Спросить
Войти
2. Чучуева, И.А., Павлов, Ю.Н. Модель прогнозирования временных рядов по выборке максимального подобия: Дис. ...канд. техн. наук / МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 153 с. - Режим доступа: http://www.mbureau.ru/ sites/default/flles/pdf/Chuchueva-Dissertation.pdf.
УДК 514.13
Т.А. Юрьева, А.П. Филимонова
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА
В МЕТРИКЕ Cm+2&a\\S?)
В статье рассматривается доказательство существования априорных оценок решения дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера в метрике Cm+2-a&(S?).
В работе [1] мы ввели дифференциальное уравнение вида:
РпР22 ~ Pl2 ~ Pi 1 (20thP & Pv + SHP & СНР) + 2PnPuPvCtkP ~ Pll (20thP & Pi + SHP & CHP C0S2 V) "
~(pl cos2 v + )2 + 2pl+ 2pi cos2 v + sh2pcos2 v = cosv
- Kt{u,v,p) + Pi v + sh2p ■ cos2 v)2 _
здесь pn, pl2, p21 - вторые ковариантные производные функции p = p(u,v) относительно метрики единичной сферы Sf .
Напомним, что к данному уравнению приводит задача восстановления регулярной выпуклой гомеоморфной сфере (О - центр сферы, радиус равен 1), звездной относительно точки О поверхности F: р = р(и, v) в трехмерном пространстве Нъ постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) по ее функции гауссовой кривизны. ¿Sf рассматривается как двумерное многообразие, атлас на ¿Sf выбран так, что в каждой его карте выполняется неравенство cosv>a>0; и, v — сферические координаты. Уравнение отрицательно эллиптично при условии Kint(u,v,p) = Ki(u,v,p) = Ki>-1 [1].
Исследование дифференциальных уравнений такого типа начинается с получения априорных оценок решения в соответствующей метрике. В работе [2] мы получили оценку решения р — p(u,v)
уравнения в метрике С°(5&12), то есть оценку самого решения.
Лемма 1. Пусть в Нъ зафиксированы две концентрические сферы с центрами в точке О и радиусами рх и р2 (рх< р2 )• Пусть функция Кы(и9у9р) = К1 определена в £2х7?+ и удовлетворяет
условиям: 1) Кг > -1; 2) Кг = —\\— + 1а{и, V,/?), где к > О внутри сферы 52 и к < 0 - вне сферы 52 .
В этом случае всякое решение р = р(и, V) исследуемого уравнения задает поверхность Р:р = р(и,у)9 расположенную между сферами и 82 . Иными словами, при перечисленных выше условиях, наложенных на функцию Кш{и9у9р)-К^ есть априорная оценка решения р{и9у) уравнения рх < р(и,у) < р2.
Оценки решения р = р(и, V) исследуемого уравнения в метрике С1 (£2) нами получены в работе [3].
Лемма 2. Пусть К[п1(и9у9р) удовлетворяет условиям леммы 1, а /? = р(м,у)еС2(Х12) - решение исследуемого уравнения. Тогда первые производные функции р - р{и9у) ограничены некоторой
постоянной, зависящей только от чисел рх и р2: |/?м(и,у)|<-|д,(г/,у)|<--.
В работе [4] показан процесс получения априорных оценок решения р - р{и, V) исследуемого уравнения в метрике С2(£2). Результат сформулируем в виде леммы 3.
Лемма 3. Пусть функция Кы(и9у9р) удовлетворяет условиям леммы 1 и принадлежит классу С2 (£2 х ) . Тогда любое решение р = р(и,у) исследуемого уравнения, принадлежащее классу С2(£2), ограничено в метрике С2(£2) постоянной, которая зависит от чисел рх, р2 и свойств функции Кы(и,г,р) = Кп а именно: М Кг{и9у9р)9 \\Кг{и9у9р)\\ 2 2 г
Теперь приведем доказательство существования априорных оценок решения р = р(и,у) исследуемого уравнения в метрике С/77+2&а (£2). Справедливо следующее утверждение.
Пусть функция Кы(и9у9р) = Кг принадлежит классу Ст,а($2 х7?+), т> 2, 0 < а < 1. Далее пусть функция Кы(и9у9р) = К1 удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда решение р = р(и9у) исследуемого уравнения ограничено в метрике ст+2>а )? где а& <а, причем постоянная к= Ы Кг(г/,V,р) и норма функции Кг(щу9р): .
