Спросить
Войти
Список литературы:
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУХСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: tuganbaev.mm@mail.ru
INVERSE PROBLEM FOR TWO-SPEED EQUATION WITH A SMALL PERTURBATION OF THE COLLISION INTEGRAL
Marat Tuganbaev
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J.Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
Исследуются двухскоростные обратные задачи теории переноса с малым параметром при интеграле столкновений в пространстве весовых функций. При этом с целью выяснения разрешимости задач они эквивалентно преобразованы к системам интегральных уравнений Вольтерра. Результаты исследований могут иметь не только теоретический смысл, но и практическое приложение.
ABSTRACT
Two-speed the inverse problem of transport theory with a small parameter in the collision integral in the space of weight functions are studied. Thus to ascertain the solvability of the task they are converted to the equivalent system of Volterra integral equations. Results of researches can have not only theoretical meaning but also practical application.
Иногда вместо изучения вырожденного уравнения приходится решать задачи переноса с малым параметром. Естественно возникает, во-первых, вопрос: в каком смысле решение возмущенной задачи сходится или будет близко к решению вырожденный задачи, когда малый параметр стремится к нулю (s ^ 0). Здесь может быть слабая (в Lp) или сильная (в C) сходимости.
С другой стороны, полученные результаты в указанном направлении дают, во-вторых, ответ на вопрос: в каком смысле устойчиво решение задачи переноса без малого параметра (в смысле вырожденного уравнения).
В работе [1] для двухскоростного уравнения переноса с малым параметром при интеграле столкновений изучена обратная задача:
Задача 1. Найти пару (fs(u,o, t), Vs(t)) из задачи для уравнения с малым параметром при интеграле столкновений:
dfs(u,Ut) , , xdfs(u,u,t) xdfs(u,u,t)
---~ + a (u )-1-- + b (o)---- +
+ho (u,o) fs(u,o,t) = Vs(t)F(u, o, t) +
+е| | к (и,о, и& ,о&Л (и & ,о&) ^ (и& ,о&, /„(и& ,о&, г )) йи& йо& (1)
—да —да
/Е(иО,)|,.0 = /о (и,о), (и,о,г)еО = Я2 хЯ+, (2)
/е(и0,о0,г) = у(.) , (3)
^ (и, о, г), а(и)> 0, Ь(о)> 0,у(г), к (и, о, и& ,о )> 0 - заданные гладкие функции, д (и,и) - известная неотрицательная функция:
Д (и, о) = (и) + Хг (о) + Л(и, о) , (4)
+да+да +да+да
Л к(и,о,и\\о&)йийо& = 1, ЛД(и,о)йийо <+да, (0,1)эе - малый
параметр.
Если предположить, что е = 0, то из задачи (1) - (3) получается вырожденная задача. Доказано существование единственного решения задачи (1) - (3) в классе функций , с нормой
Ц/1С0 =1|/|1с + Пс +|К|с + - + |/4 41 /.1с •
Далее установлена близость решений: (/е уе) - задачи с малым параметром и (/,у)- вырожденной задачи, т. е. (/еуе)^(/,У), когда е ^ 0 для У(и,о,г)еП. Обратная задача 1 связана с весовой функцией Д (и,о) = ^(и)^(о). Поэтому должны быть получены результаты в , с нормой
Аналогично [1], положим ( (/ ,у) - решение вырожденной задачи)
/е(u,0, г )= / (u,0, г )+%е(u, о1),
К(& ) = V (г )+т,„(.),
£(и,о,0) = 0,т„(0) = 0,#„(и °,о°, г) = 0, (6)
Произведем оценку в Ж в случае, когда И{и,о) = 0,
+да+да
К (и,о) = ^(и)^(о), 0 <Ц К (и,о)аиао<+да. Имеем систему двух
+да+да
(и,о) = А1(и )А(о), 0 < Ц к (и
—да—да
уравнений
£е(и,о, 0 = | ехр| — I — ]
[[[е ^ (Р(и,г,4 Рг (и&г,5 I4 + + е11к(р(и,г,я),р2(и,г,я),и&,о&К(и&,о&р0(и&,о&,/(и&,о&,$)+%е(и&,о&,5))rfu&rfu& =
--КЪЛХи,»,! )
пМ ) = р (и0,и", г))—1 • г)-нЦ^Хи^о», г ),(8)
Н 0е[Пе,^е](и ° 0°, * Ь
— е I1 к (и° ,о°, и& ,о& И (и&, о& )р (и&, о&, / (и, о, г )+^(и&, о, г )*и&ао — Iехр[— I Щ)— I Ш-Нр(и0,г,5),РгОЛг,5),5))х
(и0,г,5) ауз) рг (о0,г,5) ([)
х(Ш§Р- и •, г, О г, &)) +
+ [[е (№ р1 (и0, г, 5), Рг (о0, г, 5 ) з)р (и г, 5)+; ■ [[е №о р(и0, г, 5), Рг (о0, г, 5), 5 )ргг (о0, г, *)+
+ еЦк (р1 , г, 5), Рг (о0, г, 5), и&, о &)рц (и0, г, 5)+ко (р (и", г, 5), Рг (о0, г, 5))Рг, (о0, г, ж))х х к (и& ,о )р (и& ,о, / (и& ,о, я)+^е(и& ,о, ¡))аи&а о а.
