Теоретико-вероятностный подход для описания микрогеометрии поверхности износостойких порошковых покрытий при трении скольжения

УДК 621.921.34:621.7.044.2

Теоретико-вероятностный подход для описания микрогеометрии поверхности износостойких порошковых покрытий при трении скольжения

Г.Г. Винокуров, О.Н. Попов1

Институт физико-технических проблем Севера им. В.П. Ларионова СО РАН, Якутск, 677980, Россия 1 Институт математики и информатики, Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,

Якутск, 677891, Россия

В статье разработано теоретико-вероятностное описание поверхности трения износостойких порошковых покрытий. При описании микрогеометрии поверхности трения учитывается макроструктура сечения порошковой среды, которая задается матричной статистической моделью. Вычислены условные вероятности линейного износа поперечных профилей, построено их двухмерное распределение. Показано, что разработанный подход качественно описывает характерную микрогеометрию поверхности трения износостойких порошковых покрытий.

Probability-theoretical model of surface microgeometry for wear-resistant powder coatings in sliding friction

G.G. Vinokurov and O.N. Popov1

Larionov Institute of Physical-Technical Problems of the North SB RAS, Yakutsk, 677980, Russia 1 Institute of Mathematics and Information Science, Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677891, Russia

The paper proposes a probability-theoretical model for describing the friction surface of wear-resistant powder coatings. The friction surface microgeometry is described with regard to the cross-sectional macrostructure of powder material specified by a statistical matrix model. Conditional probabilities of linear lateral wear are calculated and their two-dimensional distribution is constructed. It is shown that the developed model provides qualitative description of the characteristic friction surface microgeometry of wear-resistant powder coatings.

В настоящее время для восстановления изношенных деталей техники широко используются высокоэнергетические технологии нанесения износостойких порошковых покрытий [1, 2]. В последующей эксплуатации деталей порошковые покрытия подвергаются в основном трению скольжения, при котором проявляются механизмы изнашивания, зависящие от структуры материала [3-5].

Процесс изнашивания порошковых покрытий при трении скольжения зависит от фактической площади контакта, величина которой определяется микрогеометрией поверхности трения. На формирование микрогеометрии поверхности трения износостойких покрытий существенно влияют макроструктура порошковой среды, состоящая из застывших частиц, и поровое пространство между ними [6]. Поэтому статистические закономерности, описывающие случайное строение — макроструктуру износостойких порошковых покрытий, проявляются и в процессе их изнашивания.

При описании случайной макроструктуры порошковых покрытий и материалов в настоящее время широко используются разнообразные статистические модели порошковой среды, которые с развитием информационных технологий непрерывно совершенствуются [7-13]. Ранее авторами были предложены статистические моде© Винокуров Г.Г., Попов О.Н., 2014

ли для описания изнашивания поперечных профилей порошкового покрытия, учитывающие макроструктуру порошковой среды [14]. В данных подходах для исследования микрогеометрии поверхности покрытий при трении скольжения показана целесообразность использования двухмерных вероятностно-геометрических моделей порошковой среды. Дело в том, что при описании процессов трения скольжения материалов путь трения является выделенным направлением (рис. 1, ось /). Поэтому в перпендикулярных к данному направлению плоскостях (рис. 1, параллельные плоскости 0ху) характеристики микрогеометрии предполагаются статистически однородными величинами. При таком существенном упрощении одномерные характеристики вероятностно-геометрических систем порошковой среды описываются законами классической теории вероятностей. В данном подходе для статистического моделирования продольных неровностей поверхности трения порошковых покрытий необходимым является установление взаимосвязи поперечных профилей порошкового покрытия.

Целью данной работы является развитие теоретико-вероятностного подхода для описания микрогеометрии поверхности трения износостойкого порошкового покрытия для учета взаимосвязи поперечных профилей.

В данной работе для описания микрогеометрии поверхности трения покрытий использована элементарная модель макроструктуры порошковой среды на основе матричной вероятностно-геометрической системы частиц [7], которая ранее развита и использована авторами для моделирования изнашивания порошковых покрытий и материалов при трении скольжения [14]. Вследствие сравнительной простоты, выбранная матричная вероятностно-геометрическая система позволяет рассматривать практически неограниченную порошковую среду, между тем более сложные трехмерные модели допускают описание только до нескольких десятков тысяч взаимодействующих частиц [9-13].

