Спросить
Войти
HISTORY OF SCIENCE
Пятый элемент в математике
В. Н. Толстых
Поверил я алгеброй гармонию «Моцарт и Сальери» А.С. Пушкин
Музыка - это нечто такое, что о чем-то нам говорит известным или неизвестным через последовательность звуков разных тонов. Мы её слушаем так же внимательно, как наши далекие предки завороженно следили за движением облаков, за игрой пламени костра, или за монотонным пением очередного незнакомца, рассказывающим увлекательную историю о еще более древних славных временах. Мы можем предугадать заранее каждый пассаж в каждом музыкальном произведении, неважно слышали ли мы его ранее или нет - в этом нам поможет гармония. Гармония относится к современной математике, к сути человеческого интеллекта, который так стремится обзавестись еще и интеллектом искусственным.
Fifth Element in Math
Victor N. Tolstykh
Music, it is a mysterious stuff that tells us about something either known or unknown by a series of short sounds with different frequencies. We listen it as attentively as a long-long time ago our ancestors were watching clouds on the sky, flame of the fire, or were listening monotonous singing of the next stranger, who tells a fascinated story about ancient glorious times. We know in advance what will happen next in each music product, even in each part of it - the harmony tells it to us. This is a part of modern math: pattern recognition, behavior prediction - this is a core of our natural intelligence, which we are so eager want to supply with an artificial one.
Знаменитую фразу Пушкина (1830 год) о поверке гармонии алгеброй часто цитируют, причем как нечто абсурдное, очевидно не вяжущееся одно с другим. При чем тут алгебра? Почему не математика? А ещё почему нот всего семь и зачем к ним ещё пять полутонов? Что об этом говорит наука?
Слово «математика» происходит от древнегреческого «матема»- учение, знания, полученные через размышления. Древние греки знали 4 «матемы» (квадриум):
• учение о числах(арифметика)
• учение о фигурах и измерениях
• теория музыки(гармония)
• астрономия и астрология [8].
Алгебра как наука родилась в трудах грека Диофанта (III век н. э.), но название своё получила позже в IX веке, когда Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми опубликовал труд под названием «Краткая книга об исчислении аль-джебры и аль-мукабалы». В ней речь шла о приемах
решения уравнений, которые мы сейчас называем алгебраическими. Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джебра» - с трудом воспринимаемый в старину прием перенесения слагаемого в другую часть уравнения с изменением знака. В XVI веке алгебра получила развитие в трудах Франсуа Виетта. А во времена Пушкина она, после долгого перерыва получила бурный толчок развития - появились комплексные числа, матрицы, множества, кватернионы и др. [1]. Видимо, алгебра была в большой моде в пушкинские времена, отсюда и «алгебра» у Сальери - поэт всего лишь следовал моде. Вместе с тем, поскольку музыка с давних времен относилась к квадриуму математики, то тут, то там возникали попытки сделать её более математикой чем искусством. С переменным успехом. В настоящее время музыку как науку и уж тем более как математику не воспринимают вовсе - сейчас это чистое искусство, гармония. Немного роднит музыку с наукой строгость её записи с помощью нот. Это почти математическая запись, не хватает только теорем, лемм и доказательств. Наиболее ярким было из запечатленных в истории вторжение в музыкальную теорию великого математика и механика Леонарда Эйлера, который оставил весомый вклад во всех науках, которых касался. Во всех, за исключением музыки -здесь история засчитала ему поражение. Впрочем, об этом позже. Сейчас важнее разобраться в том почему эта древнейшая составляющая квадриума не далась не только гению Эйлера, но и науке в целом.
