Спросить
Войти
А.Г. Масловская, Т.К. Барабаш, А.И. Бурдина
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ТОКОВ ПЕРЕПОЛЯРИЗАЦИИ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ С САМОПОДОБНОЙ СТРУКТУРОЙ
The article considers the using of the wavelet transform maxima modules method (WTMM) to the multifractal analysis of time series. The modification WTMM method is presented. Algorithm is realized providing Matlab programming. Application of WTMM method to investigation of scaling characteristics of polarization switching processes in ferroelectrics is also proposed.
Введение
В настоящее время в различных областях знаний все чаще возникают задачи, связанные с анализом временных сигналов, обладающих меняющимся со временем спектральным составом. Центральная идея подходов к решению таких задач - использование базиса, каждая функция которого характеризует как определенную временную частоту, так и место ее локализации во времени.
Все информационные процессы, представляющие интерес для изучения, являются по своей природе нестационарными, анализ их, как правило, заключается в исследовании изменения частотно-временных характеристик сигнала. Примерами таких сигналов могут служить акустические сигналы сердца, динамика артериального давления, сейсмологические и климатические процессы, динамика жидкости и турбулентности, потоки космических лучей, процесс множественного рождения частиц, изменение давление в компрессоре авиационного двигателя т.д.
До недавнего времени ведущую роль в анализе нестационарных процессов играло преобразование Фурье. Однако ситуация изменилась с появлением работ, описывающих вейвлет-преобразования и их применение [1].
Термин «вейвлет» ввели Гроссман и Морле в 1984 г. в своей работе [2], посвященной проблеме анализа сейсмических сигналов, в которых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигнале, и его спектральный состав (масштаб). Сейчас семейство анализаторов, названных вейвлетами, широко применяется в задачах анализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки и дешифровки информации и др. [3].
Популярность анализа различных процессов методами на основе вейвлет-преобразования обусловливается тем, что в отличие от преобразований Фурье, которые отражают только частотные характеристики исследуемого сигнала, вейвлет-преобразования позволяют описывать частотно-временные свойства, играя роль «математического микроскопа» [3].
Естественное представление природных наблюдений сводится к временным рядам, анализ которых позволяет представить эволюцию сложных систем (процессов). Исследование временных рядов сводится к анализу самоподобных стохастических процессов, которые представляются мультифрактальными множествами.
Понятие фрактала является геометрическим и характеризует не регулярный, но самоподобный объект, описывающийся целочисленной размерностью. Однако не только геометрические формы объектов могут иметь фрактальное строение, временные характеристики процессов и явлений, протекающих в средах с самоподобной структурой, также обнаруживают фрактальное поведение [4].
Некоторые фракталы на самом деле - мультифракталы, представляющие собой неоднородные фрактальные объекты. Мультифракталы обладают не только геометрическими, но и статистическими свойствами, и для их характеристики требуется уже не одна, а целый спектр фрактальных размерностей.
Например, ряд авторов [5-6] отмечает, что доменная конфигурация сегнетоэлектриков в процессе переключения поляризации проявляет фрактальный характер и динамические показатели данного процесса обнаруживают фрактальное поведение. Такое явление обусловлено сложными механизмами движения доменных стенок, стохастичностью процесса, присутствием эффектов памяти системы и свойств анизотропии реальных кристаллов и др. Теоретический анализ законов, лежащих в основе поведения математических моделей процессов переполяризации сегнетоэлектриков, дает возможность предположить наличие мультифрактальных свойств изучаемых объектов.
Методы вейвлетного анализа успешно применяются для исследования мультифрактальных свойств сигналов. В частности к ним относится метод максимум модулей вейвлет-преобразования, предложенный в 1990-х гг. Мьюзи, Бакри и Арнеодо [1].
В этой работе рассматривается возможность применения вейвлет-преобразования для мультифрактального анализа сложных сигналов на примере прикладной задачи: расчет фрактальных характеристик процесса переполяризации сегнетоэлектриков с самоподобной доменной структурой по данным временных зависимостей токов переключения поляризации.
Вейвлет-преобразование нестационарных сигналов
Вейвлет-преобразование - это разложение сигнала по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную или временную частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве или времени. В то время как, например, преобразование Фурье допускает только частотную локализацию [7].
Для сравнения на рис. 1 показана локализация в частотно-временном пространстве преобразований с другими анализирующими функциями: преобразования Фурье и преобразования Шеннона. Из рисунка видно, что преобразование Фурье хорошо локализует частоту, но без временного разрешения; преобразование Шеннона не обладает частотной локализацией; вейвлет-преобразование имеет подвижное окно, локализованное около выбранного момента времени и расширяющееся с ростом масштаба, что и является наиболее желательным при получении спектральной информации [3].
