УДК 57-72:537.7 DOI: 10.15350/17270529.2020.2.15
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОМОГЕННОЙ КОНДЕНСАЦИИ КРИПТОНА В СВЕРХЗВУКОВОМ СОПЛЕ
КОРЕПАНОВ М. А., МОРАР Г., АЛЬЕС М. Ю.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Рассмотрено течение инертного газа (криптона) в коническом сопле. Для определения температуры в точке начала процесса конденсации - точке Вильсона проведено численное моделирование процесса для сопел различных размеров. Показано, что процесс гомогенной конденсации в рассматриваемых соплах идет, но практически не влияет на скорость падения температуры из-за малых размеров сопел, т.к. не успевает завершиться в сопле. Полученные значения температуры в точке Вильсона (точке начала конденсации) составляют 58-59 К, что значительно ниже точки фазового перехода 119.78 К.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гомогенная конденсация, коническое сопло, точка Вильсона, криптон.
Повышающиеся требования к миниатюризации и снижению энергопотребления радиоэлектронными устройствами вынуждают производителей совершенствовать технологические процессы создания микроэлектроники. Центральное место в технологии изготовления микроэлектроники занимает фотолитография, представляющая собой процесс избирательного травления поверхностного слоя с использованием защитной фотомаски. Наименьшие размеры деталей рисунка, достижимые в фотолитографии, определяются: длиной волны используемого излучения.
В настоящее время в качестве основных рассматриваются источники излучения с длиной волны около 13,5 нм, относящиеся к экстремальному ультрафиолетовому (ЭУФ) диапазону. Как один из вариантов источника ЭУФ излучения рассматривается газоплазменный лазер на инертных газах (криптон, ксенон), один из вариантов такой установки описан в [1]. Установка представляет собой вакуумную камеру, давление в которой поддерживается на уровне не выше 10-2 Па. Газоструйная мишень создается вдувом в объем вакуумной камеры инертного газа через коническое сопло диаметром в несколько сот микрометров. В качестве примера исследования свойств газоструйной мишени в зависимости от начальных свойств газа (параметров торможения) и геометрии сопла можно привести работу [2]. Основными особенностями течения газа в данной установке является высокая степень расширения сопла, истечение в глубокий вакуум и, как следствие, очень низкие температуры на выходе из сопла в ядре потока (существенно ниже 100 К). При таких температурах в потоке должна иметь место гомогенная конденсация, т. к. температуры фазового перехода (конденсации) в нормальных условиях для Хе - 166.1 К, а для Кг - 119.78 К [3]. Однако, в [2] конденсация газа в ядре потока не учитывается, и отмечается, "что в конденсированном состоянии может находиться только доля вещества струи ~ 10-4, поэтому роль конденсации здесь пренебрежимо мала". С другой стороны, например в [4 - 6], отмечается, что в потоках инертных газов Аг, Ю", Xe на выходе из сопел наблюдаются кластеры размером "не менее чем 500 атомов аргона" [5], до 8.5-103 атомов ксенона [6] и до 100 А для ксенона и криптона [4].
Следует отметить, однако, что для начала процесса гомогенной конденсации недостаточно достижения точки фазового перехода и необходимо некоторое переохлаждение газа [7], и точка начала конденсации носит название точки Вильсона [8]. В [8] также показано, что параметры в точке Вильсона зависят от начальных параметров газа и геометрических размеров сопла. Однако, в литературе по исследованию конденсации инертных газов, в частности [4 - 6], данные по точке Вильсона отсутствуют, что связано, очевидно, с очень малыми размерами сопел (диаметр критического сечения несколько сот
микрометров) и техникой измерений, а размеры кластеров измеряются уже на выходе из сопла.
Вместе с тем, известно [7, 8], что при конденсации в потоке газа выделяется тепло, что приводит к увеличению температуры и давления в потоке, что и позволяет определять точку Вильсона при экспериментальных исследованиях гомогенной конденсации, например для паров воды [9, 10].
В связи с этим представляется интересным провести математическое моделирование процесса расширения инертного газа (криптона) в сверхзвуковом сопле с целью определения параметров процесса конденсации. Ограничениями при описании процесса могут быть чрезвычайно низкие температуры при расширении в вакуум, а также очень малое время пребывания газа при термодинамических условиях необходимых для гомогенной конденсации из-за очень малых размеров сопел, использованных при экспериментальных исследованиях [4 - 6].
Для моделирования процесса конденсации необходимо было получить данные по термодинамическим свойствам ксенона Кг в газообразном и конденсированном состоянии. Кроме того, в связи с узким диапазоном существования Кг в жидком состоянии (161 - 165 К) и крайне малой вероятностью конденсации в этом диапазоне температур, для рассмотрения процесса конденсации был принят Кг в твердом состоянии. Был проведен поиск и анализ литературы по термодинамическим свойствам Кг в газообразном и конденсированном состоянии [11 - 16]. В результате были построены функции для термодинамических свойств (энтальпия, энтропия, теплоемкость) Кг в диапазоне температур ниже 298 К. Для газовой фазы была использована база данных по термодинамическим свойствам веществ ИВТАН ТЕРМО [12], что оказалось возможно из-за свойств Кг как инертного газа, в работе [14] показано постоянство теплоемкости инертных газов при температурах выше 24 К. Для определения свойств конденсированной (твердой) фазы были использованы данные [13], а также данные по теплоте сублимации Кг [15]. В результате были построены зависимости термодинамических свойств Кг и получена расчетная зависимость давления насыщенных паров от давления :
К Кт Ко Кт & (1)
где - энтропия газовой фазы [12], - энтропия твердой фазы [13], АИсо„^ - теплота сублимации [15].