Говорят, что математика - это тот язык, на котором природа разговаривает с человеком (фразу приписывают Галилею, хотя есть вариант и от Платона). Любители музыки вряд ли станут отрицать, что музыка о чем-то говорит, что в музыке явственно присутствует какая-то информация. У нас это происходит на уровне чувств, но не на уровне разума - мы чувствуем! Хочется понять, о чем говорят звуки музыки, но не очень получается -теории как не было, так и нет. Также как нет и словаря, переводящего музыку в слова. Если подойти чисто формально, то утверждение о наличие информации можно сформулировать, к примеру, таким образом: «всякое музыкальное произведение содержит информацию». И, далее, воспользовавшись определением информации по Шеннону [12], проверить это утверждение на любом количестве музыкальных произведений. Можно не сомневаться, что информации не будет только в абсолютно хаотическом наборе звуков. Это очевидно, но это не теорема, и не доказательство.
Количество информации по Шеннону [8]
связывает частотное распределение сигналов р на заданном отрезке из N сигналов. Если N - это общее количество нот, включая их длительности, то pi указывает на то сколько раз нота под номером г появилась в произведении. Чем большее порядка в следовании нот, тем больше значение меры информации I.
Все помнят со школьных уроков, что нот всего семь: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Вместе с полутоновыми диезами (бемолями) их двенадцать. А ещё есть октавы, уходящие вниз и вверх, есть длительности, паузы, терции, кварты... и много чего ещё. Современная музыка сложна, и люди издревле задавались вопросом, почему одна комбинация звуков вызывает раздражение, а другая зачаровывает? Что в музыке есть такого, загадочного что ли, что доступно для понимания только богам? И почему в октаве только двенадцать нот, а не одиннадцать и не тринадцать? Ученые, разумеется, не могли остаться в стороне от все этих и подобных им вопросов.
Начнем с того, что названия нот придуманы монахом Гвидо из итальянского города Ареццо [6]. Они взяты из первых слогов гимна Иоанну Крестителю:
Ut — Ut queant laxis Re — resonare fibris, Mi — Mira gestorum Fa — famuli tuorum, Sol — Solve polluti La — labii reatum, Sancte Ioannes.
В те времена (начало второго тысячелетия) музыка в Европе, видимо, была чем-то совершенно иным чем сейчас. В частности, этот гимн исполнялся монотонно -в одном тоне на каждую строчку с постепенным повышением тона. Строк в тексте всего семь, но нот у Гвидо почему-то было только шесть. Седьмую ноту «си» добавили позднее (от Sancte Ioannes), а заодно первую ноту из соображений благозвучности заменили на «до». А потом ноты вообще получили новые имена:
Do — Dominus — Господь; Re — rerum — материя; Mi — miraculum — чудо;
Fa — familias planetarium — семья планет, т. е.
солнечная система;
Sol — solis — Солнце;
La — lactea via — Млечный путь;
Si — siderae — небеса.
История не развивается линейно. К примеру, в древней Греции музыка была куда более развита чем полтора тысячелетия спустя в Европе. Само слово «музыка» - древнегреческое. Искусство муз. Музыкальных инструментов в те времена было множество, и нередко инструменту сопутствовал миф. Так, «Аполлон играл на кифаре, и кифара считалась самым благородным из инструментов. Нимфа Сиринга превратилась в тростник, спасаясь от бога Пана, и безутешный Пан изготовил из тростника флейту-сирингу. Авлос изобрела Афина, но бросила его, потому что игра на авлосе требовала некрасивого раздувания щёк; авлос подобрал сатир Марсий.
Были у греков и ударные инструменты: тимпаны и кимвалы. А в третьем веке до нашей эры появился и первый клавишный инструмент — орган-гидравлос» [5].