а б в
Рис. 1. Частотно-временная локализация преобразований с разными анализаторами:
(а) вейвлеты, (б) гармоники Фурье, (в) функции Шеннона. Приведем математическое определение вейвлета: любая локализованная Я-функция уе 1^(К) называется Я-вейвлетом (или просто вейвлетом), если для нее существует функция
г2/пч / ~ ч ~ )... I !._*
y/ î 1} (R) (ее пара, двойник) такая, что семейства \\yJk } и y к (t) = 2j/2y(2 jt - к )
yy*k }, построенные согласно
y (t ) = 2j/2y*(2 jt - к )
где j, к - целые числа ( j, к î I ), являются парными базисами функционального пространства
Характерным признаком базиса вейвлет-преобразования является его самоподобие. Все вейвлеты данного семейства имеют то же число осцилляций, что и базисный вейвлет, поскольку получены из него посредствам масштабных преобразований и сдвигов. Благодаря этому вейвлет-преобразование с успехом применяется для анализа фрактальных сигналов.
Так как каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве, выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала.
На рис. 2 показаны наиболее часто используемые вейвлеты «Мексиканская шляпа» (MHAT-вейвлет) и вейвлет Морле. MHAT-вейвлет, имеющий узкий энергетический спектр и два равных нулю момента, хорошо приспособлен для анализа сложных сигналов. На основе хорошо локализованного вейвлете Морле строится наиболее часто используемый комплексный базис вейвлет-преобразования [3].
Рис. 2. Вейвлеты «Мексиканская шляпа» (а), Морле (б).
Использование вейвлет-анализа для оценки мультифрактальных свойств сигналов
Использование вейвлет-преобразования для оценки свойств сложного скейлинга в средах с конденсированными самоорганизованными структурами традиционно основано на методе максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования (ММВП).
Алгоритм ММВП предполагает исследование нерегулярного поведения функции х(0 в два
Ж (а, Ь) = - ?у(—1 х(1 )Л , (1)
а - V а )
этапа [1]. На первом этапе осуществляется вейвлет-преобразование по формуле
- 1а V а
где а представляет собой параметр масштаба; Ь - момент времени; у - солиноподобную функцию (вейвлет), обладающую определенными свойствами и сконструированную, например, на основе производных функции Гаусса
Эх"
При изучении локальных сингулярностей функции х(0 обычно рассматривают т =1 ^ауе-вейвлет) или т = 2 (тИа1>вейвлет). Более высокие производные применяются редко [1]. Выбор базисной функции определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из х(^). Необходимым условием является то, что выбранный вейвлет должен быть не менее гладким, чем сам анализируемый сигнал.
Результат вейвлет-преобразования можно интерпретировать как поверхность в трехмерном пространстве. Наиболее важная информация о ней содержится в скелетоне или линиях локальных экстремумов поверхности коэффициентов Ж(а,Ь), поиск которых проводится на каждом масштабе а.
Первый шаг алгоритма ММВП заканчивается выделением скелетона. Анализ выделенных линий локальных экстремумов или локальных максимумов модулей вейвлет-преобразования позволяет вычислять гельдеровские экспоненты и анализировать сингулярности функции х(^). Однако такой подход является неточным - при увеличении масштаба сказывается влияние соседних нерегулярностей, что приводит к различным ошибкам. В теории мультифракталов предпочитают проводить расчеты на основе так называемых частичных функций 2(д,а), позволяющих получать более надежные оценки вычисляемых характеристик. Поэтому второй шаг метода ММВП состоит в построении частичных функций по формуле [1]
т.е. выбирается максимальное значение модуля коэффициентов вейвлет-преобразования вдоль каждой линии на масштабах, меньших заданного значения а. Для мультифрактальных сигналов справедливо следующее:
Ж(д, а) - аТ(д), (3)
где величину т(д), определяемую для некоторого значения д путем вычисления наклона 1п 2(д, а) от 1п а, называют скейлинговой экспонентной. Вариация параметра деформации д при построении частичных функций позволяет получить линейную зависимость т(д) для монофрактальных
объектов (H = dt/dq = const) и нелинейную зависимость t(q) = qa-f(a) с большим числом гельдеровских экспонент H = dt/dq Ф const в случае мультифракталов.
Взаимосвязь между основными величинами, рассматриваемыми в рамках алгоритма ММВП, определяется преобразованием Лежандра [8] dt
/ (а) = qa-т(q(a)).
Частичные функции Z(q, а) при q < 0 характеризуют особенности скейлинга для малых флуктуаций, а при q > 0 - для больших [1].