Поскольку сопротивление разрушению порошковой среды определяется в основном когезией частиц, то для

учета случайной макроструктуры при трении скольжения необходимо было связать ее характеристики с вероятностью удаления отдельной частицы на поверхности трения. В модели было предположено, что удаление частиц с поверхности трения при установившемся изнашивании является испытанием Бернулли. За событие принято удаление частицы порошкового покрытия, второе событие — частица остается в материале, дополнительно к первому. Так как удаление частиц является независимым событием с повторением испытаний, то вероятность удаления с поверхности трения к частиц будет иметь вид биномиального распределения (закон Бернулли) [14, 15]: I!

Р (к) = -,рк (1 - р)

Рис. 1. Схема элемента поверхности порошковых покрытий при трении скольжения

к!(I- к)!

где р — вероятность удаления частицы порошкового покрытия со всей поверхности трения, определяется размерами матрицы вероятностно-геометрической системы; / — общее количество испытаний Бернулли [14, 15].

В предложенной модели выражение (1) описывает распределение линейного износа поперечного сечения поверхности трения порошкового покрытия, количество испытаний / соответствует пути трения. Как известно из теоремы Муавра-Лапласа, при / ^ ^ биномиальное распределение (1) стремится к нормальному [15], что соответствует известной закономерности распределения координат профиля равновесной поверхности трения материалов в трибологии.

Таким образом, статистическая биномиальная модель (1) изнашивания сечения порошкового покрытия описывает характеристики профиля поверхности, поперечного пути трения (рис. 1). Следует отметить, что линейный износ в (1) и получаемые далее результаты задаются в безразмерном виде, который с учетом размеров выбранной вероятностно-геометрической системы можно перевести в обычную размерность [14].

Как установлено в многочисленных работах по исследованию трения скольжения материалов, металлографические и профилометрические данные показывают образование на контактной поверхности характерных продольных борозд, рисок вдоль пути трения [35]. Поэтому для описания микрогеометрии поперечного профиля поверхности порошковых покрытий предложенная биномиальная модель (1) развита в следующем направлении.

Для описания характерных борозд вдоль пути трения необходимо рассматривать взаимосвязь значений линейного износа поперечного профиля при двух значениях пути трения / и / + d/ с учетом вероятностей (1). С этой целью необходимо построить двухмерное распределение случайных величин к(/) и к(/ + d/), которые

Таблица 1

Матрица двумерного распределения линейного износа поперечных профилей порошковых покрытий

+ 0 1 2 3

... . . .

dI - 1 г 1 <«-1 0 г 1 <-1 1 г 1 <-12 г а/-1 3

dI г 1 а/ 0 г 1 а/ 1 г 1 а/ 2 г а/ 3

dI + 1 0 г 1 <+1 1 г а/+1 2 г а/+1 3

/ - 2 0 0 0 г /-2 3

/ - 1 0 0 0 0

/ 0 0 0 0

/ + 1 0 0 0 0

/ + 2 0 0 0 0

+ - 1 0 0 0 0

/ + 0 0 0 0

г а/ а/

г /-2 а/

г /-1 а/

г /а/-1 г /а/

d/ + 1

г /-1 /-1 0

г/ /-1 г/ /

г /+1 /-1 г /+1 /

г /+2 /-1 г /+2 /

г 1 <+/-1 /-1 г а/+/-1 /

являются зависимыми. Поэтому искомое распределение состоит из условных вероятностей случайной величины к(/ + d/), если при пути трения / линейный износ составлял к(/). Таким образом, условные вероятности задаются произведениями выражений из распределения (1).

Двухмерное распределение также зависит от параметров — переменных /, d/; по его виду можно оценить взаимосвязь значений линейного износа в зависимости от пути трения. Здесь можно отметить, что приращение d/ является положительной величиной, поэтому увеличение пути трения в выражении (1) означает переход к последующим поперечным профилям порошкового покрытия (рис. 1).

