ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОГИКА В ГЕОИНФОРМАТИКЕ

DOI: 10.24411/2619-0761-2020-10024 УДК 519.7, 004.8

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОГИКА В ГЕОИНФОРМАТИКЕ

Цветков В.Я. *

Центр стратегического анализа и развития НИИАС, Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт информатизации, автоматизации и связи на железнодорожном транспорте (НИИАС), г. Москва, Россия

*Е-таИ: cvj2@maii.ru

Аннотация. Статья исследует феномен пространственной логики в геоинформатике. Пространственная логика рассмотрена как средство геоинформационного моделирования и получения новых знаний. Показана связь пространственной логики с двоичной и троичной. Показано сходство и различие между этими видами логик. Статья раскрывает содержание видов пространственных логик в геоинформатике. Статья описывает виды пространственной логики: геометрическую логику, топологическую логику, теоретико-множественную логику, образную логику. Анализ ошибок образной логики дается на примере языка карт. Пространственная логика ближе к модальной логике, чем к логике первого порядка. Язык пространственной логики, в отличие от языка математической логики допускает неоднозначность и может содержать противоречия или информационную неопределенность. Однако это служит описанием реальных противоречий, чего не дает математическая логика. Показаны факторы эффективности пространственной логики и ее проблемы. Пространственная логика, в общем, является инструментом анализа в геоинформатике и служит основой получения знаний.

Введение.

Яространственная логика (spatial logic) [1] достаточно широкое направление, связанное с пространственным анализом и с логическими рассуждениями. В первом направлении оно опирается на качественный анализ и геометрическую логику. Во втором направлении оно связано больше с логической формализацией. Пространственная логика использует двоичную и троичную логику. Это связано с выполнением или нарушением закона исключения третьего. Если существует пространственная ситуация, в которой выполняется закон исключения третьего, то для пространственной логики применим механизм двоичной классической логики.

Пространственную логику применяют в пространственных рассуждениях [2]. Она применяется в архитектуре с дохристианских времен. Пространственную логику

применяют в ландшафтном проектировании [3], при извлечении пространственный знаний, при проектировании микросхем и организации параллельных вычислений [4], при формировании запросов к базе данных [5], в робототехнике и системах технического зрения [6], при построении виртуальных карт и в системах дополненной реальности, при интерактивной обработке информации в геоинформационных системах, в картографии, в геодезии при проведении полевых работ и при работе с п р и е м никами спутниковой навигации, при мониторинге деформаций и осадок сооружений. Таким образом, в науках о Земле пространственная логика применяется интенсивно. Пространственная логика является обобщенным понятием и в геоинформатике включает несколько частей: геометрическая логика, топологическая логика, теоретико-множественная логика, образная логика. Особо в геоинформатике выделяется

Содержимое этой работы может использоваться в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution 4.0. Любое дальнейшее распространение этой работы должно содержать указание на автора (ов) и название работы, цитирование в журнале и DOI.

область получения пространственных знаний [7], в которой также применяют пространственную логику. Пространственная логика применяется в образовании, как в области наук о Земле, так и в других дисциплинах; геометрии, топологии и теории множеств. Пространственная логика имеет выход в область искусственного интеллекта, где она применяется в интеллектуальных транспортных системах и в транспортных кибер-физических системах.

Основная часть.

Виды пространственной логики.

Основные виды пространственной логики, применяемой в геоинформатике это: геометрическая логика, топологическая логика и образная логика.

Геометрическая логика. Геометрическая логика возникла задолго до появления геоинформатики. Она включает: аксиомы; теоремы и целевые утверждения, которые выражаются с помощью доказательства или построения. Геометрическая логика применяется не только в реальном пространстве, но и в пространстве параметров, например, при использовании метода разделяющей гиперплоскости при разделении двух параметрических классов. При автоматизированной обработке изображений геометрическую логику применяют для решения задач распознавания пространственных объектов. Геометрическую логику в этом направлении используют в системах беспилотного управления для обнаружения препятствий или распознавания объектов не видимых в оптическом диапазоне. Различают геометрическую логику на плоскости и геометрическую логику криволинейного пространства.

