Особенности распространения косых волн через границу раздела сред с дислокациями

УДК 539

Особенности распространения косых волн через границу раздела сред с дислокациями

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

На основе уравнений полевой теории дефектов, описывающей динамику дислокационного континуума, исследованы закономерности прохождения плоских косых гармонических волн через границу раздела вязкоупругих сред Фойгта и Максвелла. Определена структура волн поля дефектов при различной поляризации волны смещений. Получены аналитические выражения коэффициентов отражения и преломления волн смещений и волн поля дефектов, распространяющихся в изучаемых средах. Проанализированы зависимости найденных коэффициентов Френеля от угла падения первичной волны и параметров контактирующих сред.

Peculiarities of oblique wave propagation through the interface of media with dislocations

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

The mechanisms of propagation of oblique plane harmonic waves through the interface of Voigt and Maxwell viscoelastic media were studied in the context of field theory of defects which describes dislocation continuum dynamics. The defect field wave structure for different displacement wave polarizations was determined. Analytical expressions were derived for the reflection and refraction coefficients of displacement waves and defect field waves propagating in the media. The dependences of Fresnel coefficients on the incidence angle of a primary wave and parameters of the contacting media were analyzed.

Внешние поверхности и внутренние границы раздела являются актуальными объектами исследований в различных областях физики и механики деформируемого твердого тела [1-3]. С точки зрения физической мезомеханики, изучающей физические механизмы и закономерности процессов деформаций материалов и сред с учетом их структурной организации на разных масштабных уровнях, внешние поверхности и внутренние границы раздела играют особую роль в процессах деформирования и разрушения [4, 5]. В настоящей работе, являющейся продолжением исследований [68], рассматриваются закономерности распространения косых волн через границу раздела сред с дислокациями.

Исследование проводится на основе уравнений полевой теории дислокаций, формально аналогичных уравнениям Максвелла для электромагнитного поля. Уравнения полевой теории дефектов, полученные в рамках калибровочного подхода, описывают динамику дислокационного континуума в зависимости от напряжения и импульса среды, для которых могут быть заданы аналитические выражения, определяющие свойства среды или пространственно-временные распределения. В предыдущих работах были рассмотрены особенности распространения волн смещений и волн поля дефектов в однородных вязкопластических, упруго-вязкопласти-ческих, вязкоупругих средах Максвелла и Фойгта. При наличии границ раздела во всех перечисленных средах,

© Чертова Н.А., Гриняев Ю.В., 2014

за исключением первой, анализировался случай нормального падения первичной волны [9, 10]. Что касается распространения косых волн, то классическими являются результаты теоретических исследований задач контакта упругих сред [11, 12]. Известны исследования прохождения косых волн через границу раздела вязко-упругих сред [13, 14] и вязкопластических сред [7]. Закономерности распространения косых волн через границу раздела вязкоупругих сред с дислокациями до настоящего времени не были изучены.

Исследование проводится на основе уравнений полевой теории дефектов, включающей динамические уравнения калибровочной теории дислокаций [15-17]

вдiIin = -Pn , Seijmд jатп = -д оIin - оin (1)

и кинематические тождества континуальной теории [18]

д i ain = 0 eijmд jаmn = д 0Iin , (2)

где аmn, Imn — компоненты тензора плотности и плотности потока дислокаций; р, оmn — компоненты импульса и тензора напряжений; В, S — константы теории; ejm — тензор Леви-Чивиты, дn, д0 — символы, обозначающие производные по координатам и времени. По определению континуальной теории дислокаций параметры поля дефектов задаются тензором пластической дисторсии ф^

ain =-eijmд j Фmn , Iin =-д0фт,

что позволяет анализировать процессы пластического деформирования на основе уравнений (1), (2). Как отмечалось, указанная система уравнений описывает динамику дислокационного континуума, характеризуемого тензором плотности дислокаций и тензором плотности потока дислокаций, при известных зависимостях напряжений и импульса от координат и времени или заданном определяющем соотношении среды. В работе будут рассмотрены вязкоупругие среды Фойгта и Максвелла, определяемые уравнениями

Oj = Em д Ui + Gm д V, (3)

д о Oj = Ejkiд од Ui +Oij/т, (4)

в которых Uf — компоненты вектора смещений; Eykl, Qjki — компоненты тензоров упругих модулей и коэффициентов вязкости; т — время релаксации. В случае однородной изотропной среды тензоры упругих модулей и коэффициентов вязкости имеют вид:

j =Щ;-5ki + ^(8ik Sji +8иX Gjki = ySj- 5ki + v(5ik Sji + Sii Sjk),

где X, ц — коэффициенты Ламе; у, v — объемная и сдвиговая вязкость упругого тела. Напряжения и импульс P = pd0Ui, где р — плотность среды, удовлетворяют уравнению динамического равновесия д 0Pn =дioin, которое является условием совместности (1).

Рассмотрим две однородные изотропные среды, разделенные плоскостью 2 = 0, как показано на рис. 1 и характеризуемые набором семи констант р, X, ц, у, V, В, Sв рамках моделей (1)-(3) или шести констант р, X, ц, т, В, S в случае модели (1), (2), (4). Среда 1, параметры и величины которой будут иметь верхний индекс —, занимает область 2 < 0, среда 2, характеризуемая верхними индексами +, занимает область 2 > 0. Предположим, на границу раздела при 2 = 0 из среды 1 падает плоская гармоническая волна с частотой ш, волновой вектор к которой лежит в плоскости и образует некоторый угол с осью z. В общем случае на границе раздела двух сред существуют три типа волн, две из которых падающая и отраженная распространяются в первой среде, преломленная или прошедшая волна возбуждается во второй среде. На границе раздела, характеризуемой нормалью п, в данном случае п || граничные условия для параметров поля дефектов определяются соотношениями