Большое развитие музыка получила в Древнем Риме - наследнике древнегреческой цивилизации. «Музыка сопровождала танцы, театральные представления, спортивные состязания, музыкальные состязания. В храмах священнодействия сопровождались пением хоров и игрой на музыкальных инструментах. На празднествах и пирах, в цирках и театрах выступали громадные хоровые и инструментальные ансамбли; римская знать считала хорошим тоном обучать музыке своих детей и содержать большие оркестры из рабов; огромным успехом пользовались сольные концерты виртуозов, совершавших «турнэ» по крупным городам» [5]. В шестом веке нашей эры (536 год от РХ) в Европе наступают «темные века» - цивилизация буквально откатывается назад. Современная наука связывает это с извержением супервулкана Илопанго в Сальвадоре, который надолго лишил планету, и особенно Европу, лета. Поэтому, не следует удивляться тому, что изобретение нот средневековым монахом в начале второго тысячелетия считается едва ли не началом музыкальной теории - как будто до этого ничего не было. Было, много чего было - и в древнем Шумере, и в Вавилоне, и древнем Египте, и на арабском Востоке. Развитие и усложнение музыки, её подсознательная связь с каким-то неведомым, но явственно ощущаемым порядком привела к тому, что вместе с развитием пришедшей с Востока алгебры, предпринимались многочисленные попытки привязать музыку к математике. В том числе и к алгебре.
Леонард Эйлер не был музыкантом, но загадка гармонии не оставила его без внимания - к ней он обращался многократно. Видимо, наиболее значимым трудом в этом направлении следует считать его работу «Диссертация о звуке» (1727 год, к тому времени первый том «хорошо темперированного клавира» Иоганна Себастиана Баха уже был 15 лет как написан). Также следует упомянуть его «Трактат о музыке», «Семь глав теории музыки», «Опыт новой теории музыки», «Очерк о смысле некоторых диссонансов», «Об истинном характере современной музыки», напечатанным в Берлине, и «Об истинных основаниях гармонии». Его труды по математике, механике, астрономии известны и не вызывают критики. Его попытка создать теорию музыки не столь известна и натыкается на критику, во многом справедливую. Но, Эйлер много чего не знал из того, что теперь знаем мы. Да и мы сейчас через триста лет далеки от финального результата. «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков» - писал Эйлер. Эйлеровская концепция теории музыки зиждется на рационалистическом понимании благозвучия как результата упорядоченности музыки, причем оптимальными считались «разумно простые» отношения между ее элементами. Ведущее понятие эйлеровского трактата — «степень благозвучия» существовало как эстетическая категория в литературе о музыке по меньшей мере с середины XVII в. Однако Эйлер вложил в этот термин более конкретное музыкально-теоретическое содержание, понимая в то же время благозвучие и как мерило воплощения в музыке универсального принципа гармонии, и как фоническую характеристику различных элементов звуковысотной структуры и звуковысотной организации в целом. Эйлер не дал четкого определения этого понятия, и содержание его можно установить лишь исходя из контекста. Отсутствие авторского определения привело к тому, что в данное понятие критиками нередко вкладывался совсем не тот смысл, какой предполагался Эйлером. Однако, авторитет Эйлера был очень высок и тон дискуссии он задал [7].
У гитары есть лады, у рояля есть клавиши, которые однозначно определяют набор тонов. Вместе с тем, к примеру, у скрипки нет этого жесткого деления - на ней
можно извлечь тон произвольной высоты в разумных пределах. И, следует отметить, что музыканты прошлого при игре скорее ориентировались на благозвучность, чем на математическую строгость нот. Как это ни парадоксально звучит, но у деления октавы на семь или 12 частей не столь логическое обоснование, сколь дело случая. Или удачи. Ну, повезло, что целые числа так расположены. Еще на заре цивилизации люди заметили, что с приятностью для слуха сочетаются только звуки с определенным соотношением частот. «Для слуха древних европейцев, например, наиболее благозвучными оказались сочетания звуков, частоты которых относятся друг к другу как 4:5 или 5:6. Древние европейские музыканты старались настроить свои инструменты так, чтобы все звуки, издаваемые ими, находились в "приятном" соотношении 4:5:6. В результате их инструменты оказывались настроенными таким образом, что между двумя соседними "одинаковыми