Спросить
Войти
ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Том (А) 33
УДК 541.64:539.3
© 1991 г. А. Л. Свистков, Л. А. Комар
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОФЛУКТУАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ УСЛОВИЙ АДГЕЗИОННОГО И КОГЕЗИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ ЭЛАСТОМЕРНОЙ МАТРИЦЫ ОКОЛО ТВЕРДОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ
Рассмотрены особенности применения статистической термофлук-туационной теории прочности для анализа условий адгезионного и коге-зионного разрушения эластомерной матрицы около единичного твердого включения. Вычислены вероятности разрушающих напряжений, зависимость их от размеров включений, от скорости приложения нагрузки. Анализируются условия смены характера повреждения системы с адгезионного на когезионное при изменении размеров включений и скорости нагружения.
Широкое применение в промышленности имеют композитные материалы с твердым наполнителем зернистого типа и эластомерным связующим (резины). Их прочностные свойства существенно зависят от размеров включений [1]. Чтобы выяснить причину усиления материалов мелкодисперсным наполнителем Джент и Парк экспериментально исследовали условия появления адгезионных и когезионных повреждений в матрице около единичных твердых сферических включений [2]. Было показано, что повреждение эластомерного связующего происходит при значительно меньшем растягивающем напряжении около больших включений, чем в окрестности малых. Наблюдаемый масштабный эффект (зависимость прочности от геометрических размеров) хорошо известен [3, 4]. Статистическая теория объясняет его наличием в материале большого числа естественных неоднородностей и микротрещин, предлагает для описания соответствующие математические аппараты [5—10].
Реальные процессы разрушения материалов на эластомерной основе имеют временные характеристики. Это связано с существованием флуктуирующих структур на микроскопическом уровне [11, с. 555] и термо-флуктуационным характером появления повреждений [12, 13]. Именно с кинетических позиций следует описывать явления роста поврежденно-сти и масштабный эффект в полимерах [14]. Цель настоящей работы — обобщение аппарата статистической теории прочности Болотина [6] на кинетические представления теории термофлуктуационного разрушения Бартенева [3]. Полученные выражения использовали для численного моделирования экспериментов Джента и Парка.
За основу возьмем два утверждения. Первое из них имеет следующую математическую формулировку:
где Р. — вероятность того, что в эластомере объемом V с площадью контакта с поверхностью наполнителя 5 на интервале времени [£0, £] не произойдет адгезионных и когезионных повреждений; Рцк — вероятность отсутствия появлений в элементе объема Д У^У) в интервале времени [¿о, £]) когезионных повреждений; — вероятность отсутствия
появлений в элементе поверхности контакта ASn(AS„czS) в интервале времени Att адгезионных повреждений.
Вторым отправным положением является допущение
lim —1_1пР1ла = Фа(аа), (3)
Д<4->0 tiAön
где Фк и Фа — некоторые функции; ок — инвариант тензора напряжений в точке эластомера с координатами xh yh z} (к которой стягивается при предельном переходе объем AVj) в момент U (получаемый при стремлении интервала времени ДU к нулю); аа — скалярная характеристика вектора усилий на поверхности контакта с наполнителем в точке с координатами -хп, Уп, zn (к которой стягивается при предельном переходе элемент поверхности ДSn) в момент времени tu Физический смысл утверждений (1) —(3) заключается в постулировании временного вероятностного характера процесса разрушения и зависимости его только от напряжений, действующих в момент разрушения в точках, где происходит разрушение.
Логарифмируя выражение (1) и используя условия (2), (3), приходим к равенству
+ ®.[o.(ij,a;„,y»,zn)]Aif A5„+0(Ai, ASn)\\,
которое после предельного перехода Ati->-0, AF,-»-0, ASn-^O (получаемого путем все более мелкого дробления объема F, поверхности S и интервала времени [i0, i] на части), приводит к искомой зависимости
Р.=ехр { i [ jЯ Фк dV+ Я Фа dS ] dt}
&г, v S
Таким образом, вероятность события, противоположного отсутствию появлений на интервале времени [i0, £] повреждений, оценивается выражением
• р=1_ехр{ 1[Ш (4)
Возьмем в качестве функций, определяющих условия появления повреждений в материале, следующие зависимости:
Ф,< = - —ак>«ехр(--^)я(ак) (5)
УСц л- JL
Фа = - — a^expi-^Wa), (б)
Ха fti
ГД6 Хк,
UU — некоторые константы; к — постоянная Больцма-на; Т — температура; Н — функция Хевисайда. Выражение (6) отвечает за описание адгезионного разрушения на поверхности контакта с частицами наполнителя и выбрано в виде, аналогичном выражению (5). В свою очередь зависимость (5) содержит в себе информацию о когезионном разрушении матрицы в композитном материале. Ее вид выбран из требования удовлетворения формуле Бартенева. Речь идет об описании экспе2386
риментов по нагружению однородного эластомерного образца без наполнителя (5=0) постоянной по времени нагрузкой о. Его долговечность (среднее время до разрушения) должна подчиняться зависимости [3]
<0=то-"»ехр(^) (7)
Математическое ожидание времени до разрушения
Ф=) {1-й)—<11,
вычисленное с использованием конкретного вида вероятности (4), приводит к выражению
В случае выбора в качестве инварианта ск средних (гидростатических) напряжений (как это будет осуществлено ниже) связь между растягивающим напряжением а и инвариантом ак в одноосном нагружении осуществляется по формуле
а„ = —о
Таким образом, формула (7) автоматически удовлетворяется и в качестве следствия получается зависимость параметра т от объема образца V. Эксперименты действительно подтверждают существование подобной связи [3, 14]. Необходимая нам информация для математического моделирования экспериментов Парка и Джента содержится в формулах (4)-(6).