Пусть
(Р (и0, о0, г))—1 <у0 = сотг, | ^ (и &, о&, / )\\<Х(и&, о& , г), М(и& ,о& , г )еОг. .(9)
Тогда с учетом неравенства Коши-Буняковского, получим
| ^е{и,о,.)\\<{ | ехр[— 2 " — 2 ) ЛЛ^\\) йт\\2 {Р1{и,,, з)р2 (о, ,, з), )Г
р2 (о,^)
Тек)2 + „" ехр— | Щ # — "о Ш)
) 0 , р,(1,.з) а(4) р, (о.,,,) Ь(Т)
" "к2(р(и,,,з) р2(о,,,з),и&, о& )Л—1(и )Л—1 (о)к22 (и& о& )Л2 (и& ,о&, з )ск& йо&
е" ехр — " Щ 4 о Щ
х " "к(р (и,,, з), р2 (о,,, з), и&, о& Л (и&, о&(и&, о&, / (и& ,о&, з))йи&йо&йз,(10)
/ +да+да Л
\\те(, )<Г0„ | " " к2 (и °,о°, и& о Л (и &,о& )Л—1(и& )Л—1 (о&)Л2 (и &,о&,, )йи&йо& |
+да+да ^
" " Л (и)Л (о &(и&о&,,)2 йи& йо&
+ П„Ц к (и 0,о0, и& ,о& Д0 (и& ,о& (и& ,о& , / (и& ,о&,, ))йи&йо& +
^" ехр ^-2 " Л§&<-2 } ЛТ}^
Л (р1 (и0<, з)) ( 0 0Л (р2 (о",(,з)) ,0,4
р,[и , з)+ / , 0-у^" р21 (о , ^ з)
Ь (2 ,*, з ))
а(р (и0з))
хЕ 2 (р(и,,, 5 ), р2(о,,, 5 ), 5 ) йз ) X I (з )| йз
+ 70 ({ехр| — 2 ({ — 2 ! &Т
м&и&и &.яЬаагШо
х \\Ри р (и0, г, 5), Рг (о0, г, 5), 5)р1, (и0, г, 5)+.
+ (Р1(и °, г, 4 Рг (о°, г, 4 5)Ргг (о°, г, )1/г ^ [е Иг
ехр[— I Ш а^ — I а,
О I рД,,) Рг(о°,,) Ь(п) .
+да+да
х ( | {( к (р(и0, г, 5), Рг (о0, г, 4 и&,о&)Рг (и0, г,4+
—да—да
+ коРи0, г, 4 Рг (о0, г, 4 и& ,о&Ргг (о0, г, 5) )г х х К (и&, о&)х—1 (и &1 (о)я2 (и &, о, 4аиао )1 / г
(и&)12(о&)|^(и&,о,5)2аиао I +
+ Г0еГ ехр — I ^ а^- I а,
+да+да
)+ ки р (и10, г, 5), р {о0, г, 5), и&, о&)р2, (о0, г, 4 )х х К (и &, о& (и&, о& , /(и , о& , 5))ам&ао&а5.