нотами" (то есть такими, частоты которых отличаются в два раза) оказывалось 6 звуков, образующих трезвучия. Строго говоря, абсолютные значения частот не так и важны - в мире буквально единицы людей, которые могут определять на слух частоту звука. Важно, чтобы соблюдалось их правильное соотношение - 4:5:6. Мы могли бы, например, взять за основу и звук с частотой 450 Гц - результат был бы тот же самый. Но, в настоящее время музыканты как бы условились, что частота ноты «ля» первой октавы именно 440 Гц, - ведь им надо настраивать свои инструменты так, чтобы они звучали согласованно. Этих звуков, или нот, как мы будем теперь называть их, европейским музыкантам древности вполне хватало, чтобы воспроизвести любую мелодию. Однако есть одна загвоздка. Если мы посмотрим внимательно на нашу последовательность нот, то обнаружим одну закономерность: ноты, расположенные через одну, имеют как раз то самое "приятное" соотношение 4:5:6, а частоты нот, расположенных рядом с ними, относятся друг к дружке как 8/9, 9/10 либо как 15/16. Сочетание частот звуков 8/9 и 9/10
воспринимается человеком примерно одинаково и заметно отличается от восприятия сочетания 15/16. Условимся называть сочетание 8/9 и 9/10 тоном, а сочетание 15/16 полутоном» [1; 5].
Разрешение этой головоломки приписывают легендарному древнегреческому ученому Пифагору, которому первому пришла в голову мысль «поверить алгеброй гармонию» и на научной основе исправить звукоряд, найденный опытным путем. Именно Пифагор первым заметил, что если отношение частот двух соседних нот всегда отличается, то отношение частот двух нот, отстоящих друг от дружки на четыре позиции, наоборот, всегда строго постоянно и составляет 3/2. Такое созвучие музыканты называют квинтой. Взяв квинту за основу, Пифагор вывел свою знаменитую музыкальную формулу /(и) = (3/2)™/ , где / - частота базовой ноты, от которой ведется отсчет, п - порядковый номер ноты, частоту которой надо найти, / (п) - искомое значение. В результате решения этого уравнения получается последовательность 13 звуков, отстоящих друг от друга на квинту и перекрывающих весь музыкальный диапазон. В этом ряду есть все ноты звукоряда. Обычно он представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например, так (цепь из 6 квинт от звука «фа»):
Р - С, С - Э - Э, Э - А, А - Е, Е - Н.
Равномерно темперированный строй можно отобразить в виде значений интервалов в центах:
Тон С1 с* ЕЬ Е F С А в н сг
Цент 0 100 200 300 400 500 600 700 аоо 900 1000 1100 1200
Рис. 1. Равномерно темперированный строй
Следующая таблица показывает количественные отличия интервалов равномерного темперированного ряда от натуральных интервалов:
Интервалы Равномерно темперированные интервалы Натуральные интервалы Разница в центах
Прима \\/¥ = 1 = 0 центов у = 1 = 0 центов 0
Мала« секунда тУ? = 1,059463 = 100 центов 16 — =5 1,066667 и 111,73 центов -11,73
Большая секунда = га 1,122462 = 200 центов 9 - = 1,125 га 203,91 центов 8 -3,91
Малая терция = № га 1,189207 = 300 центов 6 - = 1,2 га 315,64 центов -15,64
Большая терция = 1,259921 = 400 центов 5 - = 1,25 га 386,31 центов 4 13.69
Кварта = га 1,334840 = 500 центов 4 - га 1,333333 га 498,04 центов 1.96
Тритон = 1,414214 = 600 центов 45 — га 1,406250 га 590,22 центов 9,78
Квинта ¡У? = 1Ут га 1,498307 = 700 центов 3 - = 1,5 га 701,96 центов 2 -1,96
Малая секста ^г1 = УЯ га 1,587401 = 800 центов 8 - = 1,6 га 813,69 центов -13,69
Большая секста = а 1,681793 = 900 центов 5 - га 1,666667 а 884,36 центов 15.64
Малая селгима = 1,781797 = 1000 центов га 1,777778 га 996,09 центов 3.91
Большая селтима у^ = га 1,887749 = 1100 центов = 1,875 га 1088,27 центов 8 11,73
Октава = 2= 1200 центов 16 — - 2 - 1200 центов 0
Рис.2. Количественные отличия интервалов равномерного темперированного ряда от натуральных интервалов
Натуральный строй [4] основан на делении струны на простые числа - именно совместные колебания струн с целой кратностью вызывают ощущения консонантно-сти. Любители гитары знают это явление как флажолеты - приём игры на струнных смычковых и щипковых инструментах, заключающийся в извлечении звука-обертона. Струна не полностью прижимается к ладу, в результате чего возникает звук, отдаленно напоминающий флейту. Наиболее известны положения флажолетов в порядке возрастания контрастности возникают на ладах 12, 7, 5. Хотя, они также прослушиваются в районе ладов 19, 16, 9, 4. Согласованные колебания струн - вот на что так услужливо реагирует наш мозг!