[ В( )] = 0, [ Щ а ы ] = 0,

[ еИкп11кп ] = 0 [ 5 (ешп1а кп )] = 0

Для смещений в случае идеального контакта условия на границе имеют вид

[ щи1 ] = 0, [ щ аы ] = 0. (6)

Как показано [6, 8], в рассматриваемых средах распространяются волны смещений, связанные с динамикой компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны. В системе координат 2 , х&, у (рис. 1), ось 2 которой совпадает с направлением распространения волны, это означает:

ищ-(*t) = ащ- ехр(-Ш + ikn-z%

где ш — частота волны; кп. — волновое число; ап. —

к0 / \\ Г

Рис. 1. Пояснение к структуре решений для волн поля дефектов

амплитуда; i — мнимая единица; п = г, х ,у . В вязко-упругих средах (3)

к2& = (ю/ со/ТГ-Т"^,

кх,= ку,= к2&= (ю/ с,) Д/Г-Т^87, (8)

tg 8= ю(у + 2v)/(X + 2ц), tg8х = tg 8у .

Здесь С =д/(А + 2ц)/р, С, — продольная и

поперечная скорости упругих волн; tg 8И, — тангенсы углов потерь. В случае среды Максвелла (4) волновые числа определяются выражениями

к2< = (ю/ С1^Л/Г+Т, (9)

кх& = к у = (ю/С, Э^/Г+П^В, tg 8 = 1/тю. Можно показать, что в каждой из сред (3), (4) компоненты тензора напряжений на плоскости фронта волны вычисляются по формуле

а2,й,(2&, О = Т(рю2/М^Дг&, Ъ. Компоненты тензора плотности потока дислокаций на плоскости параллельной направлению распространения волны определяются суммой двух волн за исключением компонент 1т,у (г&):

A2V=ю3рk2,/sk2(k2 -к2). Здесь к*2 = (ю/С*)2/(1 - Тюу/А), С* = Л/^р. Волновой вектор А; для вязкоупругих сред (3), (4) определяется выражением

к = ю/С, С = 7^. (11)

Если ввести средние вектора

Кг,= (к + кхО/2 = (к + куО/2, (12)

Кх& = Ку&= (к + кг0/2, первые два выражения (10) можно записать следующим образом:

где ч2& (2&), чх& (2&) — амплитуды, зависящие от координат, вид которых приводится в [8-10]. По известным компонентам тензора плотности потока дислокаций (10)—(13), используя второе кинематическое тождество (2), представляющее закон сохранения вектора Бюргер-са, могут быть найдены соответствующие компоненты тензора плотности дислокаций. Согласно первому равенству (2), компоненты тензора плотности дислокаций на плоскости фронта волны тождественно равны нулю

Геометрия сформулированной задачи позволяет рассмотреть две независимые подзадачи, предполагающие падение на границу раздела горизонтально или вертикально поляризованной волны. В первом случае отличными от нуля являются компонента вектора смещений Uу, перпендикулярная плоскости падения волны, и связанные с ней величины. Во втором случае рассматриваются компоненты Uz,, Ux,, определяющие деформацию в плоскости падения волны и соответствующие продольной и поперечной вертикально поляризованной волне. С точки зрения сейсмической терминологии в первом случае будет проанализирована SH — сдвиговая горизонтально поляризованная волна, во втором случае P — продольная и SV — сдвиговая вертикально поляризованные волны.

В простейшем случае горизонтально поляризованной волны отличными от нуля являются компонента Uу вектора смещений и, как следует из (7), (10), компоненты Iz,y, Iyz< тензора плотности потока дислокаций. В системе координат xzy падающая волна характеризуется пятью величинами:

I0 = I2,y cos ф0, iXy = Iz.y sin ф0,

I% = Iy2, cos ф°уг, I0x = Iy2. sin фуг, (14)

U0 = Uy = a° expOk0r),

где I2,y, = (р-ю/(B-k0))Uy, Iy2, = q°, (r2) exp(K°r). При записи (14) множитель exp(-zrní) опущен и приняты обозначения: r (r2) = x sm^0^02)] + 2 ^[ф0(фу2 )] — радиус-векторы; ф0, ф°2 — углы падения соответствующих волн. Здесь и в дальнейшем верхним индексом 0 обозначены величины, относящиеся к падающей волне. Отраженной волне соответствуют компоненты

I2y = -I~-&y&cos ф- + I-y sin V-,

I-y = I~z&y& sin ф- + I-y& COs V-,

Iy-2 =-I~-&2&COs ф-2 + Iy-X&sin V-, (15)

I-X = Iy-&2& sin ф-2 + I-&x& COs V-,

U- = U~y = a- exp(ik;r),

где Ц.у = (р"ш/(B"))U~y, Iy-,2, = q- (r2) exp(K-r2), I-x = qyx «ф^ p), I-y& =_qx&y- exp_(ik p), r(rz, p) = = x sinfa (ф-2, V )] - 2 cosfa (ф-2, V )] — радиус-векторы; ф , ф-2, V — углы распространения отраженных волн. Компоненты преломленных волн запишем в виде

IZy = Cy cos ф+ + Cysm у+

IX- = Cysin Ф+- /+yc0s ,

С = Cv cos Ф +I+X, sin y+, (16)

I-x = I+Z&sin Ф +z - I+Vcos , U+ = U+ = a+ exp(ik+r). Здесь

I+y = (p+ю/ (B+k+ ))U+, I+v = q+(Tz) exp(iK+rz),

I+&x& = q+&x& exp(ik+,p), I+y, = q+,y, exp(ik+p),

t (tz , p) = x sin^4" (ф+z, y+)] + z cosfa4" (ф+2, y+)] — радиус-векторы, Ф+, Ф+2, y+ — углы преломления. Подставляя соответствующие выражения из (14)—( 16) в граничные условия (6), для амплитуд компоненты вектора смещений SH-волны при z = 0 получим систему уравнений

ay + ay am ,

M -к- (ay0 cos ф0 - a- cos ф-) = = M + k+a + cos ф+

и равенства к° sin ф0 = к- sin ф- = sin ф+, определяющие известные законы отражения и преломления

ф = ф , к- sin ф = к+ sin ф .