Логика геометрии на плоскости не допускает пересечения параллельных прямых. В геометрии на плоскости треугольник имеет сумму внутренних углов равную только п. Логика геометрии на сфере заменяет понятие прямой линии на понятие геодезической линии. Логика геометрии на сфере допускает пресечение параллельных линий. Например, меридианы пересекаются в полюсе, в тоже время параллели не пересекаются. Логика геометрии на сфере допускает сумму внутренних углов выпуклого кр иволинейного треугольника равную 3/2 п. Таким образом, геометрическая логика задается не только базовыми аксиомами, но и видом пространства. Это существенное отличие от математической логики, в которой пространство не рассматривается постулатами и может различаться для разных геометрий.

Топологическая логика. Топологическая логика широко применяется в геоинформатике, в частности, при топологизации пространственной информации. Картографические произведения используют тополог ическую логику. При цифровании карт на о с н о в е отсканированных образов пространственную логику применяют для устранения ошибок автоматизированной векторизации.

В топологии пространственная логика использует простые аксиомы: топологическая инвариантность (рис. 1), пересечение, отсутствие пересечения. Топологическая логика использует топологические свойства объектов, наличие которых означает «истину», отсутствие «ложь».

Рис. 1. Топологические инварианты

Между фигурами на рис. 1 существует топологической определенности. Оно связаотношение логической эквивалентности [8] но с понятием информационной определенв соответствии с топологической логикой. ности и топологической однозначности. Это

Их можно рассматривать как логические свойство и отличает пространственную

тавтологии. Для пространственной логики и логику от других видов логик. Следует

топологической логики существует понятие отметить, что для пространственной логики,

в отличие от двоичной логики, существует понятие множественности значений пространственных образов. Устранение множественности значений пространственной логики достигается специальными условиями и дополнительными обозначениями. Это означает, что язык пространственной логики является расширяемым и различается для разных задач и классов.

На рис. 2 приведены топологически многозначные и топологически однозначные образы. Изображение на рис. 2, а называют «спагетти». Оно является многозначным и содержит информационную неопределенность.

Рис. 2. Топологически корректный (б) и топологически некорректный (а) пространственный образ

Ситуация, показанная, на рис. 2, а, характерна для автоматизированной векторизации растровых изображений карт. На рис. 2, а не ясно: пересекаются линии или проходят одна над другой? Является ли ошибкой вынос горизонтальных линий за пределы вертикальной линии? Эта неопределенность может быть нарушением компле-ментарности [9] реальных образов и нарушением топологических информационных соответствий между моделью и реальным объектом. Рис. 2, б характеризует устранение информационной неопределенности и устранение многозначности.

Для устранения неоднозначности введены дополнительные графические обозначения (графические информационные единицы). Для обозначения пересечений введены точечные обозначения. Наличие точки означает наличие пересечения (логическое да) отсутствие точки означает отсутствие пересечения линий (логическое нет).

На основе дополнительной семантической информации (путем визуального сравнения с картой) установлено, что концы горизонтальных линий не должны выходить за переделы вертикальной линии. Произведена коррекция на этой основе. Таким образ ом, топологическая логика в геоинформатике отличается от топологической логики в топологии большим количеством графических обозначений и применением семантической информации для устранения неопреде ленности и множественности значений. Топологическая модель в геоинформатике не существует самостоятельно, а отражает свойства пространственного объекта, которые средствами обычной топологии не выразимы. Поэтому топологическая логика в геоинформатике является расширенной по отношению к топологическим моделям.

В отдельных случаях топологическим описаниям могут ставится в соответствие логические выражения. Такая ситуация характерна для алгоритмов. Например, ориентированная дуга соответствует импликации. Пересечение соответствует конъюнкции. Топологическая инвариантность соответствует эквивалентности или тавтологии. В геоинформатике топологическая модель может отображать пространственную модель, например, дороги. В геоинформатике т о пологическая модель может отображать дискретные или непрерывные потоки (логистика). Это позволяет строить геоинформационные топологические модели для анализа состояния транспортных сетей и анализа грузопотоков. Обычно топологическая пространственная схема отображает связи.

Теоретико-множественная логика. Т еоретико-множественная логика в геоинформатике также является пространственной логикой, особенно при работе с ареалами и линейными объектами. При этом она использует формализм теоретико-множественных отношений, что существенно упрощает анализ ареальных моделей и проверку их на логическую корректность построения.

Теоретико-множественная логика

использует теоретико-множественные

отношения как пространственные отношения [10] между объектами пространства и как логические отношения между моделями объект о в. В теоретико-множественных схемах отображают, в первую очередь, отношения, во вторую связи. Наиболее яркими моделями, иллюстрирующими

пространственную логику, являются диаграммы Эйлера-Вена.

