УДАРНАЯ КАВИТАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 532.528

doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.27-37

УДАРНАЯ КАВИТАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ

А.А. Аганин, М.А. Ильгамов, И.Н. Мустафин

Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН,

г. Казань, 420111, Россия

Рассматривается динамика жидкости в цилиндрической емкости и импульсное воздействие на ее днище при ударе по ее верхнему концу. Изучается случай, когда при ударе в столбе жидкости возле днища возникает кавитация. Исследование проводится в условиях известных экспериментов по разрушению бутылки в результате удара по ее верхнему концу. Применяются одномерные модели гидродинамики, линейной акустики и несжимаемой жидкости. Уравнения гидродинамики рассчитываются классическим методом С.К. Годунова. Изменение ускорения днища описывается кусочно-постоянной функцией, а кавитация моделируется одиночной кавитационной полостью в виде цилиндрического слоя между днищем и столбом жидкости. Кавитация возникает при падении давления жидкости ниже давления насыщенного пара. Показывается, что разрушение бутылки в экспериментах происходит вследствие гидроудара, вызванного коллапсом кавитационной полости, которая схлопывается в результате смещения столба жидкости. Влияние волн в столбе жидкости на его удар по днищу незначительно. При уменьшении давления на внешней поверхности жидкости от атмосферного ударное воздействие на днище убывает. Устанавливается также оптимальная высота столба жидкости для достижения больших давлений на днище.

Теоретическому и экспериментальному изучению воздействия жидкости на твердые стенки в условиях кавитации в окрестности стенки посвящена обширная литература (см., например, [1-11]). Фундаментальные аспекты кавитации излагаются в [1-4]. В [5] рассматривается роль кавитационных явлений в ряде технологических операций (например, измельчения различных сред, смешивания, очистки поверхностей), исследуется их применение в космических технологиях. В [6-8] экспериментально и теоретически изучается кавитационное взаимодействие падающей ударной волны с тонкостенной пластиной, представляющей собой днище вертикальной трубы. В [9] рассматриваются различные аспекты динамики пузырьков у стенки, а вопросы воздействия пузырьков на стенку - в работах [10, 11].

В настоящей работе изучается воздействие на днище частично заполненной жидкостью цилиндрической емкости при сильном ударе по ее верхнему концу. В результате удара в жидкости в окрестности границы ее контакта с днищем емкости резко понижается давление, возникает кавитация (кавитационные полости, пузырьки). В фазе пониженного давления размеры кавитационных полостей вследствие их расширения и слияния могут значительно увеличиться. Это фактически

Аннотация

Введение

означает, что столб жидкости отрывается от днища. Последующее смещение жидкости в сторону днища приводит к схлопыванию (коллапсу, сжатию) указанных кавитационных полостей, что может сопровождаться большим и резким повышением давления в малой окрестности днища емкости. А это может приводить, в свою очередь, к механическим повреждениям как днища, так и боковой поверхности емкости в окрестности днища (один из вариантов реализации кавитационного разрушения). Изучение проводится в условиях экспериментов [12-14], посвященных исследованию кавитационного разрушения бутылки, частично заполненной жидкостью, при резком ударе по ее горлышку. Основной результат авторов [12-14] состоит в том, что разрушение обусловлено не напряжениями, возникающими в стенках бутылки при ударе, как считалось ранее, а кавитацией жидкости.

Различные практические ситуации отрыва столба жидкости от твердой поверхности, разнообразные модели и методы исследований этого явления, полученные результаты и большое число ссылок по данной теме приведены в обзорной работе [15]. Качественное аналитическое моделирование образования и схлопывания кавитационной полости в экспериментах [12-14] проведено в [16, 17]. При этом жидкость считалась идеальной несжимаемой, перемещение днища аппроксимировалось полиномом четвертой степени. С помощью поправочного коэффициента учитывалось изменение плотности жидкости за счет наличия в ней кавитационных пузырьков. Резкое повышение давления происходит в условиях адиабатического сжатия полости. В настоящей работе жидкость полагается сжимаемой, используется более точная аппроксимация экспериментально замеренного в [12-14] ускорения днища бутылки. Предполагается реализация плоского удара нижней поверхности столба жидкости и днища емкости при отсутствии адиабатического сжатия полости. Такая картина заключительной стадии рассматриваемого процесса может иметь место при истечении пара из сжимающейся полости через возможные повреждения стенок или при нарушении одномерности процесса. Действительная картина может состоять одновременно из обоих заключительных сценариев процесса.