Поскольку преломленная и отраженная волна распространяются в одной среде, в выражениях (14)—( 18) k0 = k", Р0 = p-, B0 = B~, M0 = M-, где M± = = М±/ (1 + i tg S±) — обобщенные модули среды Максвелла, в случае среды Фойгта M± = Ц±(1 - i tg S±). Разрешая (17) относительно амплитуд отраженной и прошедшей волны, получим выражения для коэффициентов отражения и преломления компоненты вектора смещений в случае SH-волны:

Ry = (Z- - Z+ )/(Z" + Z+),

Yy = 2Z"/(Z— + Z+), (19)

где Z" = p-V" cos Ф-, Z+ = p+V-+cos ф+ — импедансы волн в одной из сред (3), (4), V" =ю/k", V- = ю/k+. Исходя из определений коэффициентов Френеля Ry = a" I a0 , Ry = a- j a 0 и соотношений (7), связывающих смещения с компонентами тензора плотности потока дислокаций на фронте волны, можно записать

Rzy = I--&jIz&-& = Ry ,

Y- = I+y/Izy = (Р+B-k--/p~B+k+ )Yy .

Граничные условия (5) | BI— | = 0 = |S(dZI — ЭxI")| = 0, вычисляемые на основе ве личин

Ix-1 = 0, I Sa--1 =

Io,+

- cos фI-y +

cos у - хк D sin ф+

+ qx<ye - +

sin у- cos ф

I+y +

cos у - sin у+

+ ik p lx&y&e ,

приводят к системе равенств

sin ф0 + Rzy sin ф- + Rxy cos у- - Yzy sin ф+ +

+ Yxy cos у+ = 0, S - к- Rxy - S+к+Yx- = 0, (21)

к0 sin ф0 = к- sin ф- = к+ sin ф+ =

= к- sin у- = к + sin у+, где Rxy = (B-к;/р-ю)qXy /а°у , Y = (В-к~-/р~(о)х X q+,y, Iа°. Первые два уравнения (21) позволяют найти выражения для коэффициентов отражения и преломления

R = S к Y

Rxy - Yxy ,

= Yzy sin ф+- (Rzy + 1)sin ф" xy (S+к +/ S " к -) cos у-+ cos

которые связаны с характеристиками волны смещении = (S~k~ sinф"((к~-/к+у )2(р+B-/p~B+) - 1)Уу)X

х^ (Sу ку1 к- Ц(к~ )2 -(к- sin ф" )2 у

У (S -к~/ку )^(ку )2 -(к+ sin фу )2

Из последнего соотношения (21), определяющего связь углов рассматриваемых волн, следуют равенства (18) и закон преломления волн компоненты I

к- sin у- = ку sin уу. (23)

Можно показать, используя второе равенство (21) и (23), что граничное условие | BIzy | = 0 эквивалентно одному из равенств (17), описывающему непрерывность напряжении на границе раздела. Компоненты

cos ф°

sin ф-z

- cos ф-z

cos у - хк D sin ф+z

+ q-xe psin у- cos ф+z

q>Kr* +

cos у - sin у+

Jк+p

ly&x"

на границе раздела удовлетворяют условиям 11 | =

= | I-z | = 0, | Saxx I = ISЭzIyx | = 0, | Saxz I = I S3^ | = 0, из которых следуют уравнения

cos ф°2 - Ryz cos ф-z + Ryx sin у- -- Yyz cos ф+z - Yyx sin у+ = 0,

sin ф-z + Ryz sin Ф-yz + Ryx cos V -- Yyz sin ф+z + Yyx cos V+ = o,

(1 + RyZ)K-(cos фУг)2 - Rxk- Sin(2^)

- S+

YyzK++ (cos ф+z )2 + YyXk~

sin(2v+)

(Ryz - 1)K

sin(2ф-z)

+ RyXk (cos V )

jy*K+-r2—- Yyxk + (cos V+)

+ 4 2

и равенства

K° sin фу2 = K- sin ф- = K+ sin ф+z =

= k- sin y" = k + sin y+. (25)

здесь r = q- (rz V i00 (rz )> Yz = q+ (rz V q0 (rz )> R* = = q(rz)> Yyx = q+v/q00&(rz). следует отметить, что два последних уравнения получены в рамках метода медленно меняющейся амплитуды, предполагающего д zq0(rz) =d z1± (rz) = 0 [19, 20]. С учетом (25) граничные условия 1 azz1 =1ЭxIyz1 = 1 а^1 =1Эxlyx1 = 0 совпадают с равенствами 11 | = 1I | = 0. Если ввести обозначения для импедансов волн компонент I , Iyz

Z±x = S±k± cos V±/ffi = S±/V± cos

V" =

r>± ±

= B~C~ cos у, Z±z = 5±KZ cos Ф±,/Ю =

= B± C ± (1 + V±/V± )cos ф^/2, систему (24) можно переписать в виде неоднородной системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ryz, Yyz, Ryx, Yyx:

Ryz cos Ф-z - Ryx sin V" + Yyz cos Ф+z +

+ Yyx sin v+ = cos ф^,

Ryz sin ф-z + Ryx cos V- - Yyz sin ф+z +

+ Yyx cos V+ =- sin ф^ ,

RyzZ-z cos ф-z - RyxZ-x sin V- - YyzZy+z cos ф+z - TyxZ+yx sin V+ = -Z¿ cos ф-z ,

RyzZ- sin ф-z + RyxZ~-x cos V- + YyzZyz sin ф+z - YyxZ++x cos V+ = Z- sin ф-z •

Это задача о плоской деформации, для которой все смещения лежат в плоскости падения волны и имеют не равные нулю компоненты V2., VХ вектора смещений.