Основной проблемой пифагорова строя была невозможность смены тональности при исполнении музыкального произведения. Хотя, такая потребность частенько возникала при совместном использовании нескольких инструментов. Приходилось не только перенастраивать натяжения струн, но также сдвигать лады на грифах (их положение раньше тоже настраивалось, не как сейчас), а также перестраивать звучание органа, что занимало много времени. Сейчас для нас это не проблема, мы про неё даже не вспоминаем. Но, в прежние времена это была реальная проблема. Когда к семи нотам добавились диезы и бемоли, добавились и новые проблемы. Это сейчас мы знаем из музыкальной школы, что ми бемоль - это то же самое, что ре диез. Но, раньше это были разные звуки - к семи нотам добавлялись пять диезов и пять бемолей, а на клавишных инструментах октава состояла из семнадцати клавиш!
На этот раз головоломка была решена немецким органистом Андреасом Веркмейстером. Он поступил весьма просто - забыл, что существует природный звукоряд, и вместо него создал свой собственный. В основе его решения лежало три постулата:
«Еще в древности люди выяснили, что приятное благозвучие создается такой мелодией, ноты (частоты) которой используют равномерно распределенную гамму музыкального инструмента по частотной оси. Что это значит? Равномерное распределение (равномерный строй) - такой набор нот, при котором отношение (результат деления) частот соседних нот является величиной постоянной. То есть частота каждой следующей ноты в ряду получается из меньшей (более низкой) частоты соседней ноты умножением на одно и то же число (а в обратную строну - делением). В итоге все частоты будут являться членами геометрической прогрессии вида
Л = г": ■ -, где /1 - условно выбранная частота, называющаяся канонической. В наши дни канонической частотой является 440 Гц - нота «ля» первой октавы. Вычислим постоянную q. Октава - это диапазон частот, отличающихся ровно в 2 раза. По музыкальному стандарту в октаве 12 нот, поэтому /„412 — 2- Подставим в левую и правую часть этого равенства соответствующее выражение с формулы п-го члена, получим:
Сокращая обе части на ■ д™-1 имеем ц12 = 2, откуда следует, что ц = ~\\&&2.» [3]
«С появлением темперированного строя сразу решилось множество проблем. Исчезла пифагорова кома (невозможность транспонирования), и стало возможным абсолютно свободно переходить из одной тональности в другую, и начинать мелодию с любой ноты, хотя бы даже с бемоля или диеза. Все стало прекрасно. За одним исключением: если в октаве Пифагора слегка фальшивили только три ноты, то в октаве Веркмейстера вообще не сохранилось ни одной естественной природной ноты. Абсолютно все ноты в ней фальшивые. Не то, чтобы очень сильно, но, когда слегка фальшивит каждая нота, это довольно заметно. Современники восприняли новшество по-разному. Органистам, наиболее страдающим от пифагоровой комы, новшество понравилось. Бах тут же написал цикл произведений во всех известных тогда тональностях - двенадцати мажорных и двенадцати минорных. Раньше сыграть такую музыку было невозможно. Но многих любителей музыки строй, в котором не было ни одного чистого звука, попросту раздражал. До сих пор в одном из московских музеев можно видеть фортепиано, которое было построено по заказу одного такого ценителя. У этого инструмента семнадцать клавиш в каждой октаве, что позволяло играть "без фальши". Тем не менее, все нынешние музыкальные инструменты звучат именно в темперированном звукоряде. Так намного проще, удобнее, да и фальшь уже никого не раздражает - привыкли» [5].