Рассматривается динамика жидкости в цилиндрической емкости при ударе по ее верхнему концу (рис. 1). Изучается случай, когда в результате обусловленного ударом ускоренного движения емкости вниз в окрестности ее днища в столбе жидкости возникает кавитация - образуются кавитационные пузырьки. Сначала пузырьки, увеличиваясь в размерах и сливаясь, формируют относительно однородную область (рис. 1, Ь), что фактически означает отрыв столба жидкости от днища. Затем эта область схлопывается, вызывая ударное нагружение днища.

Для описания динамики жидкости применяется система уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и полной энергии,

+ ди = 0 +д(ру2+Р) = 0 д^ + д(реу+ру) = 0 т

дЬ + д х 1 дЬ + д х 1 дЬ + дх & ()

Здесь £ - время, х - осевая координата, р - плотность, V - скорость вдоль оси, р - давление, е = е + v2/2 - полная энергия единицы массы, е - внутренняя энергия единицы массы. Система (1) замыкается уравнением состояния «жесткого» газа [18]

р = (Г - 1)ре - ГВ, (2)

где Г и В - константы (для воды Г = 7.15 и В = 3.045 кбар).

Считается, что кавитация возникает при падении давления жидкости до уровня давления ее насыщенного пара р8 « 0.023 бар в виде тонкого слоя вдоль всего сечения столба жидкости, заполняющего емкость. В волне разрежения, образующейся

Рис. 1. Динамика жидкости в емкости при ударе по ее верхнему концу (а, Ь) и схема, используемая при моделировании (с)

Рис. 2. Изменение осевого ускорения днища бутылки (до начала интенсивного воздействия на днище) при ударе по ее горлышку в экспериментах [12-14] (сплошная линия) и его кусочно-постоянная аппроксимация (пунктирная линия)

в начале удара в столбе жидкости у днища емкости, давление р8 достигается при скорости днища , определяемой как [19]

"" = " (г—Г)с

Отметим, что « Др/(росо), где Др = ро — р8, ро - давление на свободной поверхности жидкости, ро, со - плотность и скорость звука в невозмущенной жидкости (в воде ро = 1000 кг/м3, со = 1500 м/с).

Решение уравнений (1),(2) находится численным методом С.К. Годунова [19].

Исследования проводятся в условиях экспериментов [12-14], направленных на выявление механизма разрушения бутылки, реализующегося при ударе по ее горлышку. Экспериментально установленный закон изменения ускорения днища бутылки представлен на рис. 2 сплошной линией. При моделировании применяется удобная для анализа кусочно-постоянная аппроксимация (рис. 2, пунктирная линия): а = апев = —600д при 0 < Ь < 0.8 мс, а = аро8 = 200д при 0.8 мс <Ь< 2.8 мс и а = 0 при Ь > 2.8 мс, где д - ускорение свободного падения.

Возникающие при ударе напряжения в стенках распространяются в сторону днища со скоростью звука в материале бутылки С и достигают его примерно через « Н/С, где Н - высота емкости (бутылки). Для стеклянной бутылки (С « 4800 м/с) с Н « 24 см это время « 0.05 мс, что на два порядка меньше наблюдаемого в экспериментах промежутка времени между началом удара

Ро + В

Рис. 3. Распределение давления (а, Ь) и скорости (с) в столбе жидкости вдоль его оси на три момента времени (кривые 1-3): ¿1 = 0.0055 мс, = 0.047 мс и ¿3 = 0.029 мс. Стрелками указано направление распространения волн, горизонтальными штриховыми линиями - верхняя граница столба жидкости хг

и разрушением бутылки (около 5.6 мс). Следовательно, возникающие при ударе в стенках бутылки напряжения не определяют механизм ее разрушения, что и подтверждается в [12-14] экспериментами с пустой бутылкой.

