Математика. Прикладная математика. Механика
В.В. Сельвинский
СДВИГ С МЕСТА ТВЕРДОГО ТЕЛА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ КОНТАКТОМ
This article deals with the conditions of shift of solid body, based on a rough plane. There is an example of the solving of problem of rotation centre of solid for beginning motion.
Одной из основных задач вибрационного перемещения является взаимодействие твердого тела с шероховатой плоскостью. Относительное безотрывное движение плоского твердого тела по шероховатой плоскости может содержать этапы относительного покоя, поворота вокруг неподвижной точки и плоского сдвига. В общем случае эти этапы могут чередоваться в зависимости от внешних сил, вызывающих данное движение. Для полноты исследования
движения необходимо определить условия и моменты перехода от одного этапа движения к другому. Наиболее сложным здесь представляется решение задачи о сдвиге твердого тела с места. Даже в случае минимально возможного трехточечного контакта эта задача становится статически неопределенной и требует более совершенного математического подхода по сравнению с традиционными уравнениями статики.
Пусть контакт твердого тела с шероховатой плоскостью происходит в области D и характеризуется функцией давления p(t,X,h), зависящей от времени t и координат X,h точек области D в системе координат Oxy, связанной с телом (рис. 1). Любое элементарное перемещение тела является поворотом вокруг некоторого мгновенного центра вращения P(x, y). Специфика сил сухого трения состоит в том, что сдвиг первоначально покоящегося тела может произойти только в состоянии предельного равновесия.
Будем считать, что силы сухого трения подчиняются закону Амонтона-Кулона, что выражается зависимостью
Рис. 1. Схема формирования сил трения при повороте вокруг центра P(x, y).
dF = -f ■ dN ■ v0 =-f ■ p(t,Xh)dSvn
где dF - сила трения, действующая на элемент площади dS при повороте тела вокруг точки P(x, y); f - коэффициент трения скольжения, t - время; v0 - единичный вектор направления скорости.
Суммарный момент предельных сил трения относительно центра P(x, y) возможного
поворота равен
M (t, х, y) = jj PA ■ dF = j] f ■ p(t, X, x)2 У )2 dX dV ;
частные производные M&x (t, x, y), M& (t, x, y ) выражают проекции главного вектора предельных сил трения при условии поворота вокруг центра P(x, y ) :
Fx (t, x, y ) = M y (t, x, y ) = -jj f • p(t,X,h)
Fy (t, x, y ) = -M x (t, x, y ) = jj f ■ p(t,x,h)V(x- x )2 + (h- y )2
V(X- x)2 +(h- y ):
Нетрудно показать, что функция M (t, x, y ) является строго выпуклой в каждый момент времени t и поэтому имеет единственную точку экстремума - точку минимума. Действие внешних сдвигающих сил характеризуется главным вектором R(t), который будем считать направленным вдоль оси Ох, и главным моментом LOz (t ).
Сдвиг первоначально покоящегося тела при возрастании внешнего воздействия происходит в виде поворота вокруг точки P0 (x0, y0 ), являющейся точкой минимума функции моментов
М0: (t, x, у) = M{t, x, у) -1 L0: (t)+Rx (t) • v| в тот момент времени, когда функция MQ,{t,x,y), будучи до этого положительной, обращается в нуль в точке Р(1 (хп, у(1 ).
В качестве примера рассмотрим сдвиг с места прямоугольной площадки при равномерном распределении давления под действием силы F ^ (рис. 2). Размеры площадки 2ах2Ь , сила F параллельна оси Ох и отстоит от нее на расстоянии h.
Для определения координат центра поворота в зависимости от рис. 2. Схема сил, величины силы F и расстояния h достаточно считать f = 1, p(t, x, y) = p = 1 действующих на (трение считается изотропным и однородным), время t, как аргумент, прямоугольную опустить; для краткости прямоугольную площадку будем называть площадку. контактом. Из соображений симметрии нетрудно установить, что центр поворота должен лежать на оси Оу (х0 =0).
В соответствии с формулами (1), (2) момент сил трения M (x, y ) и главный вектор Fx (x, y ) принимают вид (f = 1, p = l) :
M (x, y )= j dX jV (X-x)2 +(h-y )2 dh,
(x, y ) = - j dXjh-y
х )2 + {л- у):
Графики зависимостей М(х, у) и Fx (х, у) средствами математического пакета Mathcad представлены на рис 3.
Рис. 3. Графики зависимостей Ы(х,у) и Рх(х,у).
Сдвиг с места твердого тела - следствие нарушения уравнений равновесия: Р + ^ (х, у ) = 0, - Р -(Ц - у0 )+Ых (х, у ) = 0.
Для определения алгоритма расчета положения центра начального поворота P0 (х0, у0), величины сдвигающей силы Р и расстояния h достаточно провести все рассуждения при х0 =0 (рис. 4).
Графически появление центра поворота в момент сдвига контакта отражается появлением точки касания у=Уо ломаной г = Р - |у - Ц с графиком функции г = Ы (0, у) при фиксированном
расстоянии Ц и возрастающей от нуля величине силы Р, играющей роль углового коэффициента.
Аналитическое определение зависимости координаты у0 центра поворота от расстояния Ц не представляется возможным. Будем исходить из того, что в момент сдвига сдвигающая сила Р совпадает по величине с главным вектором предельных сил трения,
Анализ зависимости Р (у0) показывает, что чем ближе
Рис. 4. Графическое определение параметров сдвигающей силы.
центр начального поворота к центру симметрии контакта (уп—>0), тем меньше сдвигающая сила; при удалении-^ центра поворота сдвигающая сила возрастает, асимптотически приближаясь к определенному значению (рис. 5).
Эти выводы нужно соотнести с зависимостью расстояния И(уп), представленной на рис. 6:
-5 -4 -3 -2-10 1
Ц(У0) = У0 - Ы(0, У° 1- ®ёп У0. \\Рх (0, У0 |
Рис. 5. Графическое представление функциональной зависимости (6)
Анализ графика зависимости Ц(у0 ) показывает, что с приближением центра начального поворота к центру симметрии контакта (у0 ® 0) расстояние Ц сдвигающей силы должно увеличиваться, а при удалении центра поворота (у0 ® ¥ расстояние Ц уменьшается до нуля; при этом величины Ц и у0 имеют всегда противоположные знаки, что говорит о том, что линия действия сдвигающей силы и центр начального поворота всегда расположены по разные стороны от центра симметрии контакта.
Обобщая сказанное, можно сделать следующий вывод: при равномерном распределении нормального давления малым значениям к будут соответствовать достаточно большие значения предельной сдвигающей силы и достаточно далекое расположение центра начального поворота (у0| >> к); с увеличением Ь предельная сила убывает и центр начального поворота приближается к центру симметрии контакта.
представление 2. Опейко Ф.А. Математическая теория трения. - Минск: Наука и техника, 1971.
функциональной зависимости _ 152 с