Программная реализация мультифрактального вейвлет-анализа сигналов
В рамках данного исследования разработано программное приложение в ППП Ма1;1аЬ, реализующее метод ММВП для анализа нестационарных сигналов. Верификация результатов работы программного приложения была проведена на тест-примере анализа модельного сигнала, построенного на основе функции Вейерштрасса [9]
x(t) = л/2 -а [l - b2D-4]2 - £b(D-2)n cos(2p - s - bnt + yn)
-nf-т1 - b(2D-4)(N+1) I
с параметрами а=0.25, 6=1.35, В = 1.3 + 0.38ш(2р-к), 5=0.005, N=10, г = Аг-к, М = 1, где а -стандартное отклонение; Ь, 5 - параметры пространственно-частотного масштабирования; В -фрактальная размерность (набор мультифракталов); N+1 - количество гармоник; уп - фаза, распределенная случайным образом на интервале [0,2р]; г - время.
Результат работы программы показан на рис. 3.
картина вейвлет-коэффициентов
Рис. 3. Исходный сигнал, заданный функцией Вейерштрасса (а), картина вейвлет-коэффициентов (б), линии локальных экстремумов поверхности коэффициентов: минимумов (светлые кружки) и максимумов (темные кружки) (в).
На рис. 4 представлен спектр сингулярностей модельного сигнала f(а). Отметим, что максимум спектральной кривой соответствует параметру Херста Н (И = 2-^).
Рис. 4. Спектр сингулярностей модельного сигнала, заданного функцией Вейерштрасса с
размерностью D = 1.3 + 0.38т(2р • k).
Оценка мультифрактальных характеристик токов переключения поляризации сегнетоэлектриков методом вейвлет-преобразования
Исследования процессов перестройки доменной структуры и движения доменных границ, а также кинетики переключения поляризации сегнетоэлектриков показывают, что доменная конфигурация, как результат образования самоподобных структур, обнаруживает фрактальные закономерности поведения [5-6].
На рис. 5 представлена временная зависимость тока сканирования поверхности кристалла ЫКЬ03 при записи потенциального рельефа иглообразным электродом. Потенциал иглообразного электрода составляет 0.6 кУ (по данным литературного источника [10]).
Рис. 5. Временная зависимость тока сканирования поверхности кристалла Ы№03 при записи потенциального рельефа [10].
Анализ данной временной зависимости был проведен методом ММВП посредствам разработанного программного приложения. Запрограммированный алгоритм реализуется в два шага. На первом шаге осуществляется вейвлет-преобразование по формуле (1), результатом которого является двумерный массив амплитуд вейвлет-преобразования - значений коэффициентов Ж(а,Ь) (рис. 6). В качестве материнского вейвлета для обработки сигнала был использован один из наиболее подходящих - вейвлет «мексиканская шляпа» (шЬа1;).
поверхность коэффициентов вейвлет-преобразования
Рис. 6. Поверхность коэффициентов вейвлет-преобразования.
Картина вейвлет-коэффициентов (рис. 7) наглядно показывает иерархическую структуру флуктуаций сигнала. Появление в распределении коэффициентов характерных «вилочек» (раздвоение локальных максимумов) демонстрирует дробление масштаба. Такая особенность обусловлена тем, что исследуемый сигнал обладает свойствами самоподобия [9].
картина вейвлет-коэффициентов
Рис. 7. Картина вейвлет-коэффициентов.
Согласно алгоритму, на втором шаге выделяются линии локальных экстремумов. Далее вычисляют частичные функции Z(д, а) по формуле (2), позволяющие получить более надежные оценки вычисляемых характеристик, и строится зависимость скейлинговой экспоненты т от параметра деформации д с учетом (3) (рис. 8 а). Система (4) позволяет рассчитать спектральные характеристики исследуемого процесса. На рис. 8 б показана зависимость /(а), дающая информацию о мультифрактальных свойствах тока переключения поляризации.
Q.6 Q.5 Q.4 Q.3 G.2 Q.1 G
Рис. 8. Мультифрактальные характеристики анализируемого сигнала: а - скейлинговая экспонента, б - спектр фрактальных размерностей.
Абсцисса максимума спектральной кривой соответствует параметру Херста h » 0,3 . Так как монофрактал имеет узкий спектр фрактальных размерностей, а мультифрактал характеризуется уширением данного спектра, множество I(t) является мультифракталом с шириной спектра Da» 0.4. Полученный методом ММВП спектр f (a) (рис. 8 б) согласуется с результатом, полученным методом мультифрактального флуктуационного анализа [4]. Анализ полученных результатов свидетельствует в пользу предположения о проявлении свойств самоорганизованного движения доменных границ в процессе переключения поляризации сегнетоэлектрических кристаллов.
Таким образом, метод максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования дает возможность оценить мультифрактальные свойства динамических данных, характеризующих состояние физических систем. Применение метода ММВП к мультифрактальному анализу токов переключения поляризации сегнетоэлектриков с самоподобной структурой позволяет рассчитать фрактальные характеристики процесса переполяризации.
S. Божокин С.В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: РХД, 2GG1.