Образная логика. Образная логика - это логика пространственных моделей, которым соответствуют некие реальности. Не все образные модели отражают физические объекты. Например, зона экологического загрязнения или зоны возможного затопления в зависимости от уровня воды являются пространственными моделями, но в реальности им может не соответствовать реальный видимый объект.

Модели образной логики включает элементарные модели - информационные единицы [11], которые служат основой построения сложных моделей и дают возможность сравнения моделей, а также проверку их корректности. Корректность моделей образной логики, в первую очередь, определяется корректностью их соответствия пространственным объектам. Примером пространственных информационных единиц являются условные знаки на картах и единицы языка пространственной агрегации [12, 13]. Образная логика применяется в геоинформатике, геодезии и картографии. Наиболее яркими разделами образной логики являются: обработка изображений, интерактивная обработка информации в ГИС, картографическая логика при построении карт.

Картографическая логика. Картографическая логика конструктивно сходна с топологией и геометрической логикой. Карта передает, в первую очередь, топологические отношения и во вторую очередь геометрические отношения. Она стоится на основе определенных картографических правил (аксиом) и стандартизованных информационных единиц - условных знаков. Однако картографическая логика пока не рассматривается как раздел пространственной логики. Начиная с 1908 года (логика карт) [14] по 2010 год (картографическая логика) [15] и по настоящее время под логикой карт понимают только правила построения карт и их чтения, но не говорят об языке логики. Логикой карт (но не картографической логикой) также называют [14] применение обычной логики для построения и анализа пространственных картографических

образов. В картографии введено понятие

яз ык карт [16] , н о в отрыве от картографической логики. Поэтому картографическая логика до настоящего времени не сформирована как целостное направление, органически входящее в пространственную логику.

Наиболее близкой к пространственной логике и к картографической логике является работа А.А. Лютого «язык карт» [15]. Лютый рассматривает язык карт как средство системного описания картографических произведений. Он рассматривает географические карты как систематизированную совокупность графических образов и пространственных моделей. Он допускает т в о р ч е ское начало при создании картограф ической композиции. Но использование понятия «язык карты» позволяет сопоставлять различные картографические ситуации и выявлять множественность значений при построении карт. Эта множественность значений является характерной для всей пространственной логики. Она требует выявления ситуации и устранения ее по возможности. Пространственный язык карт дает воз можность анализа, сопоставления и выявления множественности значений или простр ан ственной неопределенности.

Еще в 1923 году Бертран Рассел трактовал природу пространственных образов как высокоинформативную модель: «Существует сложность в отношении языка как метода представления системы, а именно того, что слова, которые означают отношения, сами по себе не являются отношениями. Графический образ карты превосходит язык, поскольку тот факт, что одно место находится к западу от другого, представлен тем фактом, что соответствующее место на карте находится слева от другого, то есть фактическое отношение представлено пространственным отношением» [17]. Это соответствует современным концепциям пространственной логики.

Ошибки пространственной логики. Особенностью пространственных языков является множественность значений, которая может вызывать противоречивость интерпретации. Множественность при построениях образов приводит к возникновению логических ошибок. В свое работе Лютый выделяет только четыре типа характерных пространственных ошибок [5].

Следует отметь, что отмеченные ошибки характерны как для картографии, так и для образной логики.

К первому типу ошибок он относит ошибки «образное сходство-семантическое различие» Эти ошибки обусловлены применением образных знаков разных семиотических о типов, которые в процессе композиции приобретают одинаковые итоговые

образы. Пример показан на рис 3 [5].

Рис. 3. Двойственность интерпретации пространственного образа

Пространственная модель на рис. 3 может интерпретироваться двояко. Каждая точка может обозначать отдельный объект или точки могут отображать свойство ареала. Первая интерпретация образа на рис. 3 - множество точечных объектов на ареале, выделенном четырехугольником

Вторая интерпретация образа на рис. 3 ареал, на котором точками показано некое свойство, например, плотность населения или плотность электората при выборах по какой-то партии.

Ко второму типу пространственных логических ошибок Лютый относит ошибки некорректного размещения образов в поле картографического изображения. Эти ошибки приводят к появлению ложных знаковых композиций и ложных пространственных отношений. Иногда они приводят к эффектам «поглощения» одних знаков другими. К э т о й группе относятся ошибки смысловой неопределенности и дублирования информации. Третья группа ошибок по А.А. Лютому обусловлена ошибками в классификациях пространственных объектов. В четвертый тип ошибок он относит ошибки построения картографических шкал, когда из-за недостаточного количества градаций выпадает важное пространственное явление. Первые три типа ошибок характерны для образной логики в целом.

