На окружности отмечены 49 точек, пронумерованных в некотором
порядке нечетными числами 3, 5, 7, … , 99. Если один номер делится на другой, то
между точками с этими номерами проводится отрезок. Докажите, что найдутся два
отрезка, которые пересекаются внутри окружности.

Вершины цикла 3-21-7-35-5-15-3 обязаны лежать на окружности именно в этом порядке.

На какую бы из 6 дуг мы не поместили число 45, хорда 3-45 или хорда 5-45 пересечёт сторону цикла.

А почему: Вершины цикла 3-21-7-35-5-15-3 обязаны лежать на окружности именно в этом порядке?

потому что мы показываем, что эти точи соединяются, но не пресекаются.

Вот проще:

Предположим, что все отрезки не пересекаются. Теперь рассмотрим три точки, обозначенные числами 3, 9 и 27. Эти числа являются также делителями числа 81. Заметим, что точки 3 и 81, 9 и 81, а также 27 и 81 обязательно должны быть соединены отрезками, так как 81 делится на 3, 9 и 27.

Теперь посмотрим на треугольник, образованный точками 3, 9 и 27. Отрезки, соединяющие эти точки с точкой 81, должны пересекать стороны этого треугольника или войти в его внутрь. Вне зависимости от положения точки 81 относительно треугольника 3-9-27, хотя бы один отрезок пересечет другой отрезок.