Изменение пространственных распределений давления и скорости в столбе жидкости в рассматриваемом процессе от начала удара и до захлопывания кавитаци-онной полости в рамках модели (1) иллюстрирует рис. 3. В относительно кратковременной начальной стадии удара нижняя граница х = хъ столба жидкости остается присоединенной к поверхности х = хд днища емкости (то есть хъ = = хд). В этой стадии давление на границе хъ падает, скорость ее перемещения (вниз) Уъ возрастает, в окрестности хъ формируется уходящая вверх волна разрежения (рис. 3, кривые 1). В некоторый момент времени ^ давление на границе хъ становится равным давлению насыщенного пара р8. В этот момент днище отрывается от нижней границы: между ними возникает кавитационная полость. В рамках принятой кусочно-постоянной аппроксимации ускорения днища (рис. 2) имеем ^ « Vs/aneg ~ 0.01 мс (в экспериментах ^ « 0.3 мс). В дальнейшем давление в полости вплоть до момента ее захлопывания считается неизменным и равным давлению р8. В момент ^ формирование профиля уходящей вверх волны разрежения завершается. Профиль принимает вид, характеризуемый на рис. 3 кривыми 2.

После образования кавитационной полости сначала от нижней границы столба жидкости хъ в направлении его верхней границы х1 уходит волна разрежения (рис. 3, кривые 2). В результате взаимодействия волны разрежения с верхней границей х1 на этой границе образуется уходящая вниз волна сжатия (рис. 3, кривые 3). Затем эта волна сжатия достигает нижней границы хъ, взаимодействует с ней и трансформируется в уходящую вверх волну разрежения. Данная волна разрежения мало отличается от предшествующей волны разрежения (рис. 3, кривые 2). В последующем отмеченный процесс распространения и трансформации уходящих вверх волн разрежения и распространяющихся вниз волн сжатия многократно повторяется. При этом скорость жидкости в столбе при прохождении каждой из этих волн увеличивается примерно на Др/(роСо). По этой причине через некоторое время нижняя граница столба жидкости достигает днища: ка-витационная полость захлопывается.

г, мс мс

(О) (Ь)

Рис. 4. Изменение скоростей (а) и положений (Ь) днища и нижней границы столба жидкости от начала удара до момента захлопывания (указан точкой) кавитационной полости между днищем и столбом жидкости, Н = 13.3 см. Штрих-пунктирные линии 1 соответствуют днищу, сплошные линии 2, пунктирные линии 3 и штриховые линии 4 - моделям гидродинамики, линейной акустики и несжимаемой жидкости соответственно

Рис. 4 характеризует изменение скоростей и положений днища и нижней границы столба жидкости в промежутке от начала удара до момента захлопывания кавитационной полости между днищем и столбом жидкости. На этом рисунке наряду с результатами, рассчитанными по модели сжимаемой жидкости (1), представлены также и результаты, полученные по моделям несжимаемой жидкости и линейной акустики (слабосжимаемой жидкости). При этом в случаях несжимаемой жидкости и линейной акустики для упрощения предполагается, что кавитационная полость между днищем и столбом жидкости возникает в самом начале удара (при £ = 0). Видно, что в более подробном масштабе (вставка на рис. 4, а) профили скорости, рассчитанные с учетом и без учета сжимаемости жидкости, различаются довольно существенно. Так, при учете сжимаемости жидкости они имеют ступенчатый характер (с разрывным переходом от одной ступеньки к другой в модели линейной акустики и непрерывным переходом в модели сжимаемой жидкости (1)), тогда как без учета сжимаемости профиль скорости представляет собой прямую. Вместе с тем в более крупном масштабе все три профиля скорости оказываются весьма близкими. В результате траектории нижней границы столба жидкости, рассчитанные по трем моделям (рис. 4, Ь), являются практически неразличимыми.

На рис. 4 видно также, что модели сжимаемой жидкости (1) и линейной акустики дают близкие результаты, за исключением того, что в профилях модели (1) фронты волн разрежения и сжатия являются наклонными и непрерывными, а не скачкообразными, как в акустическом приближении. Такая разница обусловлена наличием в модели (1) безотрывного смещения нижней границы столба жидкости в начальной стадии удара, тогда как при использовании модели линейной акустики применяется дополнительное упрощающее предположение о том, что столб жидкости отрывается от днища в самом начале удара. Близость решений в рамках моделей линейной акустики и сжимаемой жидкости (1) свидетельствует о малости проявления нелинейных эффектов. Это объясняется малой амплитудой волн.