В случае волны Р-типа поле падающей волны, определяемое величинами и2&, 12&2&, 1Х&Х&, 1уу, согласно (7), (10), имеет следующий вид для смещений и компонент тензора плотности потока дислокаций в координатах zxy

cos ez"

_Ux0 _ sin ez

cos(9°)2 sin(26°)

sin(290)

Uz< = az0exp(¿kz0 R),

sin(9z)2

"sin^ )2 "

sin(2ф0x)

z z sin(2фXx)

_COs(фXx )2 _

Io = I , ,

= qy(ry) exp(iK° г- ),

где R(ry, rx) = xsin[eVxx, фО- )] + zcos[0°^0x, фО-)] фуу — углы падения рассмат-& n o,

радиУс-векторы; 6°, фХ. ^ ^ риваемых волн; /2,2, = (р-ю/В~1хх = qХ&(гx)х X ехр(К°гХ). В выражениях (27), (28) и далее множитель ехр(-;ю?) опущен. Отраженная волна смещений при единичной амплитуде падающей волны может быть записана в виде

Ux- cos t

sin eRjkzR +

cos фik г

Для компонент тензора плотности потока дислокаций получены выражения

"cos(e- )2 " яп(2ф« )

-I-z sin(2e-) 2

^xz sin(2e-) - cos2 ф-z

_ Ixx _ 2 sin(e-)2 _ sin№ ) _ 2 _

I&x&z& +

sin(2ф ) sin2 ф;x

- cos(ф- )2 I-x& + 2

sin(ф-)2 ^ф«)

sin(2ф-) 2

_ 2 _ 2-Lcos Фxx J

Здесь R2, Rx — коэффициенты отражения продольной и поперечной вертикально поляризованной волны смещений; - Щгх, ту, Г,-Г 2)-=Х sin[6" (Ф-х, Ф-у>Ф-,Ф-2)]--2 сга[6 (Ф„, Ф-уу, Ф , Ф-2)] — радиус-векторы; 6-, ф-, Ф-2, Ф-Х, Ф^ — углы отраженных волн.

Преломленная волна будет иметь вид:

Uf = cos 9+ Yzeik+R + sin ф+ Y eik+r Yxe

U+ sin 9+ - cos ф+

+ cos(9+ )2" sin^+z )

I+z sin(29+) 2

I+ zx 2 I +, ,+ sln(ф+z )2

Ixz sin(29+) - cos(ф+z )2

I+ xx 2 sln(2ф+z)

sin(9+ )2 _ _ 2 _

sln(2ф+) sln(Ф+x )2

- cos(ф+ )2 I + ,+ 2

ип(ф+ )2 2z&x& 1 sm^+x)

sln(2ф+) 2

_ 2 _ _cos^+x )2 _

Rz +

cos 90" + " cos 9

Ux _ sin 90 sin 9"

sin ф Rx - cos 9+

cos ф" sin 9+

Yz sin ф

- cos ф+

предполагая выполнение равенств k0 sin е0 = k" sin 9" = k+ sin 9+ =

= k" sin ф" = k+ sin ф+, откуда следуют законы отражения и преломления:

k" sin ф" = k+ sin ф+. Подставляя (31) в граничные условия (6) и ] = [Ux ] = о,

[azz ] = [(2 M + L)d ZUZ + Ld xUx ] = 0, [a я ] = [ M (Э Ux +Э xUz)] = 0, где M, L — обобщенные коэффициенты Ламе вязкоуп-ругих сред, получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения и преломления продольной и сдвиговой волн смещений в случае падения волны Р-типа:

Rz cos 9 " Rx sin ф + Yz cos 9+ +

+ Yx sin ф+ = cos 90, Rz sin 9" + Rx cos ф" " Yz sin 9+ +

+ Yx cos ф+ =" sin 90, RzZ"a" sin(29") + R,Z" cos^-) + + 7zZz+ a + sin(29+)" YXZ+ cos(2ф+) = = Z"a" sin(290),

RzZ"s" - RxZ" sln(2ф_)" YzZz+ s++ " " YxZx+ sln(2ф+) = "Z" s",

+ТГ+ нг+ +ТГ+ ± /тл± /тЛ±\\2 + 1

где = р±V-, 2х = рV-, а = (Гх/Г2 ), s; = 1 --2а± в1п(0±)2. Для коэффициентов Френеля компонент 12,2,, 12,х, тензора плотности потока дислокаций, согласно (7), имеют место равенства

Rzz = Rz , Yzz = Р_ „+ Д Yz

Р B+k+

R = R Y = Р B~k~x Y Rzx Rx, Yzx ■ ■ Yx.

Используя (28)-(30), запишем выражения для компонент потока дислокаций в граничных точках

Г Izz ] Io zz Izz I+ zz

Izx Io zx + zx ^zx

Ixz Io xz ^&xz ^&xz

_ Ixx _ Io xx _^xx _^xx

и подставим их в условия (5) для каждой из компонент

ISayix>z)HS(d2IX(X>2) -dX/Z(X)Z))|= 0. (35)

В итоге получим систему неоднородных алгебраических уравнений для коэффициентов

в k- -t \\ в k- +t \\

rX2 (r2 )> УX2 4 2 (r2 )>

b~k- -. . в-k- +

rxx 4x (rx )> yxx = 4x (rx Л

^x2 С°*(Ф~ )2 - Уx2 С08(ф+2)2 - rxx Sln(2CPxx ) sin(29+x) sin(290) sin(2p°x) G

-yxx-:---:---:-G 2 2 sln(2е_) sin(29+)