Возводя (10) в квадрат, с учетом формулы (а + а + а)2 < 3(а2 +аг2 +а2), умножая на А (и)л2(о) = И„(и,о), интегрируя по и, о от —да до +да и оценивая
а М/А(и К (о)
° Аг [)
I ехР — (.Ц I
и,!,5 ) /
Р (р (и, г, 5), р (о, г, 5), ^
аиао > < у5,
а2)]3" "Л(и)Л(°) "
¡4—} лы} ЛЫГ
им а(4) р^и) Ь(т)
( " "к(р(и,I,з)р2(о,I,4и&,о&У
X Д (и& ,о& )Л—1(и &)Л (о&Л (и&, о&, з)йи&йо& У 2 йз
аз )|з _[ _[Л1(и )Л (о)
йий о\\<76
" ехр — } ЛЛ^) " ЛТ йт\\\\\\ кр(и,,, з)р2 (о,,, з)и& ^
р1(и1,з)
р2 (о/з)
X Д (и& , о&(и& , о& , /(и&, о& , з)]йи&йо&йз
йийо \\<77
получим
ы2л <751ы2 + „2761ы+ „7 (12)
Возводя (11) в квадрат, с учетом формулы (а+а )2 < 8(<а2 +а2)&
интегрируя по I в Я+ и оценивая:
а )|81 11 к2 (и °,о°, и&, о& Д (и&, о& )Л (и& )Л— (о& Л (и&, о&,I )йи &йо&йг \\ < 7, & , о&Д (и&, о&(и&, о&, /(и&, о&,I))йи&йо& ]2й,\\<
а К8Д " " к(и0,о°,и&,о&Л(и&,о%(и&,о&, г(и&,о&,,))йи" -& 12
^ 0 —да—да
)[ 8/}ехр|^— 2 } ЩйЫ — 2 } Л2ЫаХ2Ци\\,,з)р2{о",,,з)з)
I 0 0 р(u.t.s) а(Ы) р(оЛз) Ь(ТТ) ,
&, з)+ЛШ§р* о&, з)
йзйг \\ < 710,
з) а(Ы) р,(},>з} ЬЫТ
м&и&и \\sibacinto
) (ри Р {и10, г, 5), Рг (о0, г, 5) 5 &)р1г (и0, г, 5)+
+ р р (и0, г, 5), р (о0, г, 5), 5 &)р2( (о0, г, 5) )г аа \\<уп
а и 8да "Г АЮ^- оГ ЬШ
II ехр — | ьш аш — |
( +да+да
Рг (о",&,&)
I {( к" Р ("0, г, 5), Рг (о0, г, 4 " ,о&)р1, (и0, г, 5)+
(—да—да
+ ки Р ("0, г, 4 Рг (о0, г, 4 ", о& )ргг (о0, г, 5) )г И02 (", о& )
А"1 (и&А— (о& )ь2 (« &, о, л)аи&ао& | а^
аг ^<^12,
{да г
(— "г ЬМ1 Ш о0 Ш) а{
р("0,г) а(Ш) Р2(о0,г,5) Ь[)
Л(к" (Р1 (" г, 4
Р2)о0, (, 4 и&, ))рх, (и0, г, 5 )+
+ к" р (о0, г, 4 Р& ()° , Ч 4 "& & о& Ц/12((о0, г,)К ("& , о&)
р0 (и& , о& , / (и& , о & , 5 & ))аи &а о & а^
аг^<Пз,
имеем
< у&Ч + Г11 )[г + еЧ2Ч + ГиШ2к + е2Гс2Р + ТЪ). (13)
Ы2 + 1Ы< ^„2 —^0,
тах{75 + 720 7 + 7п),„2(7б +707 +7x2))}= й < 1, (15) 77 + 70 (79 + 713 ) = й2 •
Теорема 2. В случае Л0 (и,о)= Л1(и) + Л2 (о) при выполнении условия (15), решение задачи 1 при е ^ 0 сходится к решению вырожденной задачи в смысле .
Список литературы:
ОДНОСКОРОСТНЫЕ ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ. -мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: tuganbaev.mm@mail.ru
SINGLE-SPEED DIRECT PROBLEMS OF TRANSPORT THEORY IN THE SPACE OF WEIGHT FUNCTIONS
Marat Tuganbaev
сandidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J. Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
В пространстве весовых функций решены прямые задачи теории переноса, эквивалентно сведенные к интегральному уравнению второго рода. Введены соответствующие физическому смыслу весовые