В разработанной модели случайные величины к(/) и к(/ + d/) являются дискретными. Учитывая биномиальное распределение (1) и то, что линейный износ по пути трения не может уменьшаться, двухмерное распределение можно выразить матрицей Еу (табл. 1). В матрице случайная величина к(/) задана по столбцам, к(/ + d/) — по строкам, причем / > d/. Ненулевые элементы можно выразить соотношениями

Еу = Р (У Ра « - Л

где столбцы j = 0, 1, 2, ..., /, тогда строки i = j, j + 1, j + 2, ...J + /.

Как видно из табл. 1, матрица является неквадратной, заполняется следующим образом: в области в

виде параллелограмма расположены произведения вероятностей из выражения (2) (ненулевые ячейки матрицы выделены жирным шрифтом); остальные элементы матрицы тождественно равны нулю.

Для двухмерного распределения выполняется условие нормировки:

г+и I

ЕЕ Е= 1- (3)

На рис. 2 приведено двухмерное распределение линейного износа (2). В работе его расчеты проведены при различных значениях пути трения и его приращения, разных вероятностях удаления частицы порошкового материала.

Как видно из графиков, функция имеет узкую область ненулевых значений в направлении, обусловленном ростом среднего значения линейного износар/, вне области быстро снижается. Ненулевые значения двухмерного распределения в области линейного износа свидетельствуют о том, что всегда существует корреляция координат поперечного профиля вдоль пути трения. Таким образом, двухмерное распределение (2) качественно описывает формирование характерных шлейфов и борозд на поверхности трения порошкового покрытия. По нему можно рассчитывать условные вероятности линейного износа поперечных профилей.

Как видно из рис. 2, при фиксированных значениях пути трения / и вероятности удаления частицы р с увеличением приращения пути трения d/ значение максимума функции падает. Условие нормировки распределения (3) удовлетворяется увеличением области распределения функции (рис. 2).

Количественные характеристики двумерного распределения (2) (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение двух случайных величин — линейных износов к(/) и к(/ + d/)) можно рассчитать по известным формулам теории вероятностей [15].

С учетом ненулевых элементов матрицы (2) математическое ожидание дискретных случайных величин линейных износов определяется по формулам:

I ]+А1

М[к(/)] = Е Е ЛР (Л)Рй1 (i - Л),

Л =0 г = Л

/ л+и (4)

м[к(I+а/)] = Е Е гр (Л)Рй1 (г - л).

Л =0 г =Л

Среднеквадратическое отклонение выражается соотношениями:

I л+и

<) = Е Е (Л - М[к(/)])2 р (л)Рй1 (г - л),

Л =0 г= л

<) = Е Е (г - м[к(/+а/)])2 р (лр (г - л).

Л =0 г=Л

Тогда коэффициент корреляции линейных износов поперечных профилей задается выражением

( / Л+

согг =

Е Е (Л - М[к(I)]) х

Л =0 г =Л

х(г - М[к(I + dl)])р (Л)Рй1 (г - Л)

<(ак ч а

к (I к (I+И)

В работе проведены расчеты характеристик двухмерного распределения — математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Они соответствуют среднему значению линейного износа и его разбросу,

поэтому описывают поперечный профиль поверхности трения порошкового покрытия (рис. 1). Расчеты проведены по формулам (4), (5) с помощью программы МаЛСаё.

С целью проверки найденного двумерного распределения (2) в работе для расчетов также использованы аналитические выражения числовых характеристик двух распределенных по биномиальному закону (1) случайных величин — математического ожидания [15]

<к(/)> = /р, {к(/ + ё/)> = (/ + dl)p, (7)

и среднеквадратического отклонения

а(/) = ^ /р(1 - Р), а(/ + dl) = 7(/ + dl)р(1 - р) . На рис. 3 приведены графики зависимостей математического ожидания и среднеквадратического отклонения линейного износа к(/ + d/) от приращения пути трения при различных значениях пути трения и вероятности удаления частицы. Данные, обозначенные символами на рис. 3, получены расчетами в MathCad по соотношениям (4), (5), линиями — по выражениям (7), (8). Как видно из графиков, характеристики найденного двухмерного распределения точно согласуются с формулами теории вероятностей.