--Rzz-2 zz 2 - slnfo+ )2 Yzx )47,

Yzz + (sin^" )2 Rzx +

^^ + ^ ^^ + г„ со^ф-*)2 -у„ сов(ф+,)2 = -81п(е0)2 -ссвСфО,)2Gp -- 81п(е- )2 R22 + 81п(е+ )2 ^ -1/2(вш(2ф" )Я2Х + 81п(2ф+ )Уа Я7, (36)

ГХ22- ф-2 + ГХХ2ХХ СОв Фй - я«^ вШ ф^2 +

+ ухх^хх СОв фхх = ХХ Gp СОв фХХ >

ГХ2^~Х2 СОв ф~х2 - Гхх^Хх фХх + УХ2^~Х2 СОв ф+2 +

+ Ухх^Х+Х ф+х = вт ф°х

и равенства

к° фХх = К- ф-х = К+ вт ф+х =

= К- вт ф-2 = К+2 вт ф+2, (37)

выполняющиеся одновременно с тождествами (31). Здесь

Два последних уравнения получены в рамках метода медленно меняющейся амплитуды, когда д2Ц°(гХ) =

= д^± (г) = (г) = 0 и д (г) = д хЧ1 (г) =

Очевидна связь гХ2, уХ2, гхх, ухх с коэффициентами отражения и преломления волн соответствующих компонент тензора плотности потока дислокаций ЯХ2 =

= ГХ2^р , RХХ = ГХХ^Р , = УХ2^р , ^ХХ = УХХ /Gp &

Наиболее просто решается задача о коэффициентах Френеля волн компоненты I , граничные условия для которых 11уу | = 0 и 15аху | = | -5д21уу | = 0 приводят к уравнениям

и равенствам K0 sin ф° - K- sin ф - K+ sin фу при

условии, что д2qv (ry) - д2q± (rx) - 0. Решение (38)

Ryy (Zyy Zyy ^I(Zyy + Zyy ) &

Yyy - 2Z-y /(Zyy + Zyy ) &

Z% = S±K± cos ф^/ю =

= B ± С ± (1 + V ±/ V± )cos ф%/2, аналогично (19).

В случае падения на границу раздела SV-волны отличны от нуля компоненты Ux,, I2,x,, Ix,2, и поле падающей волны запишется в виде

Ux&& Ux,- ax0exp(ikx0 r), (40)

U0" sin ф0

_Ux0 _ - cos ф0

Г i0 1 -1 ZZ sin(2ф0) " sin^°2) 1

Io zx - cos(ф0)2 I, , y sin(фX2 )2

Io xz sin^0)2 - cos(фX2 )2

Io _ xx _ sin(2ф0) _ 2 _ sin(2ф02) _ 2 _

где 12&х& = (Р"®/в-к° )их&, Iх&2& = qЛr2) еМК0^),

ф0, ф°2 — углы падения; г(г2) = х вш[ф0(ф°2)] + +2 сов[ф0 (ф°2)] — радиус-векторы волн. Поскольку выражения (29), (30) для отраженных и преломленных волн в случае падения SV-волны остаются прежними, значения ее величин в граничных точках приведем в сокращенном виде при единичной амплитуде а°:

Rjk2R +

"U2 " sin ф0 e&k0r y

Uz _ - cos ф0

Reik- r Yjky R y

ik+ r

sin(2ф0) sin(2ф°2)

" I22& 2 2

I2x - cos^0)2 Л , y sin^2 )2

Ix2 sin(ф0)2 - cos(фX2 )2

_ Ixx _ sin^°) _ 2 _ sin(2ф°2) _ 2 _

Граничные равенства (6) и полученные выражения (41) позволяют получить систему уравнений относительно коэффициентов Френеля продольной и сдвиговой волны смещений в случае падения SV-волны

R2 cos е- - Rx sin ф- + Y2 cos 6+ +

+ Yx sin ф+ - sin ф0&

R2 sin 6- + Rx cos ф- - Y2 sin 6+ +

+ Yx cos ф+ - cos ф0&

R2Z2-a~ sin(26-) + RxZ- cos(2ф-) У (43)

У 1^2+ a+ sin(26+) - 7xZx+ cos(2фy) - -Z- cos(2ф0)&

R2Z-s- - RxZ- sin(2ф-) - Y2Z2y - YxZxy sin(2фy) --Zx- sin(2ф0) при условиях

k0 sin ф0 = к- sin ф = k+ sin ф+ =

= k" sin 9" = k+ sin 9+, определяющих законы отражения и преломления

ф0 = ф", k" sin ф" = k+ sin ф+,

k- sin 9" = k+ sin 9+. Система уравнений (43), записанная с использованием обозначений (33), отличается от последней столбцом свободных членов. Граничные условия (35) в случае первичной SV-волны позволяют записать в рамках метода медленно меняющейся амплитуды систему уравнений относительно коэффициентов rxz, yxz, rxx, yxx

rxz cos(ф-z )2 - yxz cos^+z )2 - Y— - yxx ^^ = sin ф0^ - cos ф0zGs - it ^ - Y, oep- + (R„ )2 - Yzx sinfo+ )2)V7, sin(2ф_z) + вт(2ф+г)

r-» + yxz

f + 42 sln^ -yxx cos^xx) =+ rxx cosfc )2 a +

+ ^^ G - Rzz sin(9- )2 +

+ Yzz sin(9+ )2 -Yz

sin(2ф )

rxzZxz Sm Ф- + rxxZxx

eos Ф xx - yxzZX+z sin Ф+z + yxxZ+ C0S Ф+x = = -z-zGsin ф^ .

rxzZxz e0S Ф xz rxxZxx Sin Ф xx +

+ yxzZxz C0S Фxz + yxxZxx sin Фxx =

= Zx-zGs cos ф^ и дополняющие (44) равенства

K( sin Ф^ = K- sin Ф-z = K+ sin Ф+z =

= K- sin Ф-x = K+ sin Ф+x > из которых следуют законы отражения и преломления соответствующих волн

Ф« = Ф-z > K- sin Ф-z = K+ sin Ф+z ,

- . - + . + (46)

Kx sin Фxx = Kx sin Фxx.

