Спросить
Войти
Моделирование колебания мембраны треугольной формы
Н.А. Чернышов
ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»,
г. Воронеж
Аннотация: Во многих современных технических конструкциях применяются мембраны различных форм. Это могут быть электроакустические приборы, медицинское оборудование, обшивка корпуса самолета треугольными ячейками. Известны решения о свободных колебаниях мембран прямоугольной и круглой формы методом Фурье. Также существует довольно много решений задач о колебаниях мембран различных форм методом конечного элемента. Аналитические решения для мембран более сложных форм представляют большой интерес в связи со сложной геометрией контура и трудности получения самого решения. В данной работе получены частные решения для задачи о свободных колебаниях мембраны правильной треугольной формы с различным заданным начальным изгибом поверхности и найдены собственные частоты колебаний. Ключевые слова: Свободные колебания мембраны, мембрана правильной треугольной формы, собственные частоты колебаний.
Постановка задачи
Рассмотрим свободные колебания мембраны, представляющей собой упругую свободно изгибающуюся натянутую пленку. Толщина пленки и ее колебания малы по сравнению с размерами. Если мембрана выведена из состояния покоя, то ее точки начинают совершать движения перпендикулярно плоскости XOY, т.е. совершают поперечные колебания.
Пусть равносторонняя треугольная мембрана закреплена на границе и находится в плоскости XOY. Затем в начальный момент времени t = 0 мембрана выводится из положения равновесия в плоскости XOY и начинает совершать колебания. Дифференциальное уравнение колебания мембраны имеет вид [1]:
ч дх2 ду2 ,
д 2W д 2W +
где W - отклонение точек мембраны от плоскости ХОУ, г - время. Граничные условия мембраны:
W| г = 0 (2)
Начальные условия:
W,=0 = f (У )■
Будем искать решение в виде [2]:
ТС& = и (х, у) Т (г). (4)
После подстановки (4) в (1) получим:
и (х, у) Т( г ) = а2 Ли (х, у) Т (г)
Так как левая часть не зависит от x , а правая от t, то обозначим
T 2AU 2,2 — = a -= -a k
Получим:
T + a2 k 2T = 0 (5)
AU + k2U = 0 (6)
общее решения (5) будет:
T = A cos akt + B sin akt Решение задачи
Решение уравнения (6) затруднено в связи со сложной геометрией мембраны в [3-10] рассматривались задачи с различной геометрией мембран и пластин. Рассмотрим дифференциальное уравнение:
F"( x ) + k 2F (x ) = 0 (7)
Его общее решение имеет вид:
F (x) = C cos kx + D sin kx Введем три вспомогательные переменные £.:
Si = У, £2 = 1 (^x - y), £3 = h - 2 (y¡3x + y) (8)
где к - высота треугольника
Три переменные ^, /=1,2,3 обладают следующими свойствами:
^ + ^ + ^ = к (10)
AFft) = ^ , A2F(,) =
d§? & ^ d§4 Функции F(§.), F(^i + §2), F(^i + §3), F(^2 + §3), учитывая (10) удовлетворяют дифференциальному уравнению (7). Применяя принцип суперпозиций, представим решение задачи (7) следующим образом:
U = F) + F(§ 2) + F(^3) - F(£i + § 2) - F(§ 2 + §3) - F + §3) (12)
Преобразуем выражение, применяя свойство (10): U = C (cos X§j^ + cos X§2 + cos X§3 - cos X (h - §1) - cos X (h - §2) - cos X (h - §3)) + +D (sin + sin X§2 + sin X§3 - sin X (h - §1) - sin X (h - §2) - sin X (h - §3)) =
CI sin X
& hЛ . hЛ . f hЛ
+ sin X
+ sin X
- D (1 + cos Xh)- C sin Xh где C =—^- }
получили:
+ sin X
+ sin X
Рассмотрим граничные условия (2). Здесь возможны варианты:
^ = 0, ^2 = 0, ^3 = 0, =^2 = 0, ^ =^3 = 0, ^2 =^3 = 0
в любом случае получим:
U| = —C sin X h 1г 2
учитывая, что C ф 0, придем к условию
sin X h = 0 2
собственные частоты имеют вид
X =-, п = 1,2,3...
Учитывая, что начальные скорости (3) всех точек мембраны равны нулю, то В = 0. Обозначим при X = Хп постоянную Ьп = АС . Получим последовательность частных решений уравнения (1):
, 2пп Wn = b„ cos-at
Sin2пп
+ Sin2пп
+ Sin2пп
Все точки мембраны колеблются с одним и тем же периодом
Тп = , п = 1,2,3... ап
Амплитуда колебаний имеет вид:
Sin2пп
+ Sin2nn
+ Sin2nn
Общее решение уравнения (1) получим, сложив все частные решения (15)
тт т -А 2 пп W = у bn cos-at
+ Sin2nn
+ Sin2nn
Так как мембрана имеет в момент времени г = 0 начальную форму (3), то
+ Sinh
+ Sinh
= f 51 — 2 + f2 52 " + f3 53 —T
( к Л ( к Л ( к Л
где / (х, у) = /1 £ - - + /2 £2 - 2 + ^3 £3 - 2
V 2 У V 2 У V 2 У Начальную форму необходимо подобрать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (2) и возможно было бы решение уравнения (17). Рассмотрим частный случай и примем
/ (^ у) = вШ—— £ к
+ Б1П2пп
+ Б1П2пп
Тогда Ьп = 1. Принимая п = 1,2,3,... получим различные начальные формы. На рис. 1 показана первая форма колебаний мембраны при п = 1.
Рис. 1. - Первая начальная форма мембраны. Общее решение при п = 1.
ТС = СОБ
Б1П ■
£ - к £ 2 у
+ Б1П ■
£ 2 - к
+ Б1П2п ~к
£3 - к
В более удобной форме общее решение после преобразований можно представить:
W = СОБ
. П „ . П „ • П „ Б1П — £,, Б1П — Б1П — ¿,3 к 1 к 2 к 3
На рис. 2 показана вторая форма колебаний мембраны при п = 2.
Рис. 2. - Вторая начальная форма мембраны. На рис. 3 показана третья форма колебаний мембраны при п = 3
Рис. 3. - Третья начальная форма мембраны. Общее решение для произвольного п имеет вид:
sin — L sin — £2 sin — (20)
h 1 h 2 h 3 v 7
Форма полученного решения похожа на решение для прямоугольной мембраны. В нем также присутствует произведение синусов, что обеспечивает гармонические колебания. На рис. 2, 3 видны зоны пучностей, узловые линии, что показывает сходство с характером колебаний прямоугольной мембраны.
В представленной работе найдены собственные частоты колебаний, получены частные решения задачи о свободных колебаниях мембраны правильной треугольной формы с начальным отклонением, а также построены первые три формы колебания мембраны.
поперечной нагрузки и равномерного растяжения. Известия инженерно-технологической академии чувашской республики, 1998, Чебоксары, №11, с.87-95.
References
копГегепси, posvjashhennoj pamjat1 zasluzhennogo dejatelja nauk1 ТЛББК рт£ Sachenkova Л.У., 1998, Kazansk1j gos. un1vers1tet рр.237-243. 10.Chernyshov Л.Б., Chernyshov КЛ. Уjazkouprug1e koleban1ja treugol,noj plast1ny. РМТБ, 2001, 142, №3, Novosibirsk, рр.152-158.