В таблице приведено сравнение экспериментальных данных по давлению насыщенного пара Кг [13, 16] в сравнении с результатами расчетов по формуле (1).
Из таблицы видно, что погрешность расчетных данных по сравнению с экспериментом в области температур от 80 К до точки кипения при нормальных условиях (119.78 К) составляет не более 3 - 5 %, и погрешность возникает только в нижней части температурного диапазона, что связано также с отсутствием экспериментальных данных по давлению насыщенных паров и, как следствие, невозможностью верификации модели. Однако, следует отметить, что с точки зрения расчета процесса конденсации значение имеет разница между давлением газа в потоке и давлением насыщения, поэтому полученные значения можно считать удовлетворительным приближением.
Моделирование течения криптона по сверхзвуковому соплу проводилось в одномерной постановке в переменных плотность-энергия (температура) [17]. Система уравнений рассматривается со следующими допущениями:
- до появления необходимого числа сверхкритических кластеров ^ = 10 м-) [18] их ростом пренебрегается, а после их образования процесс нуклеации считается прекратившимся и рассматривается только рост сверхкритических зародышей. Это допущение считается общепринятым [8];
- используется модель односкоростного и однотемпературного потока в связи с малым размером зарождающейся фазы, вследствие чего теплота конденсации отнесена к плотности всего потока, и теплоемкость среды принята постоянной.
Таблица
Сравнение экспериментальных и расчетных данных
Т, К Ps экс, бар Ps (1), бар
Система уравнений [18] для определения параметров потока до начала роста частиц (до появления необходимого количества сверхкритических кластеров) содержит уравнения для числа (концентрации) сверхкритических кластеров, массы сверхкритических кластеров, плотности газовой фазы, температуры потока, скорости потока, текущей координаты сопла:
сИ М2-1 ^ (х) йх
йр М2 р dF тг
= -ММ-1 • тр7) • -Сх&у, (4)
СТ = (к-1)М2 т у+1 е ш К ^
С М2-1 ^(х) йх е есг ^ рС * , (5) СК 1 V с^ у
где = К • пё-1 • пё_2 - скорость образования сверхкритических кластеров [18], пё-1, пё-2 - концентрации докритических кластеров, при коагуляции которых образуется сверхкритический кластер, К - постоянная скорости коагуляции, gcr - число частиц в
сверхкритическом кластере, т - масса кластера, которая после образования достаточного количества сверхкритических кластеров и при начале их роста может быть принята равной массе сверхкритического кластера т0 = т1 • gcr, или при постепенном накоплении сверхкритических кластеров разных размеров, например, при быстром охлаждении (течения
в сверхзвуковых соплах) - т0 = (р0 - щ
- масса моночастицы газа, кг,
/л1 - мольная масса газа, г/моль. Как показывают расчеты, при течениях в соплах скорость конденсации увеличивается очень быстро [8, 18, 19], так что большую часть начальных зародышей новой фазы составляют критические кластеры, соответствующие термодинамическим условиям в момент перехода расчета к их росту.
В уравнении для плотности (4) учитывается отвод массы при образовании сверхкритических кластеров, который очень мал практически до самого начала конденсации из-за очень низких значений скорости конденсации /g. В уравнении для температуры добавлено слагаемое, учитывающее выделение тепла при образовании сверхкритических кластеров, при этом в связи с тем, что в малых кластерах (§ < 300), число связей между частицами намного меньше их числа в жидкости, в выражении учитывается множитель к^ /2 [18].
На втором этапе производится расчет роста частиц новой фазы, при этом образование новых сверхкритических кластеров прекращается из-за снижения пересыщения в связи с переходом вещества из газовой фазы в конденсированную. В этом случае система уравнений будет выглядеть следующим образом:
- уравнение концентрации сверхкритических кластеров
йЫ йг
- уравнение для массы свободномолекулярного режима)
сверхкритических кластеров (рост в условиях
а • 4п • г
Рг - Р,
г • 3---,
V 4п щ
где аак = 0.6 - коэффициент аккомодации, - уравнение плотности газовой фазы
йр Ы2 р dF тг ЛГ dщ
— =--:---т-Т---V - N--,
йг М2 -1 — (х) йх йг
уравнение температуры потока
(к -1) М2
йг М2 -1 — (х) йх
йг р0сг
Уравнения для скорости (6) и текущей координаты сопла (7) остаются неизменными.
Во всех уравнениях ^(х) - площадь поперечного сечения сверхкритической части сопла
(для конического сопла представляет собой линейную функцию от х), - производная,
для простоты расчетов определяемая аналитически.
