Спросить
Войти
Категория: Математика

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Автор: Лобанов Игорь Евгеньевич

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ Лобанов И.Е. Email: Lobanov1171@scientifictext.ru

Лобанов Игорь Евгеньевич - доктор технических наук, ведущий научный сотрудник, Проблемная научно-исследовательская лаборатория № 204, Московский авиационный институт, г. Москва

Аннотация: в данной работе получены точные аналитические решения для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полой сферы и полого цилиндра, полученные в замкнутой рекуррентной форме. Решения при граничных условиях на двух поверхностях для плоского тела и для полого шара были получены без применения чисел Бернулли. Приведённая в статье рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полых цилиндров и сфер, — решение в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме. Ключевые слова: теплопроводность, аналитический, нестационарный, линейный, одномерный, обратная задача, поверхность, граничные условия, односторонний, двусторонний, рекуррентный, плоский, сферический, цилиндрический.

EXACT ANALYTICAL SOLUTIONS FOR THE NON-STATIONARY LINEAR INVERSE HEAT CONDUCTION PROBLEM FOR BODIES OF ONE-DIMENSIONAL GEOMETRY Lobanov I.E.

Lobanov Igor Evgcnjevich - Doctor of Technical Sciences, Leading Researcher, PROBLEM RESEARCH LABORATORY № 204, MOSCOW AVIATION INSTITUTE, MOSCOW

Abstract: in this paper, we obtain exact analytical solutions for the non-stationary linear inverse heat conduction problem for bodies of one-dimensional geometry with boundary conditions on one surface, as well as on two surfaces for a flat body, a hollow sphere and a hollow cylinder, obtained in a closed recurrent form. Solutions with boundary conditions at two surfaces of a flat body and a hollow sphere have been obtained without the use of Bernoulli numbers. The recurrent form of writing the solution of the non — stationary linear inverse heat conduction problem for bodies of one-dimensional geometry with boundary conditions on one surface, as well as on two surfaces for a flat body, hollow cylinders and spheres, is a closed-form solution from unified positions, which is not always possible in an explicit form.

УДК 532. 212

Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности

Безразмерно уравнение нелинейной нестационарной теплопроводности для теа одномерной геометрии и постоянной кривизны можно записать следующим образом [1, 2]: дТ/дFo = д2Т/д 2 + ((к - 1)/ ) дТ/д . (1)

Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, который подогревается на внутренней поверхности, рассматривается при использовании безразмерной координаты, для которой подогреваемая поверхность соответствует единичному значению [1, 2]:

Т( , Ро) = £и=0 п, 1 Рп, ! + =О п,2Рп,2. (2)

2.1. Плоская пластина

Квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничных условий на одной и той же поверхности для плоской пластины в рекуррентной форме:

Р„ 1 = ( 2/ (2 п ■ (2 п - 1 ) ) ) Р„ _ !, 1; Р„2 = ( 2/ (2 п ■ (2 п + 1 ) ) ) Р„ _ !,2. (3)

2.2. Сплошной цилиндр

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на оси сплошного цилиндра в рекуррентной форме:

Рпд = ( 2/4п2 )Р„_ 1,1. (4)

2.3. Полый цилиндр

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра в рекуррентной форме:

п-1 п-1

Р - 1 & У 1 Р У 2{п-ш) ПД " ¿0 ((2(п - т))!!)2 тД к ((2(п - тЩ2 ^ "

п \\ п-1 п-т

= |1п - ^ т-1) 2 + ^ 1 ^ Г1 Ртд +

т=1 / ^..... "

о((2(п-т))!|) 1=

2(п—т)
2 (п-т))!П [(2 (п-ш))!!

I уп—1 _^_ П I уп —1 2(п Ш) р

,, „ ,2 гш,2 "г Ьт=0 ,, „ ч2,Ы=1 1 гш,22.4. Сплошной шар

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия в центре сплошного шара в рекуррентной форме:

Р„, 1 = ( 2/ (2 п ■ (2 п + 1 ) ) ) Р„ _ 1, 1. (6)

2.5. Полый шар

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара в рекуррентной форме:

_ 1 ( _ 1 2 ( + 2 п) _ ( _ 1 2 р (7)

Р„, 1 = 2 п- (2 п + 1) ( + 2 (п_ 1) )Рп _ 1 1; Рп,2 = 2 п- (2 п + 1)Рп _ 12. (7)

Для заданных нестационарных граничных условий на одной поверхности п1 и п,2 рекуррентные соотношения будут следующими:

пД = (г2/а) (5 п_ и/д ) , V ¿ = 1 ,2 . (8)

Вопросы корректности данной обратной задачи теплопроводности (т.е. существования решения, его единственности и его устойчивости) были подробно рассмотрены в работах [1, 2], поэтому в данном исследовании нет необходимости их повторного рассмотрения

3. Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными температурными условиями на обеих поверхностях

Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, на границах которого имеют место нестационарные температурные границы, рассматривается при использовании безразмерной координаты: первая точка принимается за начало координат, а вторая имеет единичную абсциссу (для плоского поля); первая точка имеет единичную абсциссу, а вторая имеет точку 2 (для сферического и цилиндрического полей); может быть представлена в следующем виде [1, 2]:

Т ( & — ] п = 0 п, 1 Рп. 1 + 1 п=0 п,2 Рп,2 ■ (9) 3.1.1. Плоская пластина

В объединённой форме точные решения данной задачи (для Рп1 и для Рп2) будут выглядеть следующим образом:

Рпл = Рп.1 ~ ШРп-г-и [^¿+1,1 — Тл=0 ^ + 1-к,2 fc.ll =1]| ~Рп,2& Рп,2 = Рп,2 ~

Pn-i-i,2 [Fi+i,2 n=0Fi

=0 i+1—fc,2 fc,2 |

3.1.2. Полый цилиндр

В объединённой форме точные решения данной задачи (для Р„,1 и для Рп2) будут выглядеть следующим образом:

Р — F — У""1 Г • гп,1 — гп,1 ¿11=0 [п П—1 — 1,2

Pi+1,1 П=01п Pi+l-k,2 fc,l| _

Рп, 2>

0 In ,

р — 1 Г уга-1 ^ р п,2 — ¡п 71,2 Zji-п . г1

—^i+l,2-Y,k=0—2Fi+l-k,2 к,2 | = 2

3.1.3. Полый шар

В объединённой форме точные решения данной задачи (для Рп1 и для Рп2) будут выглядеть следующим образом:

п,1 ~ Рп,1 ^ ^

Рп-1-1,2 Х

Pi+1,1 П=0{ 2_±^р1+1-к,2 fc,l| _ J| Рп,2> Рп,2 — (■ 2_±^Рп,2

^ ( 2 - 1)

i=0 V 2 J

_У"-1_2_р

¿-¡1=0 ( п—1—1,2

Pl+1,2 П=0( 2_1}р1+1-к,2 к,2 | _

4. Выводы

Полученная в работе рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы, является решением в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.

Список литературы /References

1. Бургграф О.Р. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и её приложениях // Труды американского общества инженеров-механиков. Серия С: Теплопередача, 1964. № 3. С. 94-106.
2. ТёмкинА.Г. Обратные задачи теплопроводности. М.: Энергия, 1973. 464 с.
теплопроводность аналитический нестационарный линейный одномерный обратная задача поверхность граничные условия односторонний двусторонний
Другие работы в данной теме:
Контакты
Обратная связь
support@uchimsya.com
Учимся
Общая информация
Разделы
Тесты