Обзор можно закончить упоминанием цепных дробей [9], которые были очень популярны в прошлом и теперь пригодились в музыке. «При построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы 2:1 делился на п равных частей. И при этом интервал из т таких частей был по возможности близок к интервалу квинты 3:2.
Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для 1о§2 3 ~ 1.585. Третья подходящая дробь 5/3 даёт равномерную темперированную пентатонику. Четвертая подходящая дробь 12/7 приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов» [9]. Веркмейстер создал темперированный строй в музыке, Бах его поддержал созданием цикла произведений «Хорошо темперированный клавир», а мы музыку принимаем уже такой, какой её создали гении прошлого.
Это лишь фрагментарный обзор идей по созданию математической теории музыки. Интерес к теме то затухает, то вспыхивает с новой силой. Видимо, следует к ней добавить начало и конец. Начало - это то, с чего все началось, а конец - это последние научные представления и предположения. Мы точно не знаем с чего музыка началась, но о каких-то этапах в её создании догадаться можно, наблюдая культуры народов, в наше время предпочитающие жить так же, как жили люди тысячи лет назад. Музыки как таковой у них нет. В основном это ритуальные танцы в примитивном ритме и, скорее однотоновый речитатив, чем песни. Музыкальные инструменты у них, в основном, ударные - барабаны, погремушки. Танцы при этом несут не эстетическую, а смысловую нагрузку — это рассказы с помощью жестов и движений тела о каких-то знаковых событиях прошлого и настоящего, хорошо известные каждому члену социума. Даже современные вполне культурные и образованные жители Индии, к примеру, придерживаются музыкальных традиций очень далекого прошлого. Каждый жест, каждое движение их танцев под традиционную музыку имеет строго определенный, выверенный временем смысл, хорошо понятный каждому. Поэтому зрители смотрят и слушают так завороженно. Видимо, танцы, пение, звуки инструментов - это тот традиционный набор символов, которым издревле владели люди ещё до того, как появилась нормальная человеческая речь. Это очень древний способ передачи информации.
Можно заметить, что аналогичным способом передачи информации владеют и животные - у них тоже есть ритуальные танцы, и даже нечто напоминающее пение. Примитивная пчела может своим танцем показать, где можно найти нектар для улья и указать сколько его там. Это поистине удивительно. Танец первичен. Танец, сопровождаемый звуками, позволяет усилить восприятие повествования. Возможно, первым серьёзным музыкальным инструментом стала натянутая тетива лука - она способна издавать звуки разных тонов. Хотя, возможно также, что это был набор полых костных трубок или бамбуковых/тростниковых трубок с отверстиями - такие инструменты также способны издавать разнотонные звуки. Однако, чередование звуков разной тональности - это уже код, равнозначный простому набору сигналов или даже слов в те стародавние времена, когда речи ещё не было. Музыка играла утилитарную роль - то ли звала в бой, то ли прославляла, то ли оплакивала. Сейчас музыка очень сложна. Но каждый раз, когда мы слышим музыкальное произведение, мы следуем логике звуковой последовательности, мысленно предсказываем её развитие, следим за повторениями, за возникающими музыкальными и зрительными образами. Наша память оживает, наш мозг тренируется и, слушая музыку, мы меняемся.
