Спросить
Войти
СЕКЦИЯ
«АЭРОКОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ»
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
Бабаджанянц Левон Константинович
д-р физ. -мат. наук, проф. Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: levon@mail.wplus.net
Брэгман Анна Михайловна
студент магистратуры Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: meune@mail.ru
Брэгман Константин Михайлович
старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: beswdw@gmail.com
Касикова Полина Владимировна
системный администратор, управление-Служба информационных технологий Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: p. kasikova@spbu. ru
Петросян Леон Аганесович,
д-р физ. -мат. наук, проф. Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: spbuoasis7@peterlink.ru
Технические науки — от теории к практике № 8 (56), 2016г_
COMPUTING DERIVATIVES WITH RESPECT TO ELEMENTS FOR THE TWO-BODY PROBLEM
Levon Babadzanjanz
doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,
Russia, Saint-Petersburg
Anna Bregman
student of Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg
Konstantin Bregman
senior Lecturer of Saint-Petersburg State University,
Russia, Saint-Petersburg
Polina Kasikova
system administrator, Administration-Service of Information Technologies
of Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg
Leon Petrosyan
doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,
Russia, Saint-Petersburg
Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 9.37.345.2015.
АННОТАЦИЯ
В предыдущей работе мы вывели для задачи двух тел ряд полных систем уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями. В настоящей работе, с помощью этих уравнений мы показываем, как получить частные производные по элементам для координат и скоростей.
ABSTRACT
In previous work, we deduced for the two-body problem a number of total systems of partial differential equations with polynomial right-hand sides. In this paper, using these equations we show how to obtain the partial derivatives with respect to elements for coordinates and velocities.
www.sibac.info
Представленные в настоящей (и предыдущей) статье результаты получены в рамках идей, предложенных в диссертации [3] одного из авторов (К. Брэгмана) и частично пересекаются с материалом главы 5 этой диссертации. Как и в работе [2], здесь мы рассматриваем эллиптический вариант небесномеханической задачи двух тел [1; 2; 5-7]. Цель настоящей работы - предложить для этой задачи эффективный алгоритм вычисления частных производных от декартовых координат и скоростей по Кеплеровым элементам. Алгоритм использует полученные в [2] полные системы уравнений в частных производных с полиномиальными по неизвестным правыми частями (полино -миальные системы) для координат, скоростей и некоторых других величин, рассматриваемых как функции времени и того или иного набора элементов. Далее, в настоящем разделе 1 (Введение) мы напоминаем обозначения и формулы для эллиптического варианта задачи двух тел. В разделе 2, на основе полученных в работе [2] полных систем уравнений в частных производных для этой задачи мы выписываем формулы для производных первого порядка по элементам и времени, а в разделе 3 обсуждаем как получать производные высших порядков и приводим соответствующие формулы.
Как и в работе [2] (и с использованием тех же обозначений), рассмотрим уравнения движения точки в ньютоновом силовом поле
I = (или I =jh nt = -téf^ (D
и решение этих уравнений для эллиптического случая [1; 2; 5-7]:
^ = a(A \\l 1 - e2 sinE + B¡ (cosE - e)), r = a(1 - ecosE), щ =у[Йа~ 1/2(1 - ecosE)" 1(AV1 - e2 cosE -B sinE), i e[1: 3] , (2)
A =- sinocos Q-cosasin Q cos i, B = cosacos Q-sinasin Q cos i, 4 =-sinasinQ + cosacosQcosi, B2 = cosasinQ + sinacosQcosi, A = cos a sin i, B = sin a sin i,
E - e sin E = M, (3)
www.sibac.info
M = M0 + n(t -t0), n = *Jjii/ a
В формулах для производных по времени и элементам, которые мы рассмотрим в разделах 2 и 3, используются следующие связанные с (1) - (4) независимые аргументы ^г7 и функции щ,...,щ23:
^ = t, t2 = а, t3 = e, t4 = M0, t5 = i, t6 = Q, t7 =ú) ; P = E, p2 = sinE, p = cosE, p4 = (1 — ecosE)-1,
-1/2 2 \\l/2 n 2 ч —/2
P = а , p6 = (1 — e) , p7 = (1 — e) , Pi+i = £, Po+i = 4,(i = 1,2,3), Pi+i = 4, P\\e+i = Bi, && = 1,2,3 P = 4 = sinocos i, p21 = B4 = cosacos i,
P22 = 4 = sinQ, p23 = B = cosQ.
