ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О СУЩЕСТВОВАНИИ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОДНОГО
ДИСКРЕТНОГО ТРЕХЧАСТИЧНОГО МОДЕЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА 1 2 Расулов Т.Х. , Боймуродов С.И. Email: Rasulov694@scientifictext.ru
Аннотация: данная статья посвящена изучению существенного и дискретного
спектров одного модельного оператора H , где Ц> 0 параметр взаимодействия.
Оно ассоциировано с системой трех частиц на одномерной решетке. Модельный
оператор H рассматривается как линейный, ограниченный и самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве, состоящий из квадратично-интегрируемых
симметричных функций, определенных на двумерном торе T2. При всех значениях параметра взаимодействия f доказывается существование единственного
собственного значения данного модельного оператора
ON THE EXISTENCE OF THE EIGENVALUE OF A DISCRET THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR Rasulov T.1, Boymurodov S.I.2
УДК 517.984
Abstract: рresent paper is devoted to the study of the essential and discrete spectrum of a model operator
, where f> 0 is a coupling constant. It is associated with the system
of three particles on the one-dimensional lattice. A model operator H is considered as a
linear, bounded and self-adjoint operator acting in the Hilbert space, consisting of the
square-integrable symmetric functions defined on the two-dimensional torus T2. For all values of the coupling constant f we prove the existence of the unique eigenvalue of the
model operator
Одним из важных вопросов в спектральном анализе модельных операторов, связанных с дискретными операторами Шредингера, является изучение собственных значений, лежащих вне существенного спектра [1 - 22]. Данная работа посвящена изучению существенного спектра и собственных значений одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на одномерной решетке.
Пусть -Ц,(Т2) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на Т2 .
В гильбертовом пространстве ^,(Т2) рассмотрим так называемый дискретный модельный оператор И.. , действующий по формуле
Ин = Ио(1)
где операторы
И и Ка , X = 1,2, определяются как
(Иof )(х,у) = (и(х) + и(y))f (X,у), / Е Ь\\(Т2); (V/)(Х, у) = р(X) \\ ()/(t, у^, / е ¿2(Т2);
(V/)(х,у) = р(у)()/(х,t)dt, /е 4(Т2).
При этом и(-) и р(•) - вещественнозначные аналитические функции на Т1. В этих предположениях оператор И , определенный по формуле (1), является
ограниченным и самосопряженным в 1^2 (Т 2 ) .
Для формулировки основного результат работы наряду с дискретным модельным оператором И , рассмотрим еще так называемую модель Фридрихса Н ,
действующую в гильбертовом пространстве ^ (Т1) по формуле
Нн := Н0 ,
где операторы Но и V определяются как
(Но я)(х) = и(х) я(x), я Е ^2(Т 1);
(vg)(x) = р( у) () я ^ )dt, я е ь2(т1).
Модель Фридрихса также является ограниченным и самосопряженным операторов в гильбертовом пространстве ^ (Т1) .
Очевидно, что по определению операторов
и Н модельного оператора
И можно представить как тензорную сумму
И, = И, ® I +1 ® Н„ . Здесь I
означает единичный оператор в (Т1).
В данной работе будем изучать существенный спектр и собственные значения дискретного модельного оператора И с помощью тензорной суммы операторов.
Оператор возмущения V оператора ^ является самосопряженным оператором ранга 1. Согласно известной теореме Вейля о сохранении существенного спектра при конечномерных возмущениях вытекает, что существенный спектр )
оператора h^ совпадает с существенным спектром оператора h0 .
Известно, что Oess (h0) = [m, M] , где числа m и М определяются равенствами
m :— min u(x), M :— max u(x).
xeT1 xeT1
Из последних двух фактов следует, что Оess (h ) = [m, M]
Всюду предположим, что функция U (•) имеет минимум в точках Xk G T1,
к — 1 , П, где П - натуральное число (1 < n ). В качестве такой функции можно взять функцию вида
u( x) = 1 - cos(3x).
Тогда функция U (•) имеет минимум в точках
_ 0 _ 2л _ 2л x — о, x0 — , xQ — . 1 2 3 3
Описываем число и местонахождение собственных значений модели Фридрихса h&. _
Лемма 1. а) Если v(xk) ^ 0 , к — 1, П , то при всех значениях параметра взаимодействия LI > 0 модель Фридрихса h имеет единственное собственное значение E , лежащее левее m .
б) При всех значениях параметра взаимодействия Ц> 0 модель Фридрихса h^ не имеет собственных значений, лежащих правее
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. а) Пусть v(xk ) ^ 0 , к — 1, П . Тогда для существенного спектра оператора И имеет место равенств.
Oess (И ) — [2m,2M ] u [m + Eß, M + EJ.
Кроме того, при всех значениях параметра взаимодействия Ц > 0 модельный оператор И,,
имеет единственное собственное значение
Odisc (Иц) — {2el }, причем El< m .
б) При всех значениях параметра взаимодействия L > 0 модельный оператор
не имеет собственных значений, лежащих правее
При доказательстве теоремы 1 ключевой роль играет лемма 1 и тензорная
структура H,, — И„ ® I +1 ® h оператора H,,.
Ц Ц Ц Ц
Обычно множества [m + E^, M + E^ ] и [2m,2M ] называются соответственно двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра модельного оператора H .
Можно также показать, что спектр оператора H0 — цУх совпадает с существенным спектром оператора
H , т.е. <Tess(HЦ) — <j(Hо — ЦУ1) . Видно, что оператор H0 — цУх имеет более простую структуру, чем H.
Список литературы /References