Таким образом, полученное двухмерное распределение (табл. 1) описывает взаимосвязь линейных износов поперечных профилей поверхности трения порошкового покрытия. Количественная характеристика взаимосвязи задается коэффициентом корреляции (6), его расчеты также проведены с помощью программы MathCad.

В работе также получено аналитическое выражение для коэффициента корреляции с использованием следующего подхода. Как видно из уравнений (7), угловой коэффициент прямой линейной регрессии для линейных износов равен 1, тогда из данного соотношения коэффициент корреляции линейных износов двух профилей определяется простым выражением

согг = а(/)

а(/+а/) V/+а/

Щ + )

Рис. 2. Двухмерное распределение линейного износа: путь трения / = 80, приращение ё/ = 1, р = 1/50 (а); / = 40, ё/ = 30, р = 1/8 (б)

Рис. 3. Характеристики двухмерного распределения: (а) математическое ожидание: / = 8, р = 1/8 (1, 2); / = 40, р = 1/8 (3, 4); среднеквадратическое отклонение: I = 1/8, р = 1/8 (5, 6); / = 40, р = 1/8 (7, 8); (б) математическое ожидание: / = 8, р = 1/50 (1, 8); / = 80, р = 1/50 (3, 6); среднеквадратическое отклонение: / = 8, р = 1/50 (2, 7); / = 80, р = 1/50 (4, 5). Символы — расчет по (4), (5), линии — расчет по (7), (8)

Как следует из данной формулы, коэффициент корреляции не зависит от вероятности удаления частицы и вероятностно-геометрической модели порошковой среды (1), а определяется текущим значением пути трения / и его приращения /.

На рис. 4 приведена зависимость коэффициента корреляции линейных износов поперечных профилей от приращения пути трения. Следует отметить, что приращение пути трения означает расстояние между двумя поперечными профилями. Данные, обозначенные маркерами на рис. 4, а, получены расчетами в МаШСаё по соотношению (6), линиями — по формуле (9). Как видно из графиков 1, 7, 6 на рис. 4, а, коэффициент корре0.0-1--------0 30 60 90 120 150

Рис. 4. Коэффициент корреляции линейного износа поперечных профилей порошковых покрытий: (а) / = 8, р = 1/8 (1, 7); / = 40, р = 1/8 (2, 5); / = 80, р = 1/50 (3, 4); / = 8, р = 1/50 (6); символы — расчет по (6), линии — расчет по (9); (б) общий вид зависимости

ляции не зависит от вероятности удаления частицы, что полностью согласуется с формулой (9). При малых значениях пути трения с увеличением приращения коэффициент корреляции быстро снижается (рис. 4, а). Это означает, что значения линейного износа к(/) и к(/ + ) поперечных сечений порошкового материала в начале пути трения слабо коррелируют. Однако увеличение пути трения приводит к росту коэффициента корреляции. Данная закономерность отражает формирование характерных рисок и борозд на контактной поверхности порошкового покрытия вдоль пути трения.

На рис. 4, б приведен поверхностный график коэффициента корреляции линейных износов поперечных профилей в зависимости от пути трения и его приращения, рассчитанный по формуле (9). Как видно из графика, при малых значениях пути трения / коэффициент корреляции действительно быстро убывает с приращением пути трения /. Увеличение пути трения приводит к снижению скорости убывания коэффициента корреляции линейных износов поперечных профилей. Теоретически при / ^ при установившемся износе, как следует из формулы (9), коэффициент корреляции стремится к 1. Это обусловлено тем, что локальное значение линейного износа поперечного профиля порошкового материала линейно увеличивается по пути трения в соответствии с формулами (7). Данная закономерность отражает существование характерных рисок и борозд на равновесной поверхности трения порошкового покрытия.

Таким образом, статистическая модель изнашивания (1), учитывающая макроструктуру порошковой среды, позволяет качественно описывать микрогеометрию поверхности трения порошковых покрытий.