Для того, чтобы получить первые производные функций щ,..., р23
и, в частности координат и скоростей щ = £ , щ = Щ, (? = 1,2,3), по времени и элементам ^,..., , естественно использовать полиномиальные полные системы, полученные в разделах 1.4, 2 и 3 работы [2]. Кроме того, для получения производных координат и скоростей по г5,^,^ используем формулы (2) для . Таким образом получаем:
aP /- 3 ap, = 4MP4P^^ -r- = t 3^4 -2 -to) 5 P4P5 , aP1 OÍ3 = P2 P4, aP. at4 &
at, =V^P3P4P5, apI = t 3\\¡M(t1-& 2 to) 5 0 P3P4P5, aP2 _ a^ =P2P3P4, aP2 at4
at. = -s[мP2P4P!, apl t _ 3^ -2 to) 5 0 P2P4P5, aP3 at3 = -P2P4, aP3 at4
P 3 3 P 3^M(tl — t0)f 3 5
с^ сг2 2
P 2 2 3 P 3
— = P3P4 - &3P2 P4 > = ^3 P2 P4 >
от3 от4
-=-= 0, / = 1,2,4, -= _/, р7, -= фП,
—^ = VМфз+Р6Р _Р6+РгХ
= (ф _ /3)^16+,. + Р3Р6Р3+, _ /0)/2^4^5 ^16+, _ ^3^6^13+/ X
——^ = ¡2 ^^^Рб^ _ _ Р16+, (1 + Р2 Рз )),
= _(^/3Ф2Ф43Ф51(Ф3Ф6Ф13+,- Р2Р16+/ )) _^Ф42Ф54(Ф3Ф16+,- +^2^6^13+/ ), = (Рз+Р6Рз _ Р16+Р2 ) + 3 _ )Фз2Ф56 [/зР2Рз (РзР6Рз+, _
_ Р2Р16+, ) + (РзР6+,- + Р2РР13+,
^^ = 4м<Рф5 (Рз _ ^Рз )(РзР6Рз+,- _ Р2Р16+,) _
^4мР4Р5(Р2Р3Р4Р16+1 +Р22РЗР6Р13+,- + /зРзР7Рз+/X
^ ^/^Р42p5[íзР2Рз(РзР6РIз±I _ Р2Р16+,-) _ ^6+, + Р2Р6Р13+,
^ = ^РР^^ЖР _(~Р1~~&)Р2), - = 1,2,3, / = 5,6,7,
—7 = _Р18, 7 = Р14, 7 = Р19Р22, 8/, 8/, 8/,
www.sibac.info
Р- Щ—- = Фи> —
дг6 дг1
, —- = Р- , "Т" = -Щ19^23 ,
Щ16 _ 0 Рб _ 5Щ16
дРк = о Р - 5^19
р20 5гб 0 р20 дг1 Р21," р20 дг5
Р21 5гб = 0 Щ21 =. дг1 Р20, Р21 дг5
р22 дг- д Р22 = Р23, „ дг7 = 0, р22 дг5
Р23 дг- т Р23 = Р22, „ дг7 = 0, Р23 дг5
= -Щ19,
= 0, = 0.
Полученные в разделе 2 формулы для производных запишем в виде
р = рк1 (щ,...,щз,г,,...,/7)), к = 1,...,23,1 = 1,...,7, (6)
где: рк1 - алгебраические полиномы по аргументам р,...,р,^,...,, а сами эти аргументы определяются формулами (5). Будем использовать обозначения:
г = (&,...,ц), & е [0: +») ,
и (к )
Б&рк = д&1+.+&-Рк /дг1..дг7 = £ (г„...,г7)р
р=(р,...,р2з), я,(&) = (Лл(1),...,л/,2з(1)), рл& =р1&х •...-р21;-23;
=рк, 61 = (1,0,...,0),...,£>7 =(0,...,0,1) .
При г = е, (I = 1,...,7 ) первые производные
De% ti,-, О)
• известные полиномы по (,..., (з, tl,..., t1 (см. (6)). Для старших производных непосредственным дифференцированием получаем рекуррентные формулы:
На самом деле, вместо формулы (8) естественно получить старшие производные при помощи какого-либо пакета компьютерной алгебры, например Maple [8] или Wolfram Mathematica [9], и рекуррентных соотношений
В работе [2] мы вывели для задачи двух тел полные системы уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями. В настоящей работе (см. раздел 2 и формулы (6) - (9) раздела 3) мы рассмотрели, как эти уравнения можно использовать для получения производных произвольного порядка от эксцентрической аномалии, координат и скоростей по времени и элементам. Важно отметить, что алгоритм вычисления искомых производных состоит из трех шагов: вначале по формулам (5) вычисляются все переменные ((,...,(,^,...,^ , затем вычисляются по формулам раздела 2 все первые производные и, наконец, по формулам (7), (8) или (9) вычисляются старшие производные (до любого требуемого порядка). Отметим, что все выкладки могут проводится как в аналитической, так и в численной форме, причем после нахождения (,...,(,tl,...,t1 все остальные выкладки состоят из умножений и сложений полиномов по этим переменным.
Список литературы:
iff & СибАК
Технические нщ&ки — от теории к практике ^^
№ 8 (56), 2016г_www.sibac.info
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
Бабаджанянц Левон Константинович
д-р физ. -мат. наук, проф. Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: levon@mail.wplus.net
Брэгман Анна Михайловна
студент магистратуры Санкт-Петербургского государственного университета,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: meune@mail.ru