Язык пространственной агрегации, как язык пространственной логики. Разделом образной логики является логика искусственного интеллекта. Она используется при автоматизированном анализе частей пространственных объектов и их пространственных отношений. Наиболее известным языком такой логики является язык пространственной агрегации [11, 12]. Он используется при пространственном анализе и получении пространственных знаний. На рис. 4 приведены информационные единицы языка пространственной агрегации [11, 12].

© © @о

TPP TPP* NTPP NTPP* EQ

Рис. 4. Логические единицы пространственных отношений: DC - отсутствие взаимодействия; ЕС - взаимодействие общая граница; РО - частичное перекрытие; ТРР - тангенциально правильное взаимодействие; ТРР* - инверсное тангенциально взаимодействие; ЫТРР - объект внутренний не взаимодействует тангенциально с объектом внешним; ЫТРР * - объект внешний

На рис. 4 приведены интерпретации символов языка пространственной агрегации. Пояснение приводим слева направо.

Язык пространственной агрегации SAL позволяет пользователям изучать пространственные отношения: соседства, пересечения, эквивалентности. Этот язык

является типичным языком информатики [18]. Исходный набор SAL можно загрузить с сайта www.cs.purdue.edu/homes/cbk/sal.html ил и www.parc.com/zhao/sal.html. Более ш и р о к и й перечень логических единиц для выражения пространственных отношений дается в работе [4].

Задачами в пространственной логике являются задачи верификации, идентификации, построения и редактирования. Логика образов может быть интерпретирована как любые геометрические свойства пространственных объектов или пространственные отношения, определенные в разных областях: топологическая связанность областей, параллельность линий или, равно-удаленность двух точек от третьей.

Анализ состояния пространственной логики. В современном понимании пространственная логика близка к модальной логике и темпоральной логике [19]. Значительный вклад в развитие пространственной логики путем анализа геометрии и ее логики внес Тарский [20]. Тарский применил логику первого порядка с переменными, расположенными по точкам в плоскости, и с нелогическими предикатами, обозначающими два примитивных пространственных отношения: троичное отношение «между» и четвертичное отношение «равноудален-ности». Получившийся им язык был достаточен для описания евклидовой геометрии.

Отличительная черта современной логики и особенно пространственной логики -модельный подход [8]. Он в качестве основы использует разные отношения между пространственными моделями и объектами. В силу этого пространственная логика позволяет изучать отношения между геометрическими образами и реальными пространственными объектами.

Пространственная логика отличается от математической логики по трем основным отличиям. Первое касается качественно разных наборов геометрических объектов, которые требуют разной логики и разной интерпретации: точки, линии, ареалы разных видов, поверхности, объемные тела. Второе принципиальное отличие касается выбора качественно разных базовых единиц описания, базовых отношений и операций над этими объектами. В этом отличие качественно различаются информационные единицы. В математической логике они только формальные. А в пространственной логике используют формальные и семантические информационные единицы. Третье принципиальное отличие касается чисто введения неопределенности и модальности в

логические пространственные описания. Например, ситуация объект А ближе к объекту В, чем объект Б относится к области вероятностной логики и качественным рассуждениям.

Основой преобразований в математиче-с к о й л о гике являются тавтологии и эквивалентности. Инвариантность в пространственной логике - это полный аналог эквивалентности или тавтологии в математической логике. Примером являются топологические инварианты. При этом многие отношения инвариантности могут точно соотв етствовать логике первого порядка.

Главная проблема пространственной логики «генерализация - детализация» или «простота - сложность». Анализ сложности пространственных логических моделей обычно фокусируется на двух проблемах: проверка модели (определение того, является ли данная модель истинной в интерпретации соответствующего ей объекта) и проверка выполнимости данной модели вычислительными средствами. Часто попытка изобразить пространственную модель на рис. 7 словами обречена на неудачу по когнитивным и лингвистическим факторам, то есть эта задача неразрешима.

Большинство пространственных логик в ы ш е п е рвого порядка, содержат противоречия и приводят к неразрешимым задачам ото б р ажения пространственных образов. Примером разрешимых логик являются пространственные логики, интерпретируемые по регулярным топологическим моделям. Язык этих логик включает в себя только булевы связки (без кванторов), простр анственные информационные единицы (примитивы) и представляют различные топологические отношения и функции.