Развит статистический подход для описания микрогеометрии поверхности трения износостойкого порошкового покрытия, учитывающего случайную макроструктуру порошковой среды. Для ее описания используется матричная вероятностно-геометрическая модель

сечения порошкового покрытия. Предложено учитывать при описании микрогеометрии поверхности трения износостойкого порошкового покрытия взаимосвязь линейных износов поперечных профилей.

Построено двухмерное распределение условных вероятностей линейного износа поперечного профиля, зависящее от пути трения. При этом продольные неровности на поверхности трения описываются взаимосвязью значений линейного износа поперечных профилей, распределенных по биномиальному закону. На основе полученного двухмерного распределения проведены расчеты математического ожидания, среднеквад-ратического отклонения и коэффициента корреляции линейного износа.

Предложено аналитическое выражение для коэффициента корреляции, не зависящее от вероятностно-геометрической модели порошковой среды. Выявлено, что с увеличением пути трения коэффициент корреляции возрастает и при установившемся износе стремится к 1. Таким образом, статистический подход описывает формирование характерных борозд, рисок на равновесной поверхности трения порошковых покрытий.

Работа проведена при поддержке РФФИ (грант M 12-08-98500).

Литература

Kudinov V.V., Pekshev P.Yu, Belashchenko VE., Solonenko O.P., Safiullin V.A. Plasma- Sprayed Coating. - Moscow: Nauka, 1990. -408 p.

Boronenkov V.N., Korobov Yu.S. Fundamentals of Arc Metallization. Physical and Chemical Laws. - Yekaterinburg: Ural Univer. Publ., 2012. - 268 p.

Tribology Handbook, V. 1, Theoretical Foundations / Eds. by M. Hebda, A.V. Chichinadze. - Moscow: Mashinostroenie, 1989. - 400 p.

на трение и износ. - M.: Mашиностроeниe, 1977. - 526 с. Kragelskii I.V., Dobychin M.N., Kombalov VS. Friction and Wear Calculation Methods. - Oxford: Pergamon Press, 1982.

Kudinov V.V., Kalita V.I., Kopteva O.G. Study of the macro- and microstructure formation in particles of thermal coatings // Fiz. Khim. Obr. Mat. - 1992. - No. 4. - P. 88-92.

Kadushnikov R.M., Beketov A.R. Geometric modeling of the structure of polydisperse materials // Porosh. Metallurg. - 1989. - No. 10. -P. 69-74.

Voloshin VP., Medvedev N.N., Fenelonov V.B., Parman V.N. Computer simulation of the pore structure of densely and loosely packed spherical particles // Zhur. Struc. Khim. - 1999. - V. 40. - No. 4. -P. 681-692.

Kadushnikov R.M., Skorokhod V.V., Kamenin I.G., Alievskii V.M., Nurkanov E.Yu., Alievskii D.M. Computer simulation of spherical particle sintering // Powd. Metall. Met. Ceram. - 2001. - V. 40. -No. 3-4. - P. 154-163.

Nurkanov E.Yu., Kadushnikov R.M., Kamenin I.G., Alievskii D.M., Kartashov V.V. Investigation of the density characteristics of three-dimensional stochastic packs of spherical particles using a computer model // Powd. Metall. Met. Ceram. - 2001. - V. 40. - No. 5-6. -P. 229-235.

Gnedovets A.G., Kalita V.I. Model of the coating microstructure formation during plasma spraying // Fiz. Khim. Obr. Mat. - 2007. -No. 1. - P. 30-39.

Smirnov N.V, Dunin-Barkovskii I.V. Course on the Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineering Applications. - Moscow: Nauka, 1965. - 512 p.

Поступила в редакцию 15.05.2014 г., после переработки 08.07.2014 г.

Сведения об авторах

Винокуров Геннадий Георгиевич, к.т.н., внс, зав. сект. ИФТПС СО РАН, g.g.vinokurov@iptpn.ysn.ru Попов Олег Николаевич, к.т.н., доц. СВФУ им М.К. Аммосова, ponpon1@mail.ru