Спросить
Войти
Физика и материаловедение
УДК 666.3.017; 552.1
Н.С. Костюков, Н.В. Ерёмина, Е.А. Растягаев
ЧАСТОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК ДИЭЛЕКТРИКОВ ПО ТЕОРИИ ДЕБАЯ И ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ
Вид зависимости диэлектрической проницаемости от частоты определяется в уравнениях Дебая временем релаксации т. При пренебрежении слагаемым второго порядка в уравнении вынужденных колебаний зависимость е от частоты может быть приведена к виду формул Дебая. Рассматривается связь времени релаксации в формулах Дебая и волновой теории.
The dependence of the dielectric constant on the frequency determined by the equations of the Debye relaxation time T. If we neglect the second order term in the equation of forced oscillations, the dependence of son the frequency can be reduced to the form of the Debye formula. In the article the connection of the relaxation time in the Debye and the wave theory are considered.
Теория Дебая, трактующая поведение дипольных молекул в конденсированных жидкостях и твердых телах, рассматривает полярные молекулы как вращающиеся в среде с трением. При этом пренебрегаем членом с ускорением, т.е. членом второго порядка в уравнении вынужденных колебаний, и спектр с комплексной диэлектрической проницаемостью представляется в виде:
e = e¥ + 4—e¥, (1)
где e¥ - диэлектрическая проницаемость, определяемая быстрыми упругими видами
поляризации; es - статическая диэлектрическая проницаемость; t - время релаксации части
диэлектрической проницаемости, определяемой разностью (4 — ) как макровеличиной. Анализ,
проведенный А. Хиппелем [1], показал, что при переходе на микроуровень при пренебрежении инерционным членом вид формулы (1) не изменяется, изменяется только значение времени релаксации
t -4+1 t, (2)
но не форма спектра. В результате делается заключение, что до тех пор, пока движение дипольных молекул определяется дифференциальным уравнением первого порядка, форма диэлектрического спектра не изменится. Однако исключение из анализа инерционной составляющей, т.е. массы релаксирующей частицы является малообоснованным и может рассматриваться как определенного рода приближение. Это допустимо при ю = 0 (постоянное напряжение), но уже при релаксационных частотах (область действия формул Дебая) масса должна учитываться.
Анализ по волновой теории [2] показывает, что изменение массы релаксирующего атома в пределах одной группы щелочных элементов изменяет резонансную частоту ю0 в пределах одного порядка, а при изменении размеров релаксационной области - на несколько порядков.
Рассмотрение по волновой теории диэлектрических характеристик на микроуровне при больших значениях коэффициента затухания Ь, что характерно для неорганических диэлектриков (таких как керамика и стекло), приводит к формулам вида дисперсионных формул Дебая. Это является основанием для включения в общую волновую теорию анализа, проведенного Ю.С. Скрипниковым [3] на базе теории Дебая, экспериментальных результатов по исследованию радиационной стойкости керамических диэлектриков и стекол.
Вид функции поляризации, соответствующий уравнению вынужденных колебаний:
й2х „7 йх 2 аЕвгШ /оч —т + 2Ь— + х = --, (3)
йг йг т
определяется соотношением параметров Ь и ш0. При Ь < ю0 это будут упругие колебания, при Ь > ю0 - релаксационные.
Для колебаний с большим затуханием сила трения становится больше силы инерции, тогда можно пренебречь первым слагаемым в уравнении (3) и представить его в виде:
Учитывая общий вид связи т с коэффициентом затухания [4]
Т= 2Ь , (5)
о02 + 4Ь2
получаем для случая Ь < ю0 соотношение Т = —^ (случай резонансных упругих колебаний), а в
случае релаксационных колебаний (b > ю0) - выражение Т = —.
Предположение, что большое затухание позволяет не учитывать инерционный член в уравнении (3), не решает однозначно вопрос о типе колебаний: упругие b < ю0 или релаксационные b > ш0. Рассмотрим как возможные оба варианта.
Частное решение последнего дифференциального уравнения для комплексной амплитуды для упругих колебаний имеет вид:
A W) = 0—1-=JEr-^. (6)
m W + 2ibw тЩ 1 +1Ш
Так как поляризованность P = qxn = /n = anE, то поляризуемость
a (w)=a - i a=
q2 ( 1 . at Л
——--i2 2 2 2 2 тЩ V 1 + a2t 1 + at )
Диэлектрическая проницаемость через поляризуемость запишется в виде:
, . ^ OCn q n
e = e -ie = e¥ +— = e¥+——
v 1 + w2t2 1 + a2t2.
где е и е - действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости; п -концентрация заряженных частиц массой т, участвующих в релаксационной поляризации. При учете быстрых видов поляризации е¥ получаются известные формулы Дебая:
, < \\ ат
где ев - статическая диэлектрическая проницаемость при ю = 0.