Уравнения (45) отличаются от (36) свободными членами, в которых Gs = B~k-¡(p-w)q((rz ), и, кроме того,

Rxz = rxz I Gs & Rxx = rxxlGs & Yxz = yxzlGs & Yxx = yxx/Gs •

Полученные аналитические результаты позволяют детально исследовать, как параметры граничащих сред и угол падения первичной волны влияют на распространение волн смещений и волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих сред Максвелла и Фойгта. Рассмотрим закономерности распространения косых слабо затухающих волн, когда тангенсы углов потерь в (8), (9) много меньше единицы и их можно считать равными нулю.

Рис. 2. Зависимости модулей и косинусов аргументов коэффициентов отражения (а, б) и преломления (в, г) 8Н-волны смещений от отношений упругих импедансов граничащих сред при углах падения 0° (1), 18° (2), 45° (3), 60° (4), 90° (5), р-/р+ = 1.1

На рис. 2 представлены зависимости модулей и косинусов аргументов коэффициентов отражения и преломления волн Uy компоненты вектора смещений от отношения упругих импедансов граничащих упругих сред py = р+Ct+ /(р- Ct- ) при различных значениях угла падения первичной волны. В случае нормального падения рассматриваемые величины описываются кривыми 1. При изменении py от нуля до бесконечности модуль коэффициента преломления монотонно изменяется от двух до нуля, модуль коэффициента преломления, равный единице при py = 0 и py при py = 1 обращается в нуль. Косинус аргумента Yy равен единице при любых значениях упругого импеданса, а косинус аргумента Ry при py = 1 изменяется скачком от 0° до 180°. В случае косых волн коэффициенты Френеля, обозначенные на рис. 2 цифрами 1-5, при заданном импедансе py кроме угла падения зависят от отношения скоростей упругих волн или плотностей граничащих сред. Особенность данного случая заключается в том, что при р = р-/р+ >1 исследуемые величины существуют в некотором интервале py с [0, p* ], граничное значение p* которого находится из условия существования предельного угла полного внутреннего отражения

pyр sin Ф° > 1. (47)

При данном угле падения ф° значение косинуса угла преломления cos ф+ = - (pyр sin ф°)2 будет мнимым и волна во второй среде не распространяется, поскольку ее амплитуда убывает с расстоянием по экспоненте. Для любого угла падения интервал допустимых значений py с ростом р > 1 уменьшается. Условие (47) выполняется и для некоторых значений р < 1. При р<< 1 предельного угла полного внутреннего отражения не существует и характер рассматриваемых зависимостей приближается к кривым нормального падения волны. В этом случае совпадают предельные значения всех величин при py = 0 и py однако модуль Ry обращается в нуль при py < 1, где и cos Fy претерпевает

скачок. Величина модуля Yy косых волн в случае р<< 1 будет меньше, чем при нормальном падении. Отмеченные особенности сохраняются при распространении волн I компоненты тензора плотности потока дислокаций, поскольку множитель связи Yzy и Yy в (20) не зависит от угла падения волны. Подробный анализ этого множителя проводится в [9, 10].

Проанализируем коэффициенты Rxy, Yxy, определяющие функции (22) которых можно переписать в виде

Rxy = ppYxy,

Yxy = (1- p2 pCp/Pp)sin ф\\ x (48)

x(p^i- (d- sinФ0)2 1 - (d+PypsinФ0)2)

где Cp = C+/ C~, pp = Cp B+/B~ — отношение пластических скоростей и импедансов граничащих сред; d ± = C± / Vt± — отношение пластических и упругих скоростей в каждой из сред. На рис. 3 приведены зависимости Re Yxy от отношений упругих импедансов контактирующих сред при различных углах падения волны. Как следует из (48), рассматриваемые величины имеют нулевые значения при 1 - p 2y pCp /p p = 0, ф0 = 0° и 90 где Yy = 0. Полагая d± < 1, из (48) находим неравенство d+p* p sin ф° > 1, определяющее предельный угол полного внутреннего отражения, которое выполняется при больших значениях py, чем (47), задающее область существования Yy. Зависимости, представленные на рис. 3, качественно не изменятся при перестановке значений d- и d +, а также при р < 1. С увеличением пластического импеданса происходит сближение зависимостей косых волн с кривой нормального падения.

Не приводя довольно громоздкого аналитического решения (26), отметим, что параметрами угловых зависимостей Ryz, Yyz, Ryx, Yyx являются величины pp, Cp, d±, введенные в (48). Исходя из связи углов рассматриваемых волн (21), (25), можно определить неравенства

sin у- = d- sin ф0 > 1, sin = Cpd- sin ф° > 1,

sin ф^ = 2d~ sin ф0/(1 + d-) > 1, (49)

sin ф+z = 2Cp d- sin ф° /(1 + d + ) > 1,

Рис. 3. Зависимости коэффициентов преломления волн компоненты Ixy тензора плотности потока дислокаций от отношений упругих импедансов граничащих сред при углах падения 0° (7), 18° (2), 45° (3), 60° (4), 90° (5), pp = 0.6, d- = 0.7, d + = 0.3, р-/р+ = 1.1, Cp = 0.5 (а), 0.2 (б)

являющиеся условиями существования предельного угла полного внутреннего отражения. При d± < 1 первое неравенство можно не рассматривать. В случае нормального падения первичной волны решение (26) имеет вид