На каждом шаге интегрирования по времени по известным параметрам состояния р, Т производится расчет состава смеси с учетом докритических кластеров (сверхкритические при этом из расчета исключаются) [18].
На рис. 1 приведены результаты расчета (температура потока и размер частиц конденсированной фазы от точки Вильсона) для сопла, рассмотренного в работе [2], радиус критического сечения 0.1 мм, длина сопла 13 мм, угол полураскрытия конуса 2 градуса, давление торможения 5 бар, температура торможения 293 К, газ - криптон. Для этого сопла и параметров торможения газа температура в точке Вильсона равна 57.9 К.
Следует отметить, что в работе [2] в качестве рабочего тела рассматривался ксенон, а его температура конденсации существенно выше, чем у криптона, поэтому допущение о том, что "роль конденсации здесь пренебрежимо мала" кажется достаточно грубым.
^ нм 80.0 60.0 40.0 20.0 0.0 \\
Рис. 1. Параметры потока после точки Вильсона для сопла из [2]
На рис. 2 приведены результаты расчета (температура потока и размер частиц конденсированной фазы от точки Вильсона) для сопла, рассмотренного в работе [4], радиус критического сечения 0.17 мм, длина сопла 11.42 мм, угол полураскрытия конуса 4.3 градуса, давление торможения 3 бар, температура торможения 200 К, газ - криптон. Для этого сопла и параметров торможения газа температура в точке Вильсона равна 58.4 К. Расчетный размер конденсированных частиц на выходе из сопла составляет около 64 нм, а согласно экспериментальным данным [4] размер частиц криптона на выходе из сопла составил около 100 А (10 нм). Такое существенное различие расчетных и экспериментальных данных можно объяснить тем, что в расчете принимается течение идеального газа, т.е. не учитывается вязкое трение, которое для таких малых сопел будет оказывать существенное влияние на параметры потока и приводить в первую очередь к повышению температуры потока. Этот эффект может привести к более медленному расширению потока в сопле [20] и, соответственно, к замедлению снижения температуры в
потоке, а, как следствие, к смещению точки Вильсона вниз по потоку и замедлению роста конденсированной фазы. Но для уточнения этого эффекта необходимо проведение численных исследований в двумерной осесимметричной постановке для течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа, что не являлось задачей данного исследования.
К, нм 80.0 \\
Рис. 2. Параметры потока после точки Вильсона для сопла из [4]
Как отмечено выше, при конденсации в потоке газа выделяется тепло, что приводит к увеличению температуры и давления в потоке, однако на рис. 1, 2 видимого отклонения кривой температуры от условий адиабатного расширения не видно. Это может быть связано с малым размером сопла, из-за которого процесс конденсации не успевает протекать полностью. Для проверки этой гипотезы проведено моделирование течения криптона в сопле с радиусом критического сечения 0.5 мм, длиной сопла 50 мм, углом полураскрытия конуса 2 градуса, давление торможения 5 бар, температура торможения 293 К. Результаты расчета (температура потока и размер частиц конденсированной фазы от точки Вильсона) представлены на рис. 3.
На рис. 3 четко виден перегиб на кривой падения температуры по длине сопла, что связано с выделением тепла при конденсации. Радиус образующихся частиц достигает 300 нм, а температура в точке Вильсона равна 58.7 К.
R, нм 300.0 200.0 100.0 0.0 \\
Рис. 3. Параметры потока после точки Вильсона для сопла с радиусом критики 0.5 мм
Таким образом, в результате моделирования конденсации криптона в сверхзвуковом сопле при допущении невязкого течения, были получены значения температуры в точке Вильсона (точке начала конденсации) около 58 - 59 К, что значительно ниже точки фазового перехода 119.78 К. Однако, следует отметить, что в данном случае речь идет о соплах очень малого размера с диаметром критического сечения не более 1 мм, и процесс конденсации может быть незавершенным. Отличие полученных результатов по размерам конденсированной фазы от экспериментальных можно объяснить также малым размером сопла и необходимостью учета вязких эффектов, что является темой для дальнейших исследований.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проект № 20-08-00481_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Modeling of Homogeneous Condensation of Crypton in the Supersonic Nozzle
Korepanov M. A., Morar G., Alies M. Yu.
Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The flow of an inert gas (krypton) in a conical nozzle is considered. To determine the temperature at the start point of the condensation process - the Wilson point, a numerical simulation of the process was carried out for nozzles of various sizes. It is shown that the process of homogeneous condensation in the considered nozzles proceeds, but practically does not affect the rate of temperature drop due to the small size of the nozzles, since does not have time to complete the condensation process in the nozzle. The obtained temperature values at the Wilson point (the point of the onset of condensation) are 58-59 K, which is significantly lower than the phase transition temperature - 119.78 K.
KEYWORD: homogeneous condensation, conical nozzle, Wilson point, krypton.
REFERENCES
Корепанов Михаил Александрович, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: kma@udman.ru
Морар Габриела, младший научный сотрудник УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: morarga19@smail.com
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, директор УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: aliesmy@mail. ru