Из рис. 4 следует, что размер кавитационной полости вдоль оси х (разность хь — хв) возрастает до момента £ « 2.6 мс, а ее последующее захлопывание завершается при ~ 5 мс. В экспериментах пузырьки увеличиваются до момента £ « 3.2 мс, а их коллапс завершается при £ « 5.6 мс. В момент захлопывания полости Ьыъ скорость днища у в = —0.8 м/с, а скорость нижней границы столба жидкости Уь = —3.64 м/с. В результате контакта днища и столба жидкости возникает гидроудар с давлением ~ росо(ув — Уь) ~ 42 бар, вполне достаточным для

Рис. 5. Влияние высоты столба жидкости на давление гидроудара по днищу в результате захлопывания кавитационной полости (кривая 1) и на момент гидроудара (кривая 2), результаты расчетов по модели линейной акустики

Рис. 6. Влияние давления жидкости р0 на давление гидроудара по днищу (кривая 1) и на момент гидроудара (кривая 2), результаты расчетов по модели линейной акустики

реализации наблюдаемого в экспериментах разрушения бутылки. Представляется, что с учетом довольно сильного упрощения рассматриваемого явления при моделировании (одномерность процесса, одна кавитационная полость вместо множества пузырьков и т. д.) полученное согласование результатов расчетов с экспериментальными данными можно считать удовлетворительным.

Влияние высоты столба жидкости на параметры его удара по днищу емкости характеризует рис. 5.

Видно, что давление гидроудара по днищу емкости ~ Росо(уб — щ), возникающие вследствие захлопывания кавитационной полости, по мере уменьшения высоты столба жидкости Н сначала возрастает, а затем уменьшается. Оптимальная для разрушения бутылки высота столба жидкости есть Н « 5 см. Такое изменение величины давления гидроудара обусловлено, главным образом, особенностью траектории днища, а именно довольно быстрым уменьшением его скорости в промежутке 1 < 3 мс. В отличие от этого, момент гидроудара с уменьшением Н монотонно уменьшается.

Влияние давления жидкости на параметры удара столба жидкости по днищу емкости характеризует рис. 6.

Рис. 7. Влияние ускорения днища, характеризуемого параметром к, на давление гидроудара по днищу (кривая 1) и на момент гидроудара (кривая 2), результаты расчетов по модели линейной акустики

Видно, что с уменьшением давления жидкости сила удара столба жидкости по днищу емкости в момент захлопывания кавитационной полости убывает квазимо-нотонно, а момент гидроудара монотонно возрастает.

Влияние ускорения днища емкости на параметры удара столба жидкости по днищу характеризует рис. 7. Для оценки данного влияния отрицательное апев и положительное аро8 значения ускорения днища заменяются соответственно на kaneg и кароа, где к - некоторая константа.

Видно, что с уменьшением к сила удара столба жидкости по днищу емкости в момент захлопывания кавитационной полости убывает квазимонотонно, а момент гидроудара убывает.

Заключение

Проведено численное моделирование воздействия жидкости на днище цилиндрической емкости при сильном ударе по ее открытому концу. Использовалась кусочно-постоянная аппроксимация изменения ускорения днища. Показано, что разрушение бутылки в экспериментах [12-14] происходит в результате гидроудара, обусловленного захлопыванием кавитационной полости из-за смещения всего столба жидкости. Влияние волн в столбе жидкости на его крупномасштабную динамику и его удар по днищу емкости незначительно. С уменьшением высоты столба жидкости до некоторого значения ударное воздействие столба жидкости на днище емкости возрастает, а затем падает. Таким образом, имеется оптимальная высота столба жидкости для достижения больших давлений. С уменьшением давления на верхней поверхности столба жидкости от атмосферного ударное воздействие столба жидкости на днище емкости убывает. С уменьшением диапазона между отрицательным и положительным значениями ускорения днища ударное воздействие столба жидкости на днище емкости убывает.