Ryz = (1+7 -)/(2" + ),

Решения систем уравнений для продольной (33) и сдвиговой вертикально поляризованной волны (43) при нормальном падении имеют вид

R2 = (22+- 2;)/(2++ 2;),

Rx = (Z+- Z-)/(Zx++ Z-x), Y = 2z;/(Zx++ Z~x), Rz = Yz

Y = 2Zz"/(Zz"+ Zz+), Rx = Yx = 0,

и определяют закономерности прохождения волн через границу раздела, аналогичные нормально падающей SH-волне смещений (рис. 2). Как следует из обозначений (33), в качестве параметров решений этих систем можно выбрать четыре безразмерных отношения v z = = KlV-, vx = Vx+/V-, v-z = v;¡ V-, p, которые в случае слабо затухающих волн вычисляются через скорости упругих волн и плотности граничащих сред. Углы полного внутреннего отражения для волны Р-типа определяются выражениями

vz sin 0°i > 1, vxv- sine°2 > 1, (53)

для SV-волны аналогичные соотношения имеют вид

vx sin Ф01 > 1, (V v-z ) sin Ф(2 > 1,

(v Jv- )sin ф0з > 1. (54)

Обратим внимание, что в условиях (53), (54) коэффициенты перед синусами углов могут быть больше или меньше единицы в зависимости от отношений входящих в них скоростей или свойств контактирующих сред. Исключением является второе условие для SV-волны, поскольку в любых средах (1/v- ) > 1. На рис. 5 представлены зависимости коэффициентов отражения Rz, Rx и преломления Yz, Yx для падающей продольной волны в зависимости от угла падения при различных параметрах контактирующих сред. Аналогичные кривые для сдвиговой волны приведены на рис. 6. Рассмотрены случаи vz < vx < 1 (1), vx < vz < 1 (2), vx < 1 < vz (3), vz < 1 < vx (4), 1 < vz < vx (5), 1 < vx < vz (6), цифры в скобках соответствуют номерам кривых на рис. 5,

Рис. 4. Зависимости коэффициентов Френеля волн компонент 1у2,1ух от угла падения при рр = 0.4, d = 0.3, d + = 0.7, Ср = 0.5 (1), 1.5 (3) и d- = 0.7, d + = 0.3, СР = 0.5 (2), 1.5 (4)

Рис. 5. Зависимости коэффициентов отражения и преломления продольной волны смещения от угла падения при = 0.2, Vх = 0.5 (1); 0.5, 0.2 (2); 1.2, 0.5 (3); 0.5, 1.2 (4); 1.2, 1.5 (5), 1.5, 1.2 (6) во всех случаях р+/р- = 0.8, V- = 0.4

Рис. 6. Зависимости коэффициентов отражения и преломления от угла падения волны SV-типа при = 0.2, vx = 0.5 (1); 0.5, 0.2 (2); 1.2, 0.5 (3); 0.5, 1.2 (4); 1.2, 1.5 (5), 1.5, 1.2 (6), во всех случаях р+/р- = 0.8, V -х = 0.4

случаях кроме коэффициента У2. Условия (53), (54) и величина предельного угла полного внутреннего отражения не зависят от отношения плотностей контактирующих сред в отличие от параметра V-, определяющего предельные углы полного внутреннего отражения в случае 8У-волны. При увеличении этого параметра, например, в два раза, предельные углы полного внутреннего отражения будут иметь следующие значения: Ф°2 - 0.932 (1, 2, 4), Ф°3 - 0.738 (3, 5) и Ф°3 -- 0.567 (6).

Решения систем уравнений (36), (45), определяющих закономерности прохождения волн компонент 1х2, 1х2 тензора плотности потока дислокаций через границу раздела для продольной и сдвиговой вертикально поляризованной волны, кроме параметров (33), (43), величины которых определяют их правую часть, зависят от Ср, В = В+/В~ и d- При нормальном падении первичной волны решение (36) имеет вид

^х = (2-х - 2+х V(2-х + 2+х ),

для (45) запишется следующим образом:

Ях2 = (2- - )/(+ 2+),

что вполне объяснимо с точки зрения формул (10). На рис. 7, 8 приведены зависимости Rx2, Ух2, Rxx, Ухх от угла падения первичной волны при значении параметров, указанных на рис. 5, 6, и соответствующих решениях. Кроме условий (53), в случае падения продольной волны предельные углы полного внутреннего отражения могут иметь место при выполнении неравенств

Расчеты, представленные на рис. 7, показывают, что предельные углы полного внутреннего отражения рассматриваемых волн совпадают с предельными углами волны смещений на рис. 5. При изменении d- p, Cp в два раза качественных изменений величин, приведенных на рис. 7, не происходит. При увеличении Cp в два раза уменьшаются значения коэффициентов Rxx, Yxx в случае нормального падения. Аналогично, но в меньшей степени, изменяются эти величины при В = 2, кроме того Rxx (3) становится монотонно уменьшающейся, а Yxx (3) увеличивается, как и Yxz (3), (5), (6). По сравнению с результатами рис. 7, качественные изменения претерпевают зависимости Rxz, Yxz (1),(2) при v- = = 0.6. На соответствующих кривых появляется дополнительная точка перегиба, где происходит изменение наклона касательной и увеличиваются интервалы значений этих функций. В случае падения сдвиговой волны предельные углы полного внутреннего отражения наряду с условиями (54) задаются неравенствами

Рис. 7. Зависимости коэффициентов Френеля волн компонент 1х2, 1хх от угла падения продольной волны при V2 = 0.2, Vх = 0.5 (1); 0.5, 0.2 (2); 1.2, 0.5 (3); 0.5, 1.2 (4); 1.2, 1.5 (5), 1.5, 1.2 (6), во всех случаях р+/р- = 0.8, V" = 0.4, р = 03, d" = 0.6, ср = 0.3

