МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЛАЗЕРНОЙ АГЛОМЕРАЦИИ, ОСНОВАННАЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ОБЛУЧАЕМОМ ОБРАЗЦЕ

УДК 53:51:543.4/5

Е.А. Ванина, Е.М. Веселова, Н.А. Леоненко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЛАЗЕРНОЙ АГЛОМЕРАЦИИ, ОСНОВАННАЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ОБЛУЧАЕМОМ

ОБРАЗЦЕ

В статье предложено описание процесса агломерации нелинейным уравнением теплопроводности в одномерном случае, учитывающим параметры лазерного излучения.

In this paper the process of agglomeration is described by thermal conductivity equation taking into account parameters of laser irradiation.

Введение

В последнее время среди многообразия направлений, связанных с воздействием сверхмощных потоков энергии, выделяется их использование для извлечения ценных компонентов при комплексной переработке минерального сырья, в том числе золота и других благородных металлов. Постановка проблемы связана с трудностью извлечения современными технологическими способами тонкодисперсного золота, имеющего размеры менее 20 мкм и пластинчатую или игольчатую форму, из минерального сырья. В связи с этим возникает интерес к исследованию способов, основанных на нетрадиционных энергетических воздействиях.

Перспективным направлением исследований в настоящий момент является терморадиационная обработка дисперсных минеральных сред под действием лазерного излучения. Оно позволяет обеспечивать высокие скорости локальных изменений температуры в облучаемой среде и градиенты температуры как на локализованных участках поверхностей, так и по глубине проникновения излучения. Золото обладает целым рядом уникально выгодных сочетаний физико-химических свойств по сравнению с силикатными, сульфидными и прочими минералами россыпных и рудных месторождений. Для него характерны достаточно невысокая температура плавления и большая температура кипения. Совокупность этих свойств является хорошей предпосылкой для исследований воздействия лазерного излучения на золотосодержащие минеральные объекты, в связи с чем представляемое научное направление является достаточно актуальным.

Цель настоящей работы - моделирование теплового воздействия лазерного излучения на минеральные среды.

Результаты экспериментальных исследований

При использовании широкого спектра современных экспериментальных методик проведено исследование воздействия лазерного излучения на минеральные среды, содержащие ультрадисперсное золото, не извлекаемое гравитационными методами [1]. Определены основные закономерности лазерного воздействия на минеральные среды и процессов агломерации и концентрирования субмикронного золота. Установлено образование различных структур на поверхности золота [2].

В исходном золотосодержащем концентрате ультрадисперсное золото имело форму гексагональных призм и сложный химический состав.

После лазерной обработки в образцах происходит формирование обожженных сфероподобных агломератов из глинистых, алюмосиликатных частиц диаметром от 500 до 1500 мкм. Одновременно с этим регистрируется осаждение на них частиц сферической формы с размерами от 100 до 500 мкм, состоящих из чистого золота без примесей, т.е. в процессе лазерного воздействия происходит агломерация частиц расплавленного золота [2, 3].

Таким образом, наблюдаемые при лазерном воздействии изменения формы, структуры и состава исходного золотосодержащего тяжелого концентрата позволяют получить относительно крупные частицы чистого золота, пригодные для извлечения обычными гравитационными способами.

Математическое описание

Эффективность лазерной агломерации ультрадисперсного золота во многом зависит от температурного распределения в облучаемом образце, которое, в свою очередь, определяется параметрами лазерного излучения.

Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо составить дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением обычно понимают математическую зависимость, выражаемую дифференциальным уравнением между физическими величинами, характеризующими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение описывает протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени. Для описания температурных полей, возникающих в минеральных средах под действием лазерного излучения, применяется уравнение теплопроводности:

( д 2Т д 2Т д 2Т л

- + —;т + дТ 1

— =--^ + —^ + — 2

дг рс ^ дх2 ду дг ;

= аУ 2Т , (1)

д 2 д 2 д 2 1

где У2 = —- +--- +--2— оператор Лапласа; а =--коэффициент температуропроводности; 1

дх2 ду2 дг2 ср

- коэффициент теплопроводности; с - удельная теплоемкость; р - плотность облучаемого материала.

Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени и в единице объема тела) лазерного источника составит С (Вт/м3). Тогда количество тепла, выделяемого в элементарном объеме в единицу времени, будет равно ас1хс1уёг; это количество тепла достаточно, чтобы сохранить равенство (1). После аналогичных преобразований дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла будет иметь вид:

К = аУ2Т + С . (2)

дt ср

Если радиус пятна нагрева на поверхности образца существенно больше толщины зоны лазерного воздействия, то при рассмотрении процессов распространения температурного поля в облучаемом веществе можно ограничиться одномерным случаем уравнения теплопроводности:

дТ д Т 1 ...

— = а—- + — д( х, г^ (3)

дt дх рс

где ц(х, г) - плотность поглощенного светового потока.

"(х,&) = 1 = 1Тг • (4)

где Р - мощность лазерного излучения; Ж - энергия в импульсе; 5 - площадь пятна нагрева; т

- длительность лазерного воздействия.

Длительность воздействия лазеров, работающих в непрерывном режиме, зависит от

скорости сканирования v лазерного пучка по поверхности материала t = — .

Таким образом, процесс агломерации описываем нелинейным уравнением теплопроводности в одномерном случае, учитывающим параметры лазерного излучения:

дТ д гТ Wv

— = а—Г +-. (5)

dt дх 2pcSr

Для конкретизации задачи сформулируем условия однозначности, т.е. начальные и граничные условия.

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В данном случае предполагаем, что до начала процесса облучения температура во всех точках среды одинакова и равна температуре окружающей среды T0:

T(х,0) = T0 = const. (6)

В случае нестационарного температурного поля (дТ/dt Ф 0) необходимо при точной формулировке задачи применять граничные условия четвертого рода. С начала и в течение всего процесса обработки на поверхности материала функционирует тепловой источник круглой формы с удельной мощностью q, причем подводимая источником мощность полностью расходуется на нагрев тела.

Таким образом, граничное условие уравнения теплопроводности:

I^U=q. (7)

Аналитическое решение нестационарного уравнения теплопроводности (5) в одномерном случае с заданными начальным (6) и граничным (7) условием будет иметь вид:

Т(х, t) =- q

n P —at T

На основании полученного распределения температурного поля (8) можно определить оптимальные режимы лазерного воздействия на исходные минеральные соединения и подобрать параметры лазерного излучения (длительность воздействия, энергия в импульсе, диаметр пучка, фокусное расстояние, время воздействия) для получения частиц золота максимального размера, что облегчает их последующее извлечение.

Заключение

В результате математического моделирования предложено описание рассматриваемого процесса нелинейным уравнением теплопроводности в одномерном случае, учитывающим параметры лазерного излучения, т.е. время лазерного воздействия, интенсивность, диаметр расфокусировки излучения и теплофизические характеристики облучаемого материала. Сформулированы начальные и граничные условия для нелинейного уравнения теплопроводности. Получено решение нестационарного уравнения теплопроводности в одномерном случае при заданных условиях однозначности.