Из условий сформулированного утверждения, наложенных на р{и9у) и функцию Кг(и9у9р)9 и результата работы [4] следует, что решение г = г(х,у) уравнения:
П-ъ =(л^+1)——--^——^-^—--, полученного в той же работе, ограничено в метрике
(1 х у % )
С2(К2). Напомним, что мы пользовались моделью Кэли - Клейна пространства Нъ, х, у, г - бель-трамиевые координаты, а круг К2 в плоскости хОу введен в указанной выше работе. Тогда из работы [5] решение 1 = 1(х9у) уравнения в бельтрамиевых координатах в предположении принадлежности функции К1(и9у9р) = К1 классу Ст,а($2 хЯ+) будет ограничено в круге К2 и в метрике ст+2,а ,
а&<а. Норма <С&, где постоянная С зависит от чисел k= inf Кг{и,у,р) и
SlÁPuPi]
\\\\KXu9v9p)\\\\cM^2^+y
В работе [4] введены функции й = й(г/, v), v =v(u,v). Эти функции аналитические. Из равенств [4]:
COS V--= sin v0 cos v sin(w - Щ ) ,
cos v--= cos v0 cos v + sin v0 sin V cos(u - UQ ) ,
- du . - . - dv
cosvcos и---sin v sin w--- cosvcos(w-w0),
- du . - . - dv
cos v cos и---sin v sin и--= - sin v sm(w - щ),
du2 - d2v
smv\\duJ
= sin v0 cos v sin(w - u0) ,
. - dv dv
cos v---sinv----= - sin v0 sin v sm(w - щ),
dudv dv du
- d2v . COSV--r-SinV&
= - cos v0 sin v + sin v0 cos v cos(w - u0) ,
- d и .- - dv du -.COS VCOS и--r-sinvcosw----COSVSinW&
du du du
- d2v -sinvsinw-du2
-cosvsinwГdv^
. - - dv du
-smvcosw---- -cosvsm(w-w0),
- d и .- - dv du - . - du du . - . - d v
cos veos и---smvcosw----cosv sin г/----sin v sin w--dudv dv du du dv dvdu
- . - dv du . - - du dv
-cosvsmw----smvcosw---= -smvcos(w-w0),
dv du dv du
- d и .- - dv du ._ _ cosvcosw--- - sin vcosw----sin и cosv
/du\\ . - . - <92v -sinvsmw-dv¿
-COSVSinM
. - - dv du
- sin v cos и---- - cos v sm(w - щ),
а также тех равенств, которые получаются из вышеприведенных последовательным дифференцированием, следует: производные этих функций любого порядка в силу того, что при старших производных стоят
множителями функции cosv и eos veos^ , близкие к 1 и (-1) соответственно, в окрестности точки (л\\0).
Тогда из соотношений [4]:
du dv _ d2u
Рии Рии
+ 2 рш
ди ди ди
du du du dv d2u
Puv Рш л л Pñv л л Рй ^ ^
ди dv ди dv dvdu
_ du dv _ dv dv _ <32v
" Pvñ Z ^ Pvv ~Z Г ^ Pv : dv du dv du dudv
Pvv = Рй
/ди"
_ _ dv du _ д2 и _ ov ov ov
í dv^ vÖvy
последовательным дифференцированием получаем равенства, из которых следует ограниченность функции р(и,у) в метрике ст+2,а в некоторой окрестности при условии ограниченности функции р(й9 V) в соответствующей при движении В окрестности.
Напомним, что р = р(й,у) и В введены в работах [3,4]. Движение В (модель Кэли - Клейна пространства Нъ) задано матрицей:
COS V, 0
- sm vn sm щ - sm vn cos г/(
- sin и{
cosv0 sm и{
cosv0 cos г/,
В работе [3] мы получили равенства:
р-(eos veos и -zx -sinv-z^ cos v sin и) = shpchpcosv(zx sin u + zy cos и),
/};(cosvcosw -zx -sinv-z^ cosvsinw) = shpchp(smvcosu + zx eosv-zy sinvsinw), а в работе [4]
путем дифференцирования этих равенств по й и v вторично получили равенства, приводить которые вследствие их объема в данной работе не будем. С помощью последовательного дифференцирования последних приходим к выводу, что из ограниченности функции z = z(x,y) в метрике ст+2,а в круге К2 следует ограниченность функции p(u,v) в метрике ст+2,а в окрестности со, так как при старших производных функции p(u,v) множителем всегда является выражение: eos veos и — zx -sinv-z^ cos v sin и . Это выражение в указанной выше окрестности близко к (-1).
Из приведенных нами рассуждений следует наличие «локальной» оценки решения р - р{и, v)
исследуемого уравнения в метрике ст+2,а . В силу того, что сфера S2 является компактным многообразием, из наличия «локальных» оценок решения уравнения следует ограниченность решения p = p(u,v) в метрике Cm+2&a\\S?).
Постоянная ограничения зависит от чисел pl9 р2, k = inf Кг (г/, v, р) и нормы функции
Kt(u,v,p): IK¿u9v9p)\\\\c4s}xW^r
Утверждение, сформулированное нами в данной работе, доказано.
