Спросить
Войти
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Расчет возрастания энтропии при теплообмене двух тел
# 01, январь 2014
Б01: 10.7463/0114.0681975
Глаголев К. В., Морозов А. Н., Поздышев М. Л.
УДК 621.941.1
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана cglagolev@mail.ru amor59@mail.ru pte59@mail.ru
Разработка методов описания процессов, происходящих в неравновесных системах, требует применения новых подходов. Дело в том, что в отличие от процессов, происходящих в квазиравновесных системах, для которых применимы методы равновесной термодинамики, при описании сильно неравновесных систем возникает необходимость использования соотношений, отличающихся от обычно применяемых в линейной термодинамике [1, 2]. В частности, в качестве альтернативы линейным кинетическим соотношениям выступает применение интегральных преобразований, описывающих немарковские процессы [3].
Стремление энтропии к максимальному значению при приближении термодинамической системы к равновесному состоянию описывается разными функциями, в зависимости от степени неравновесности системы. Если система находится в близком к равновесию состоянии, то её стремление к максимальному значению происходит максимально быстро и описывается экспоненциальной зависимостью. Для далеких от равновесия состояний возрастание энтропии происходит максимально медленно и описывается логарифмической зависимостью. Покажем это на простом примере.
Пусть имеется термодинамическая система, состоящая из двух находящихся в тепловом контакте тел, помещенная в адиабатическую оболочку. Считаем, что тела имеют идеальную (бесконечно высокую) теплопроводность. Теплоемкости тел одинаковы и равны С. Температура
первого тела в некоторый момент времени равна 7[, а второго - Т2, причем Т2 > Т{. Найдем уравнение, описывающее изменение энтропии системы с течением времени при её стремлении к состоянию термодинамического равновесия. Будем считать, что передача теплоты от одного тела к другому описывается формулой
где к - коэффициент теплопередачи.
После достижения системой состояния термодинамического равновесия температура тел станет одинаковой
Т= Т + Т
а ее энтропия примет максимальное значение
Изменение энтропии системы при её переходе в равновесие можно определить по формуле
т ~ т ~
■ dT „ г dT<^
ДБ = Б 0 —Б = С [ ^ + С \\ ^ = С 1п
Т1 1 Т2 2
т V т У
+ С 1п
т V т2 у
Т + Т2 Г
Из этой формулы следует
Боо Б
(Т + Т2 )2 (т — Т )2
В соответствии со свойством аддитивности энтропии для изменения энтропии рассматриваемой системы можно записать
^ ^ ^ §0 §0 к(Т2 — Т) , к(Т2 — Т) , (Т2 — Т)2 ,
с(Б= + (1Б2 — 1 (Ц— 1 =кк С (5)
Здесь учтено, что теплота отводится от второго тела и подводится к первому.
Тогда уравнение, описывающее изменение энтропии с течением времени при стремлении системы к состоянию термодинамического равновесия, примет окончательный вид
с(Б л — = 4к
Боо Б
При Б < Б0 правая часть этого уравнения больше нуля, что соответствует росту энтропии с
течением времени: -> 0. При достижении энтропией системы Б равновесного
(максимального) значения Б0, правая часть полученного уравнения становится равной нулю, и
дальнейшего роста энтропии не происходит.
Если считать, что в начальный момент времени энтропия £(г) _0 = £о, то решение уравнения (6) можно записать в неявном виде [4]
£ (г)-£0 - С 1п
£ » — £ (г)
Получим решение для двух частных случаев. В первом будем считать, что термодинамическая система находится в состоянии, близком к равновесному: £ж — £ << С. Тогда, приближенное решение уравнения (6) ,имеет вид
£ (г)_ £(££о)ехр
—t С у
Из выражения (8) следует, что в состояниях, близких к равновесному, энтропия экспоненциально стремится к своему максимальному значению.
Рассмотрим теперь случай, когда термодинамическая система находится в состоянии, далеком от равновесия: — £ >> С. Решение (6) в этом случае имеет вид:
£ (г)_ £ 0 + С 1п
, 4кг 1 +-ехр
Как следует из выражения (9), в состояниях далеких от равновесия энтропия стремиться к максимальному значению по логарифмическому закону. Хотя логарифмическая функция и является более пологой, чем экспоненциальная, скорость увеличения энтропии, рассчитанная по формуле (9) оказывается имеющей большую величину, чем в случае применения формулы (8).
Результат численного решения уравнения (6) приведен на рис. 1 (средняя кривая 2) при следующих значениях параметров: к_ 1, £ ж _ 10, С _ 1 и £ о _ 1. На этом же рисунки
приведены кривые, рассчитанные по формуле (8) (нижняя кривая 3) и по формуле (9) (верхняя кривая 1). Видно, что решение (8), соответствующее случаю описания термодинамической системы в состоянии близком к равновесию, достаточно явно не совпадает с численным решением уравнения (6) при сильно неравновесном состоянии. Результат, полученный по формуле (9), расходится с численным моделированием в области, близкой к равновесию.
Рис. 1. Зависимость энтропии от времени: 1 - при описании с помощью формулы (9), 2 - при решении уравнения (6), 3 - при описании с помощью формулы (8)
Таким образом, рассмотренный простой пример показывает, что характер стремления энтропии к максимальному значению различен для систем, находящихся в состоянии близком к равновесию и для сильно неравновесных состояний. Полученные зависимости сохраняют свой вид и при описании необратимых процессов в более сложных термодинамических системах и, видимо, имеют достаточно универсальный характер.
Список литературы
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MS TU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Calculation of entropy increment during heat exchange between two solid bodies
# 01, Januare 2014
DOI: 10.7463/0114.0681975
Glagolev K.V., Morozov A.N., Pozdyshev M.L.
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
cglagolev@mail.ru amor59@mail.ru pte59@mail.ru
This article presents a description of entropy increment during the thermal contact between two solid bodies. It was demonstrated that the entropy function depends on the system&s non-equilibrium coefficient. For a highly non-equilibrium system that function rises logarithmically but when a thermodynamic system is close to equilibrium the type of dependence becomes exponential. Solution to the equation which describes convergence of thermodynamic system&s entropy to the equilibrium state was obtained.
Publications with keywords: entropy, thermodynamic system, nonequilibrium state, irreversible process Publications with words: entropy, thermodynamic system, nonequilibrium state, irreversible process
References
