы В, и убывает до нуля в окрестности границы Вг

В области асимптотической устойчивости 2 (рис. За, Зв) исследуемое движение конуса устойчиво независимо

от величины начальной скорости х&со; графики соответ-ствующего численного решения представлены на рис. 5.

а)jr0.3J=0.1,v&2 = 1.054, х&со=3 (x&co>v2), <р=!.4, <Ро=0> х&с, ср, Iff

-1.57 -3.14 -4.71 -6.28 ¥

б) j=0.3, j=0.1, V2 = 1.054, х&со =0.5 (х&со <v2) , Iff =1.4, (р=0.

Рис. 4. Характерные виды решения уравнений движения конуса в области / (условная устойчивость).

Рис. 5. Графики решения уравнений движения конуса в области 2 (асимптотическая устойчивость). О 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

j,=0.7J=0.2.x&ra=0.5 , ip=1.4, (р=0.

Рис. 6. Графики решения уравнений движения конуса в области 3 (неустойчивость). 4. <р, ¥ 6.28 4.71 хг 3.14 1.57 0

-1.57 ¥ -3.14 -4.71 -6.28

j г 1 ( 1 j .....

а) j =0.6, j =0.4, V2 = 0.7, х&со = 1.2 (х&со > v2) , iff =1.4. <р=0;

б) j,=0.6,j=0.4, у&, =0.7, х&.„ =0.4 (Х&сп<У\\).%=1-4.

Рис. 7. Характерные виды решения уравнений движения конуса в области 4 (условная устойчивость).

Рис. 8. Графики решения уравнений движения конуса в области 3 (неустойчивость).

В области 3 (рис. За, 36) исследуемое движение конуса неустойчиво при любых значениях начальной скорости

хлд; графики соответствующего численного решения представлены на рис. 6.

В области условной устойчивости 4 (рис. За, Зв) харак-тер движения конуса также зависит от соотношения на-чальной х&со и критической v* скоростей. Варианты ха-рактера движения представлены на рис. 7.

В области 5 (рис. 36) исследуемое движение конуса так же, как и в области 3, неустойчиво при любых значе-ниях начальной скорости х&св; графики соответствующе-го численного решения представлены на рис. 8. Графики рис. 5-8 подтверждают наличие и правомер-ность изложенного метода расчета границ областей / - 5. Вместе с тем нужно иметь в виду, что приведенные рас-суждения строго справедливы для измененной системы дифференциальных уравнений движения (6), на которую накладывается дополнительное ограничение х&г = х&со = const > 0. (20)

Исходная система (6) в целом не отвечает условиям теоремы Ляпунова об устойчивости по первому прибли-жению, но для практических приложений полученные результаты вполне пригодны, так как отражают общий ха-рактер поведения решения системы (6). Некоторые поправ-ки нужно делать в случае, когда значения х&со близки к

критической скорости и малые изменения х&с могут при-вести к переходу через порог критической скорости v*; отклонения могут возникнуть также при достаточно существенных изменениях скорости х&г, что в большей сте-пени соответствует состоянию неустойчивости.

Если tgy > /, допускаемое решение (10) будет описы-вать ускоренное поступательное движение конуса. Полу-ченные результаты по устойчивости равномерного дви-жения конуса могут иметь место и при ускоренном дви-жении, по крайней мере для участков достаточно малой длины, на которых происходит незначительное изменение скорости поступательной части движения. Если tgy </, по истечении некоторого промежутка времени обязательно наступает режим чистого качения. Созданием направленных вибраций плоскости можно вызвать равномерное в среднем поступательное движе-ние конуса, для которого также могут выполняться усло-вия устойчивости I - IV. При этом надо иметь в виду, что если частота вибраций плоскости близка к значению ю0 в уравнении (6), может возникнуть раскачивание конуса и наступить движение, при котором угол

прецессии у не-ограниченно возрастает (убывает), или происходит опро-кидывание.