Пространственная логика и в настоящее время содержит ряд проблем, которые считаются еще не полностью понятными [1]. О бщая методология в логическом пространственном обобщении состоит в том, чтобы найт и в ыразительные пространственные модели, которые логически анализируемы. Обычные методы анализа, которые работают с простыми моделями, часто оказываются бессильными, когда сталкиваются с языками, интерпретируемыми по определенны м структурам, как это обычно имеет место в пространственной логике.

При выразительности интерпретации следует отметить преимущества и эффективность пространственной логики. Анализ схем образного представления и интерпретации представляет собой растущую область исследований, которая выдает полезные приложения в таких областях, как пространственные знания и визуальное программирование. Однако применяемый формальный анализ образных представлений не всегда учитывает способы использования пространственных отношений в таком представлении.

Графические представления в пространственной логике, в отличие от аппарата математической логики, имеют ресурсы для выражения различных видов реальной неопределенности. Основное различие между графической и лингвистической системами заключается в использовании отношений. Пространственные модели используют пространственные отношения для прямого их представления предметной области. В лингвистических системах слова используются для косвенного представления отношений и могут интерпретироваться по разному, в зависимости от интеллекта интерпретатора.

Заключение. Современная пространственная логика широко применяется в геоинформатике, но в плане теории находится в состоянии развития. Пространственная логика гетерогенна и содержит специальные пространственные логики. Общей концепцией, которую можно принять для всех пространственных логик, является концепция языка. Частная пространственная логика должна иметь свой логический язык. Отсутствие языка не дает основание говорить о логике. Важной концепцией, которая применяется, но слабо описывается, это концепция информационных единиц как логических информационных единиц и как алфавита языка. Любой язык имеет алфавит, который образуют его информационные единицы. В математической логике такими единицами являются логические связки. В пространственных рассуждениях таким языком является язык пространственной агрегации. Теоретико-множественная логика в геоинформатике отражает отношения и хорошо подходит для работы с ареальными

объектами. Топологическая логика в геоинформатике отражает линейные объекты и хорошо подходит для работы с ними, включая потоки. Эти логики дополняют друг друга при работе с разными объектами геоинформатики. Высокая эф фективность пространственной логики состоит в множественности семантического содержания, в то время как математическая логика значительно беднее. Эффективность пространственной логики заключается в возможности средствами графики выражать множество пространственных отношений. Но это и порождает противоречие между боль шой выразительностью и сложностью ее моделирования. Пока она решается при влечением человеческого интеллекта. В целом это направление еще ждет своего развития и теоретического обобщения.

Литература

образования. 2016. №5. С. 7-10.

Контактные данные:

Цветков Виктор Яковлевич, эл. почта: cvj2@maii.ru

© Цветков В.Я., 2020

SPA TIAL LOGIC IN GEOINFORMA TICS

V.Ya. Tsvetkov*

Center for strategic analysis and development, Research and Design Institute of design information, automation and communication on railway transport, Moscow, Russia

*E-mail: cvj2@mail.ru

Abstract. The article explores the phenomenon of spatial logic in geoinformatics. Spatial logic is considered a means of geoinformation modeling and obtaining new knowledge. The connection of spatial logic with binary and ternary is shown. The similarities and differences between these types of logics are shown. The article reveals the content of the types of spatial logics in geoinformatics. The article describes the types of spatial logic: geometric logic, topological logic, set-theoretic logic, figurative logic. Error analysis of figurative logic is given by the example of a map language. Spatial logic is closer to modal logic than to first-order logic. The language of spatial logic, in contrast to the language of mathematical logic, is ambiguous and may contain contradictions or information uncertainty. However, this serves as a description of real contradictions, which mathematical logic does not provide. Spatial logic efficiency factors and its problems are shown. Spatial logic is generally an analysis tool in geoinformatics and serves as the basis for knowledge acquisition.

References

Contacts:

Victor Ya. Tsvetkov, cvj2@maii.ru

© Tsvetkov, V. Ya., 2020

Цветков В.Я. Пространственная логика в геоинформатике // Вектор ГеоНаук. 2020. Т.3. №2. С. 91-100. DOI: 10.24411/2619-0761-2020-10024.

Tsvetkov, V.Ya., 2020. Spatial logic in geoinformatics. Vector of Geosciences. 3(2). Pp. 91-100. DOI: 10.24411/2619-0761-2020-10024.