Спросить
Войти
УДК 514.76
А. В. Букушева]
Поднятие полуинвариантных подмногообразий на распределения почти контактных метрических многообразий
Изучаются гладкие сечения X е Г(В) распределений Б почти контактных метрических многообразий М. Доказывается, что если и е Г(В) — ковариантно постоянное векторное поле относительно М-связности V^, а подмногообразие М многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, то и (М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении В многообразия М.
Введение
Геометрия сечений касательных расслоений с метрикой Сасаки изучалась в работах [7; 10]. Так, например, в работе [10] было показано, что ковариантно постоянное векторное поле определяет вполне геодезическое подмногообразие касательного расслоения. Автором статьи изучались сечения распределения субриманова многообразия контактного типа [2].
Поступила в редакцию 15.05.2020 г. © Букушева А.В., 2020
Предварительно на распределении с помощью внутренней связности задавалась риманова метрика типа Сасаки. Пусть М с М — подмногообразие многообразия М. Тогда допустимое векторное поле V е Г(О) определяет подмногообразие
и(М) с О многообразия О. В настоящей работе доказывается, что если V е Г(О) — ковариантно постоянное векторное
поле относительно К-связности V^, а подмногообразие М многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, то V (М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении О. Полуинвариантные подмногообразия ввел в рассмотрение А. Бежанку [8].
Под М будем понимать почти контактное метрическое многообразие с заданной на нем структурой (М ,%,г, g ,ф, О), где г — 1-форма, порождающая распределение О: О = кег (г); % — векторное поле, порождающее оснащение О^ распределения О: О = 5рап(%), g — риманова метрика на многообразии М, относительно которой распределения О и О^ взаимно ортогональны. При этом выполняются равенства г(%) = 1 и
g (И) = 1.
Назовем О распределением почти контактной метрической структуры. Для проведения необходимых вычислений будем
использовать атлас карт К(ха) (а, в, у = 1, ..., п; а, Ь, с = 1, ...,
п- 1, I, ], к = 1, ..., 2п - 1) таких, что 8п [1]. Введем оператор
проектирования Р: ТМ ^ О, определяемый разложением
ТМ = В Ф В^. Векторные поля Р (8а) = еа = 8а - Гпа 8п линейно независимы в каждой точке и порождают систему В: В = 5рап{еа). Легко проверить, что [еа,е" ] = 2®"а8п.
Рассмотрим допустимые тензорные поля [3; 4] следующего вида:
ИХ = 2 (Iр) (X), С (X ,¥) = 1 (Ьн g ) (X ,¥),
ю(Х,Г) = g{¥Х,¥), g(СХ,¥) = С(X,¥), X,¥ еГ(ТМ). В адаптированных координатах имеем
И" = 28п< , СаЬ = 2^аЬ, С" = , ^ = .
Обозначим коэффициенты связности Леви-Чивиты тензора g с помощью символов Гд^. Имеет место следующее предложение [5].
Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты контактного метрического многообразия в адаптированных координатах принимают вид
Г1 =1 gad (eЬgcd + ecgЬd - edgЬc ), ГПЬ =Ща - СаЬ,
Г" = гЬ = СЬ +шь Гп =Га =0 ап па а а па пп
Пусть V: Г(В)хГ(В)^Г(В), где Г(В) — модуль допустимых векторных полей, внутренняя линейная метрическая связность [3; 4].
Коэффициенты связности V задаются соотношениями
Vg еЬ = ГсаЬес. Формулы преобразования для коэффициентов связности имеют обычный вид:
Г 1 = Аа Аь А IГ ¡г I + А ,еаА, . аЬ а Ь с а Ь с а Ь
Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение D = я-1 (D), где я: D ^M — естественная
проекция, раскладывается в прямую сумму вида D = HD © VD, причем VD — вертикальное распределение на тотальном пространстве D.
Гладкая структура на распределении D задается следующим образом. Каждой адаптированной карте K(xa) многообразия M ставится в соответствие сверхкарта K (xa, xn+а) на многообразии D, где хп+а — координаты допустимого вектора в базисе еа = да -Г&^ дп. Задание связности над распределением сводится к заданию объекта { xa, хп+а ) такого, что
HD = spa&{ёа), где Sa = да - Г"дп -Gbaдп+b.
Если V — внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N: D ^ D — поле допустимого тензора типа (1,1), то N-продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении (D,n, M), определяемую разложением TD = HD © VD, такую, что HD = HD© Брап{ё), где ё = дп -(NX)v, X еD, (NX)v — вертикальный лифт. В базисе (ёа, дп, дп+а) поле s получает следующее координатное представление:
S = дп -mx^дп+а.
Допустимое тензорное поле, определяемое равенством
R{X, Y) Z = VxVyZ - VyVXZ - Vp{x j]Z -P[Q[X,Y], Z],
где Q =I— P, названо Вагнером [5] тензором кривизны Схоуте-на. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид
Ribc = 2е[аГЬ]е + 2Г[а\\е\\ГЬ]с.
Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения В, а распределение В, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, — распределением нулевой кривизны. Частные
производные 8пГЪс = Р§с являются компонентами допустимого тензорного поля, обозначаемого в дальнейшем Р^Г). Векторные поля
(Ё =8 -Гп 8 -ГЬ хп+с 8 и £ = 8 -Ыахп+Ь 8 8 ) У а ~ а 1 аип 1 асл ип+Ь&ь ~ип ип+а?ип+а>
задают на D адаптированное поле базисов, а формы
(СхЪ, 0й = Схп + ГпасХа, 0п+а = сХп+а + ГаЪсхп+ссХЬ + ^х^сХ") —
сопряженное поле кобазисов. Имеют место следующие структурные уравнения:
[Ёа ,£Ь ] = 2ЧаЁ + Хп+С ^"а^С + 4ЪС )8п+с,
[а ,£] = хп+с (8ИГ^ — ^ъ^С )8п+с,
[ Ёа,8п+Ь] = Г аЬ8п+с,
[Ёа,8п+а] = ^а8п+с. Определим на многообразии В почти контактную структуру (!),3,Ё,Х = ^оп*, В), полагая
JXИ = (рт )И, JXv = (рГ /, 3 (£) = 0.
Здесь п: В ^ М — естественная проекция. Определим на многообразии В метрику g, подчиняющуюся равенствам
g (Xй ,¥И ) = g (Xv ,¥v ) = g (X, ¥ ),
g (Xй, ¥v ) = g (Xй ,£) = ^ (Xv ,£) = 0.
Назовем почти контактную метрическую структуру (В,3,ё,Л = ц°я*, В) продолженной структурой.
Пусть и е Г(О) — допустимое векторное поле и У^ — К-связность на почти контактном метрическом многообразии М. Для каждого вектора У е ТМ, У = уаёа + у"дп определяется его горизонтальный лифт У^ = Уа ёа + у" ё. Допустимое векторное поле и е Г(О) определяет гладкое сечение и: М^О. Пусть и* : ТМ ^ ТО — соответствующее касательное линейное отображение. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть и е Г(О) — допустимое векторное поле, У^ — Ы-связностъ на почти контактном метрическом многообразии Ми У е ТМ — произвольный касательный к многообразию М вектор. Тогда выполняется следующее условие:
ууУ и = 0 □ и*(у) = Ук.
Условие У ^ и = 0 в адаптированных координатах перепишется в виде
уа (ёаиЬ +ГЬасис) = 0, у" (дпиЬ + пЬсис) = 0.
Переписывая в адаптированных координатах условие и*(У) = У^, после некоторых преобразований убеждаемся в справедливости теоремы.
Подмногообразие М многообразия М назовем полуинвариантным подмногообразием [8], если существует гладкое распределение О: х ^ Ох с Тх (М) на многообразии М, удовлетворяющее следующим условиям:
Ь1: X ^ Ь^ Тх (ММ)
антиинвариантно, то есть <р(ЬХ1) с Тх (ММ)1 для всех х е ММ.
Теорема 2. Пусть и е Г(Ь) — ковариантно постоянное векторное поле относительно Ы-связности VЫ, а подмногообразие Мм многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, тогда и(М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении Ь многообразия М.
Доказательство. Используя теорему 1, непосредственно проверяем, что выполняются следующие равенства:
М(и* (Ь)) с и* (Ь), М(и* (Ь1)) с и* (ТММ)1,
что и доказывает теорему.
Заключение
Справедливость теоремы 2 не зависит от выбора эндоморфизма N. В то же время свойства полуинвариантного подмногообразия Мм зависят от класса почти контактного метрического многообразия М, а свойства продолженной структуры — от выбора эндоморфизма N [5; 6]. Последнее замечание служит мотивацией для дальнейшего исследования проблемы поднятия полуинвариантных подмногообразий на распределения почти контактных метрических многообразий.
Список литературы
A. Bukusheva1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia bukusheva@list.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-5
Lifting semi-invariant submanifolds to distribution of almost contact metric manifolds
Submitted on May 15, 2020
Let M be an almost contact metric manifold of dimension n = 2m + 1. The distribution D of the manifold M admits a natural structure of a smooth manifold of dimension n= 4m + 1. On the manifold M, is defined
a linear connection VN that preserves the distribution D; this connection is determined by the interior connection that allows parallel transport of admissible vectors along admissible curves. The assigment of the linear
connection VN is equivalent to the assignment of a Riemannian metric of the Sasaki type on the distribution D. Certain tensor field of type (1,1) on D defines a so-called prolonged almost contact metric structure. Each section U e T(D) of the distribution D defines a morphism
U : M ^ D of smooth manifolds. It is proved that if A4 c M a semiinvariant submanifold of the manifold M and U e T(D) is a covariantly
constant vector field with respect to the N-connection VN, then U (M ) is a semi-invariant submanifold of the manifold D with respect to the prolonged almost contact metric structure.
References