Рассмотрим бесконечный упругий материал, содержащий твердое сферическое включение. На границе матрица — частица наполнителя выполняются условия полного прилипания. На бесконечности приложено однородное поле нагружения. Пусть это будет одноосное растяжение вдоль оси г напряжением, равным а». Вычисления осуществим в рамках линейной гуковской модели с использованием аналитического решения [15]. Однако прежде, чем применим для вычисления вероятности формулу (4), уточним в ней границы интегрирования. Поверхностный интеграл необходимо брать по всей границе сферического включения. С объемным же интегралом дело обстоит сложнее. Ниже будем осуществлять интегрирование по областям материала, наиболее опасным с точки зрения появления когезионного разрушения. Варьируя размеры этих областей, покажем, в каких частях связующего почти наверняка должны появиться разрывы эластомера, а в каких частях это практически невозможно. Как показывают эксперименты, когезионное разрушение матрицы происходит около полюсов включений [2]. Поэтому целью нашего исследования будут их окрестности (части материала, точки которых удалены на расстояние, меньшее ограничения г от ближайшего из полюсов). Другими слозами, интегрирование будем осуществлять по двум сферам, центры которых находятся в полюсах твердой частицы, за исключением тех их частей, которые попадают внутрь частицы. Значение ограничения размера областей г будем изменять в пределах от нуля до радиуса включения Д(О^г^Д).
Во всех проводимых испытаниях должно наблюдаться только когезионное разрушение, когда вклад поверхностного интеграла в формуле (4) заметно меньше вклада от объемного интеграла
Рис. 1. Зависимость приложенных на бесконечности напряжений, вызывающих разрушения в системе включение - упругая матрица, от размеров включения при адгезионном (1) и когезионном разрушении (2). В заштрихованных областях вероятность разрушения системы равна ОД Сплошные линии показывают зависимость математического ожидания <Оо»> от £)-0>5
и, наооорот, адгезионный отрыв матрицы от поверхности наполнителя во всех экспериментах будет наблюдаться тогда, когда знак неравенства (8) изменится на противоположный
ЯФ.лу » Я!
На практике это достигается специальной обработкой поверхности включения [2]. При анализе когезионной прочности значение энергетической характеристики связи матрица — включение будем принимать очень большим (Е/а=°°), а при анализе адгезионного разрушения будем считать большой энергетическую характеристику прочности полимерной сетки (£7К=оо). Осуществляя необходимые математические выкладки, получаем, что в рамках указанного упрощения вероятность появления когезионного разрушения вычисляется по формуле
Р=1-ехр(-оь* Л3ск), (9)
а адгезионного разрушения — по уравнению
Р= 1—ехр (—о» Ягсл), (10)
где значение констант ск и са определяются равенствами
Интервал [£о, в данном случае представляет собой время наблюдения, в течение которого фиксируются разрушения. Константы ск и са не зависят от величины приложенной нагрузки о*, и размера твердой частицы Л.
В первую очередь покажем, как меняется адгезионная и когезионная прочность системы матрица — включение при изменении размера твердой частицы. Результаты вычисления для материала т-4 [2] графически представлены на рис. 1. Для расчета использованы следующие значения констант: г=й, Ьк—9, Ьа=4. Математические выражения, характеризующие свойства материала и время наблюдения, имели следующие числен2388
Рис. 2. Области наиболее вероятного появления повреждений в системе твердое сферическое включение — бесконечная упругая матрица при когезионном (а) и адгезионном разрушении (вероятность появления
повреждений 0,9) (б)
ные значения:
(¿-¿о)
-ехр \\ ЪТ
-ехр\\ ЪТ
Ка Х к1
,56 10е МПа~9м~
=1,28 106 МПа-&-м"
Согласно формулам (9) и (10), зависимость математического ожидания нагрузки на бесконечности вызывающей появление адгезионных и ко-гезионных повреждений от диаметра твердой частицы Б=2Д, описывается соответственно формулами
<о„>а=аа/УС, <ом>к=ак/У1),
где константы аа и аК для выбранного материала имеют следующие значения: аа=0,0187 МПа-м&,г; а„=0,127 МПам&3. Результаты получены при использовании в качестве инварианта тензора напряжений ок гидростатических напряжений ок = — (0хх+а„у+ахг) и в качестве скалярной меры
отрывных усилий радиальных растягивающих напряжений оа=оГ1.