Рис. 8. Зависимости коэффициентов Френеля волн компонент 1Х2, 1хх от угла падения сдвиговой волны при Vz = 0.2, Vх = 0.5 (1); 0.5, 0.2 (2); 1.2, 0.5 (3); 0.5, 1.2 (4); 1.2, 1.5 (5), 1.5, 1.2 (6), во всех случаях р+/р- = 0.8, V -х = 0.4, рр = 0.3, d " = 0.6, Ср = 0.3

При изменении d- р, В, Ср в два раза качественных изменений зависимостей на рис. 8 не происходит лишь при изменении р. В первом случае, при изменении d -функции Я^ (1, 2, 3), убывающие с ростом угла падения волны, становятся возрастающими. При Ср = 0.6 с ростом угла падения увеличиваются не только коэффициенты Я^ (1, 2, 3), но и Яхх (1, 2). При В = 2 зависимости Я^ (1, 2, 3), Яхх (1, 2) также возрастают, а Ухх (5) уменьшается. Значения величин при нулевом угле падения уменьшаются при изменении любого параметра, в меньшей степени при изменении dУвеличение V— в два раза сопровождается качественными изменениями зависимостей коэффициентов отражения Ях2 (1, 2, 3), Яхх (4, 5, 6) и преломления У^ (1, 2), Ухх (4, 5, 6) и изменением значений предельного угла полного внутреннего отражения аналогично SV-волне смещений. Таковы некоторые особенности прохождения косых волн смещений и поля дефектов через границу раздела упругих сред с дислокациями.

На основе моделей вязкоупругих сред Максвелла и Фойгта при наличии дислокационного континуума, динамика которого описывается системой уравнений полевой теории дефектов, исследованы закономерности прохождения косых гармонических волн через границу раздела двух сред. В рамках предложенных моделей определена структура распространяющихся волн поля дефектов и волн смещений различной поляризации. Падающая SH-волна смещений, кроме упругих деформаций 8 , 8 характеризуется наличием компонент

тензоров скоростей пластических деформаций d0ф(yz) =

= (Iyz + Izy )/2& д 0 Ф( yx) = (Iyx + Ixy V2 и компонент скоростей поворотов д оФ[ yz ] = (Iyz + IZy V2, д 0 ф[ yx] =

= (Iyx - Ixy )/2. В случае горизонтально поляризованной Р- или SV-волн на границе раздела возникают упругие деформации 8xx, 8zz, 8zx и поворот wzx, а также компоненты тензора скоростей пластических деформаций изменения объема дофи = Ixx + Iyy +1zz и сдвига д оФ(xz), а также поворота д 0ф[xz]. Получены аналитические выражения для коэффициентов Френеля волн различных типов. В частном случае слабо затухающих волн построены и проанализированы зависимости коэффициентов отражения и преломления волн смещений и поля дефектов от угла падения волны. В дальнейшем необходимо рассмотреть особенности распространения косых волн в вязкоупругих средах с дислокациями при произвольном затухании. Результаты данной работы являются критерием предельного случая этих планируемых исследований.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013- 2020 гг. В части обоснования появления вихревых мод деформации при переходе через внутренние границы раздела работа поддержана грантом 1419-00718 Российского научного фонда.

Литература

Rebinder P.A., Shchukin E.D. Surface phenomena in solids under deformation and fracture // Usp. Fiz. Nauk. - 1972. - V. 108. - No. 1. -P. 3-40.

Mamonova M.V., Prudnikov V.V, Prudnikova I.A. Surface Physics: Theoretical Models and Experimental Methods. - Boca Raton: FL: CRC Press, 2014.

Rusina G.G., Chulkov E.V. Phonons on the clean metal surfaces and in adsorption structures // Russ. Chem. Rev. - 2013. - V. 82. - No. 6. -P. 483-510.

Surface Layers and Internal Interfaces in Heterogeneous Materials / Ed. by V.E. Panin. - Novosibirsk: SB RAS Publ., 2006. - 520 p.

Panin V.E. Physical mesomechanics of solid surface layers // Phys. Mesomech. - 1999. - V. 2. - No. 6. - P. 5-21.

Chertova N.V., Chertov M.A. Plane defect-field wave propagation in a viscoelastic medium // Tech. Phys. Lett. - 2005. - V 31. - No. 4. -P. 280-283.

Chertova, N.V. Wave processes in solids with defects // J. App. Mech. Tech. Phys. - 2008. - V. 49. - No. 6. - P. 1047-1054.

Chertova N.V. Wave propagation through an interface between viscoelastic media in the presence of defects // J. App. Mech. Tech. Phys. -2011. - V. 52. - No. 2. - P. 270-278.

Chertova N.V. Wave processes in elastic-viscoplastic media with dislocations // Phys. Mesomech. - 2013. - V. 16. - No. 1. - P. 34-41.

Brekhovskikh L.M., Godin O.A. Acoustics of Layered Media I: Plane and Quasi-Plane Waves. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 1990.

Grinyaev Yu. V., Egorushkin V.E., Chertova N.V. Gauge Theories in Continuum Mechanics, Structural Levels of Plastic Deformation and Fracture / Ed. by V.E. Panin, Yu.V. Grinyaev, V.I. Danilov et al. -Novosibirsk: Nauka, 1990. - P. 20-53.

Grinyaev Yu.V., Chertova N.V. Field theory of defects. P. I // Phys. Mesomech. - 2000. - V. 3. - No. 5. - P. 17-29.

Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of Elasticity, V. 7, A Course of Theoretical Physics. - Oxford, London: Pergamon Press, 1970.

Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillators. - New York: Dover Publ., 2011.

Поступила в редакцию 11.07.2014 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.tsc.ru Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, grn@ispms.tsc.ru