Видимо, настало время к пифагорейскому «квадри-уму» математики - арифметике, геометрии, музыке и астрономии добавить пятый элемент. Это - информационные технологии, или по-простому, программирование. Новый раздел математики, наиболее близкий к музыке. Новые технологии порождают новое понимание - понимание роли информации в окружающем нас мире. Вспомним настенную живопись пещерных людей далекой древности. У нас принято говорить, что это были художественные произведения допотопных художников. Ради чего они трудились, изображая реалистичные фигуры животных - ради забавы? Неужели так скучно им было, что взялись изображать оленей и бизонов? Вряд ли - все делалось ради выживания и искусство тоже было подчинено задаче выживания. Изображали животных, на которых охотились. Это древний был код. Зачем, почему именно в таких подробностях, можно только догадываться. Но, совершенство линий, изящество изображений потрясает - видна школа. Если же посмотреть на рисунки современных людей, живущих по законам каменного века, то их так называемое «искусство» тоже очень утилитарно и связано либо с добыванием пищи, либо с межплеменными конфликтами. Изначальная цель изобразительного искусства, видимо - это что-то жизненно важное передать следующим поколениям.
Мы забыли эту древнюю цель: для нас искусство существует ради искусства. Но, как бы то ни было, даже в наше время рассказ, сопровождаемый музыкой - это больше чем рассказ, это песня. И она запоминается лучше, чем просто рассказ. Повторенный многократно рассказ можно заменить одной только музыкой - слушатели поймут, о чем музыка и сами вспомнят слова. Музыка становится мемом, своей ритмичностью и тонально-интервальным разнообразием она создает информационный якорь, привязывающий людей ко времени, месту и событиям.
А как обстоит дело с гармонией в общем смысле? В вычислительной математике есть такое понятие как кубические сплайны - специальные функции, наилучшим образом проводящие гладкую кривую через заданный набор точек на плоскости. Но почему именно кубические сплайны наилучшие, по какому критерию? Ответ известен: кривые третьего порядка, то есть кубические зависимости, создают «ощущение» гармоничности, правильности. Мы неосознанно согласны с их поведением.
А что с нами происходит, когда мы в качестве зрителей присутствуем на футбольном или шахматном матче? Несмотря на то, что виды спорта совершенно разные, удовольствие от игры мы испытываем схожее. Суть здесь в том, что вариантов перепасовок мяча в футболе и возможных ходов фигур в шахматах на каждом этапе владения мячом или шахматами конечное количество. И мы каждый пытаемся предугадать какой из них будет выбран игроком. Угадали - хорошо, не угадали - ещё интереснее! В музыке происходит то же самое - после каждой ноты не так много вариантов, какая нота за ней последует. Мозг так устроен, что легко умеет достраивать простые зависимости, работать с простыми целыми. Ему это приятно - консонантно. А вот сложные зависимости вызывают когнитивный диссонанс. Не очень приятно, напрягает. То ли это кубические кривые, то ли изящные контуры тел на гравюре или стене пещеры, то ли достаточно просто «гармоничный» и повторяющийся набор звуков определенных наборов частот, связанных с целыми числами... Каждый раз, слушая музыку, мы ожидаем услышать повторения фрагмента, который только что услышали. Мы их запоминаем, эти фрагменты, и ждем повторения.
Повторение обязательно наступит. И за каждой нотой последует нота, так или иначе предсказанная предыдущим следованием нот. Срабатывает древнейший заложенный в нас механизм распознавания и предсказания, который когда-то позволил виду человеческому выжить и размножиться. Музыка, даже без слов и танцев, нам каждый раз о чем-то рассказывает. И мы слушаем её так же завороженно как раньше наши предки завороженно следили за движением облаков, за языками пламени костра, или слушали в шатре монотонное пение очередного рассказчика, повествующего хорошо знакомый сюжет из стародавних славных времен. Мы заранее знаем, что будет дальше. Это распознавание, это прогноз - это наш естественный интеллект, который мы так стремимся дополнить искусственным.