Вклад релаксационных видов поляризации в диэлектрическую проницаемость:
е -е = ^ . (10)
¿в ^ 2 у &
ша00£о
Следует подчеркнуть принципиальное отличие формул (9), полученных по волновой теории, от формул Дебая, имеющих тот же внешний вид. Как известно, т - время релаксации -время установления равновесия в системе. В формулах Дебая это время установления в макросистеме (ев -е¥), в волновой теории - время установления равновесия релаксатора. Если в
процессе поляризации участвует один тип ионов или электронов, то время релаксации т в формулах Дебая и в формулах волновой теории при определенных условиях совпадает. При наличии нескольких релаксаторов и, соответственно, нескольких поляризационных процессов, определяющих характеристики диэлектрика будем иметь:
ЪйгПг
& ■ " , г , 1 х-1 Яг П е = е -ге = е¥ + --= е¥ +— V 2
е0 е0 г та
- гк 1 + а2тТ 1 + ®2Т2 у
Проведем сравнение формул Дебая с соответствующими формулами волновой теории:
е&п = е¥ + (ея - е¥)-^, (12)
е =е + 1 V Яг П 1 (13)
ев =е¥+—V—Г —ТТ ео г таа 1 + а¿тf
При а= 0
еВ =е„+-^
ео г та
Соответственно
еВ =е¥+(еь -е¥ ) X-^ГТ (14)
г 1 + а2т2
Приравниваем е&р по Дебаю и е&в по волновой теории:
_1_= V_1____(15)
Аналогично:
" _ ( ч ат " —( \\ х-* аот^ еВ = (еь -е¥ У еВ = 1^ -еоо) V
Принимая е^ = еВ, получим:
атт ^ ат
= у , (16)
где г = 1,2,...,к - число релаксаторов, участвующих в процессе диэлектрической поляризации. Приведя правые части уравнений (15), (16) к общему знаменателю, получим:
х П (1+«2Т2)
Хъ П (1+«2Т2)
I=1 к-1
П (1+«2Т)
Разделив уравнение (18) на уравнение (17), получим в явном виде связь времени релаксации по Дебаю с временами релаксации поляризационных процессов на микроуровне по волновой теории:
Хъ П (1+«2Т2)
Т = 1=1 к-1_. (19)
П (1 + «2ъ2)
Рассмотрим примеры применения этой формулы. В кварцевом электротехническом
фарфоре электропроводность осуществляется ионами натрия (число переноса натрия к^а =0,97)
[5] и, соответственно, ими же осуществляется поляризация. Следовательно, к = 1 и формула (19) будет иметь вид:
ТНа . (20)
Проводимость в кварцевом фарфоре при 200 С у= 10-11 -10-16 Ом"1- м-1 и время релаксации можно оценить по формуле:
- УтМа , (21)
Ч2пМа
где тНа = 38 10 кг - масса иона натрия, пНа - концентрация его в фарфоре в диссоциированном
состоянии, участвующая в процессах электропореноса п^а = 8.83 • 108 м-3. Тогда:
• 2 •Ю-8 с.
ТНа =
(1,6•Ю-19)2 • 8.83-108
В соответствии с формулой (20):
Таким образом, при (дТ^а << 1
время релаксации в формуле Дебая соответствует времени установления поляризации для фарфора при частотах
При больших частотах
Т/) становится больше тв, которое
Рис. 1. Соотношение между временем релаксации убывает с увеличением частоты (рис. 1). в формуле Дебая т0 и временами релаксации по волновой теории тр для электротехнического фарфора по (20&) в зависимости от частоты.
Следовательно, полученные по волновой теории формулы типа формул Дебая для
резонансных колебаний совпадают с ними по форме, но адекватны с ними только в области пониженных частот при ат << 1.
По волновой теории формулы типа дисперсионных соотношений Дебая были получены при условии 2Ь = т-а>1, т.е. для упругих резонансных колебаний.
Если диэлектрическая проницаемость определяется одним релаксатором, то при юТв <<1, Тр »ТВ , а при юТв>>1 т^ >Тв и убывает с частотой.
В качестве примера диэлектрика с несколькими релаксаторами возьмем высокоглиноземистую керамику микролит. В проводимости микролита участвуют электроны, ионы натрия и ионы калия с числами переноса соответственно ке = 0.87, к^а = 0.17, кК = 0.02 и
атомными массами те = 9.110 кг, тш = 38 10 кг, тк = 64.74 10 Времена релаксации по волновой теории составляют:
_ ГтеК
е&"е _
= 10-11, 2Ь = - = 1011с-1 =
т =Гтшкщ = 10-11 • 38•Ю-27 • 0.17
тЫа 2 =
Я пЫа
(1,6 10-19)2 • 8.83 108
= 10-7, 2Ь = — = 107 с"1,
т = утжкк =10-11 • 641794;10-27 •002 = 10-6, 2Ь=_1=106 с-1. 2 (1,6•Ю-19)2 • 8.83-108 тк
В соответствии с (19)
т=-+-+10-7
-+10Г+101+а2тЫ 1+а2т2 1+аГ? ^Ю-14^ 1+10-12а 1+10-22а!
На рис. 2 приведены результаты соответствующих построений.