Литература

Поступила в редакцию 03.07.2019

Аганин Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией

Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН

ул. Лобачевского, д. 2/31, г. Казань, 420111, Россия E-mail: aganin@kfti.knc.ru

Ильгамов Марат Аксанович, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник

Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН

ул. Лобачевского, д. 2/31, г. Казань, 420111, Россия E-mail: ilgamov@anrb.ru

Мустафин Ильдар Наилевич, аспирант, младший инженер-исследователь Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН

ул. Лобачевского, д. 2/31, г. Казань, 420111, Россия E-mail: Ildarmn@mail.ru

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.27-37

Impact-Induced Cavitation in a Cylindrical Container with Liquid

A.A. Aganin*, M.A. Ilgamov** , I.N. Mustafin***

Institute of Mechanics and Engineering, FRC Kazan Scientific Center,

Russian Academy of Sciences, Kazan, 420111 Russia E-mail: *aganin@kfti.knc.ru, **ilgamov@anrb.ru, *** Ildarmn@mail.ru

Received July 3, 2019 Abstract

The dynamics of liquid in a cylindrical container and the pulse action on its bottom under impact on its upper end was considered. The case with cavitation in the liquid column near the bottom was investigated. The study was performed in the conditions of the known experiments on the bottle breaking resulting from impacting on its upper end. One-dimensional models of hydrodynamics, linear acoustics, and incompressible liquid were applied. The hydro-dynamic equations were solved by the Godunov method. Variation of the bottom acceleration was described by a piecewise-constant function, the cavitation was simulated by a single cavity in the form of a cylindrical layer near the bottom. It was shown that in the experiments the bottle breaks because of the water hammer pressure resulting from the cavity collapse. The influence of the waves in the liquid column on the bottom load is insignificant. With decreasing the pressure on the external liquid surface from the atmospheric value, the action on the bottom decreases. There is an optimal height to attain large pressures on the bottom.

Figure Captions

Fig. 1. Dynamics of a liquid in a container at an impact on its upper end (a, b) and the schematic used in the simulation (c).

Fig. 2. The change in the axial acceleration of the bottle bottom (before the beginning of intensive action on the bottom) at an impact on its neck in experiments [12-14] (solid line) and its piecewise-constant approximation (dotted line).

Fig. 3. Pressure (a, b) and velocity (c) distributions in the liquid column along its axis at three moments (curves 1-3): t1 = 0.0055 ms, t2 = 0.047 ms and t3 = 0.029 ms. The arrows indicate the direction of wave propagation, horizontal dashed lines show the upper boundary of the liquid column xt.

Fig. 4. Change of velocity (a) and positions (b) of the bottom and the lower boundary of the liquid column from the beginning of the impact to the moment of collapse (indicated by a dot) of the cavity between the bottom and the liquid column, h = 13.3 cm. Dash-dotted lines 1 correspond to the bottom, solid lines 2, dotted lines 3, and dashed lines 4 correspond to the models of hydrodynamics, linear acoustics, and incompressible liquid, respectively.

Fig. 5. Influence of the liquid column height on the water hammer pressure on the bottom pwh resulted from the cavity collapse (curve 1) and on the moment of attaining the water hammer pressure twh (curve 2); these are the results by the linear acoustics model.

Fig. 6. The influence of the liquid pressure p0 on the water hammer pressure on the bottom pwh (curve 1) and on the moment of attaining the water hammer pressure twh (curve 2); these are the results by the linear acoustics model.

Fig. 7. The influence of the bottom acceleration, characterized by the parameter k, on the water hammer pressure on the bottom pwh (curve 1) and on the moment of attaining the water hammer pressure twh (curve 2); these are the results by the linear acoustics model.

References

/ Для цитирования: Аганин А.А., Ильгамов М.А., Мустафин И.Н. Ударная кави-I тация жидкости в цилиндрической емкости // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-ма-\\ тем. науки. - 2020. - Т. 162, кн. 1. - С. 27-37. - doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.27-37.

For citation: Aganin A.A., Ilgamov M.A., Mustafin I.N. Impact-induced cavitation in / a cylindrical container with liquid. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya \\ Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 1, pp. 27-37. doi: 10.26907/25417746.2020.1.27-37. (In Russian)