Именно такой выбор определяющих параметров в формулах (5) и (6) позволяет удовлетворительно описать место появления первичного повреждения (рис. 2). На рис. 1 заштрихованы области значений напряжений Сое, при которых с вероятностью 0,9 должно произойти разрушение связующего или его отслоение от поверхности частицы. Интервалом около экспериментальных точек отмечены границы экспериментального разброса. Анализ графической информации показывает, что математическое описание адгезионной и когезионнох! прочности с помощью статистической термофлуктуационной теории позволяет удовлетворительно описать экспериментальные данные по разрушению матрицы около единичного твер2389
Рис. 3. Зависимость вероятности появления повреждений в упругой матрице от размеров исследуемых областей: а - когезионное разрушение, б - адгезионное разрушение. Р,& — вероятность когезионного разрушения, вычисленного для значения г= =Д; Рц* — вероятность адгезионного разрушения, вычисленного для значений
дого включения. Таким образом, она является одной из теорий, позволяющей рассчитывать масштабный эффект прочности эластомеров.
Определим размеры области наиболее вероятного появления повреждений. Для этого будем изменять границы интегрирования в выражении (4). Расчеты показывают, что границей области наиболее вероятного появления когезионного разрушения является поверхность сферы, удаленная от полюса частицы наполнителя на третью часть ее радиуса 1
(г = — И, рис. 2, а). Увеличение размеров области, получаемое при из-о
менении параметра г, приводит к незначительному росту вероятности когезионного разрушения (рис. 3, а). Это объясняется тем, что увеличение размеров области оценки прочности связующего осуществляется за счет объема материала, разрушение которого маловероятно. В свою очередь частью поверхности, в которой преимущественно должно происходить отслоение связующего, являются участки границы наполнителя, радиус-вектор точек которых образует с осью г углы 6<л/6 или >5л/6 (рис. 2, б и 3, б). Приведенные графики получены при условии приложения на бесконечности нагрузки о», равной математическому ожиданию напряжений, вызывающих соответственно когезионное или адгезионное разрушение. Символами Ра* и Рк* обозначены вероятности разрушения, вычисленные для значений г=Д и (Хб^л. Интегрирование велось по областям и поверхностям как верхней, так и нижней частях и окрестностях частицы.
Необходимо отметить еще одно важное следствие. Изменяя значение энергетического взаимодействия матрицы с поверхностью наполнителя ?7а (с помощью специальной обработки поверхности) можно прийти к следующей ситуации. На больших включениях будет наблюдаться адгезионное разрушение, на малых — когезионное. Статистическая термофлуктуа-ционная теория прочности позволяет прогнозировать не только влияние масштабного фактора, но и возможную смену характера разрушения в зависимости от геометрических размеров системы. Наблюдать это явление можно, когда параметры системы £/а и 17к не отличаются значительно друг от друга (нельзя использовать упрощающее предположение 1/^—°° или ик=оо).
Формула (4) дает возможность рассчитывать изменение значения разрывных усилий в зависимости от скорости нагружения системы. В проделанных выше расчетах предполагалось, что матрица на бесконечности нагружена постоянной во времени нагрузкой и время наблюдения за образцом было 10 мин. Расчеты нагружения системы с постоянной скоростью приводят к результатам, показанным на рис. 4. Статистическая термо-флуктуационная теория предсказывает увеличение разрушающих напряжений при повышении скорости нагружения материала и смену характера повреждения. На оси значений скорости приложения нагрузки для включений радиусом 50 мкм выделяются три участка. При скорости нагруже^
<бм>, М Па
Рис. 4. Зависимость математического ожидания приложенных на бесконечности напряжений, вызывающих повреждения в системе твердая сферическая частица — упругая матрица, от скорости o»& ее нагружения при адгезионном ¡7К=°° (1) и ко-гезионном разрушении 0а =» (2); кривая 3 отвечает возможному адгезионному и когезионному повреждению. Радиус частиц 50 мкм
ния <1 МПа/с возможно только адгезионное разрушение связи матрица — частица наполнителя, при значениях >105 МПА/с —только когезионное разрушение матрицы, а в интервале от 1 до 105 МПа/с одновременно могут происходить повреждения системы обоих видов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Институт механики сплошных сред Поступила в редакцию
АН УрО СССР 11.02.91
A. L. Svistkov, L. A. Komar
USAGE OF THE STATISTICAL THERMOFLUCTUATION THEORY OF THE STRENGTH FOR DESCRIPTION OF CONDITIONS OF ADHESIONAL AND COHESIONAL DECAY OF THE ELASTOMER MATRIX NEAR THE SOLID SPHERIC PARTICLE
Features of the application of the statistical thermofluctuation theory of the strength to analysis of conditions of adhesional and cohesional fracture of the elastomer matrix near the single solid inclusion are discussed. Probabilities of fracture stresses, their dependence on inclusions dimensions and on the rate of loading are calculated. The conditions of the transition from adhesional to cohesional character of the fracture with the change of inclusions dimensions and of the loading rate are analysed.