Исключение первого слагаемого в правой части уравнения вынужденных колебаний (3) было сделано в предположении, что инерционная составляющая, определяемая массой колеблющейся частицы, значительно меньше сил внутреннего трения, определяемых коэффициентом затухания Ь и связанных в случае керамики и стекол с электропроводностью. Это служило основанием к переходу к дифференциальному уравнению первого порядка (4). Однако это не определяет характер колебаний. При Ь << ю0 вынужденные колебания имеют упругий резонансный характер и из общей формулы связи времени релаксации т с коэффициентом затухания Ь:
т = — и 2Ь =т-а2
При Ь >> ю0 колебания носят релаксационный характер и:
Рис.2. Соотношение между временем релаксации в формуле Дебая т0 и временами релаксации по волновой теории т для микролита по (19&) в зависимости от частоты.
В таблице приведены ориентировочные расчеты ю№, тг- и Ьг- в микролите для различных возможных зон релаксации Я.
Расчеты производились по формуле:
( 0i п3 Ж£0 R e¥ mi
их связь с коэффициентом затухания b и временем релаксации тг:
m.k.Y 2bi
t = , t = ■
i 2 i 2 ai2
niq2 и Щ + 4b2
Значения частот собственных колебаний релаксирующих частиц для микролита
R, ®0Naj ®0k, ®0e, т, 2b = 1/t 2b = T-W^Na 2b = Т-С§к 2b = T-ofie
м с-1 с-1 с-1 c с-1 с-1 с-1 с-1
Tk = 10-6 (k=0.02)
Te = 10-11 2be = 1011
Как следует из таблицы, колебания ионов натрия будут иметь упругий характер до собственной резонансной частоты 5,39- 107с-1 при размерах области релаксации меньше 10-6 м.
Релаксационный характер колебания имеют при Я>10-6м и при шШа<1,71- 105с-1.
Колебания ионов калия носят упругий характер до собственной резонансной частоты юок = 4,1-10 V& и Я < 10-6м.
Колебания электронов, участвующих в процессах поляризации, носят упругий характер до собственных частот ( > 3,49 1011 с-1, т.е. до размеров зоны релаксации меньше 10-7.
Таким образом, в микролите с учетом чисел переноса, определяющих характер проводимости диэлектрика, поляризация носит упругий характер при собственных частотах более 3,49 1011 с"1, что связано с размерами зон релаксации Я меньших значения 10-7м. Это не противоречит физической картине. Структура микролита состоит из зерен А1203, размером 10-6м, цементированных стеклофазой [6]. Как показано выше, в этой области применимы соотношения Дебая.
Проведенный [7] анализ свидетельствует, что формулы Дебая частотных зависимостей характерных диэлектриков являются частным случаем соотношении полученных из общей теории вынужденных колебаний и в случае микролита, применимы для образцов, изготовленных по технологии, обеспечивающей размер зерен А1203 меньших 10-6м, что обычно не вызывает непреодолимых технологических трудностей. Для таких материалов может быть использован анализ свойств материалов после облучения в реакторе, предложенный [3] на основе формул Дебая.
В случае релаксационных колебаний частное решение дифференциального уравнения (4) для комплексной амплитуды для фарфора с одним релаксатором имеет вид:
дЕ 1 _дЕ 1 _дЕ ( (¡Т2 (ОТ ^
m С + 2ibc m 2 , c m
Cct + c щт + c j
Так как о0Т » 1, то последнее соотношение можно представить в виде:
. а() = я*.
--12 2 2 2 ^ (02 + (2 (02 + ( у
Откуда поляризуемость:
я2 1 -1 (ОТ
И, следовательно, диэлектрическая проницаемость:
е = е +—-° 1 2 т(^ео
, ( л ( 1 1
Аналогично (9):
е& = е„+ (е8 - ех)—1 +
е = (е -е~У
где аналогично (10)
Построим частотную зависимость диэлектрической проницаемости для электротехнического фарфора с учетом поляризуемости по механизму релаксационных колебаний (9&). Принимая е3 -е¥ = 0,654 и е¥ = 6,8, полученные экспериментально [8], и (0 = 5,39 107е-1:
е & = 6,8 + 0,6541 +
е& = 6.8 + 0.654(5,39 -107 )2 2 • 10-8(
(5.39 • 107)2
Для случая резонансных колебаний в соответствии с формулой (9) для фарфора, принимая хИа = 2-10-8:
е = 6,8 + 0,654
, 2• 10 8(
е = 0654---—.)
На рис. 3 эти зависимости приведены на кривых 2.
ев-е¥ =
Таким образом:
г&О») а
волновой теории для случая исключения влияния инерционной составляющей (уравнение вынужденных колебаний без слагаемого второго порядка) вынужденных колебаний, имеющих характер упругих колебаний (ю0>>Ь); для колебаний, имеющих релаксационный характер, частотные зависимости диэлектрических характеристик носят отличный характер;
Рис. 3. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости для электротехнического фарфора с учетом поляризуемости по механизму релаксационных колебаний - кривая 1; в соответствии с формулами Дебая - кривая 2.
