Спросить
Войти
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.95.5.003
ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ
МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА
Научная статья
Шустов В.В. *
ORCID: 0000-0002-2465-7475, ФГУП Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, Москва, Россия
* Корреспондирующий автор (vshustov[at]gosniias.ru)
Аннотация
Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных в заданной точке. Указана связь двухточечных многочленов Эрмита и многочлена Тейлора применительно к представлению периодической функции. Приведена оценка приближения, выраженная через оценку производной соответствующего порядка. Указан достаточный признак сходимости последовательности составных двухточечных многочленов к периодической функции. Даны примеры разложения периодических функций с данными о погрешности и ее оценке.
APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS BY COMPOSITE TWO-POINT HERMITE POLYNOMIALS
Research article
Shustov V.V. *
ORCID: 0000-0002-2465-7475, State Research Institute of Aviation Systems, Moscow, Russia
* Corresponding author (vshustov[at]gosniias.ru)
Abstract
This paper deals with polynomial approximating a periodic functions by composite two-point Hermite polynomials. The final formulas of these polynomials, using the function values and its derivatives at a given point, are constructed. The relation of Taylor&s polynomial and two-point polynomials with respect to representation of periodic function is specified. The estimation of proximity, expressed through the evaluation of the derivative of the corresponding order is given. A sufficient condition for the convergence of a sequence of two-point polynomials to a given periodic function is established. Examples are given in which periodic function is approximated by a sequence of two-point Hermite polynomials with data on an errors and its evaluation.
Введение
Периодическими функциями называются функции, которые удовлетворяют условию fx)=fx+T), где период T > 0 [1, C. 9].
Для представления этих функции используются ряды Фурье. Теория этих рядов представлена в различных источниках, начиная от учебников курса математического анализа и теории функций [2], [3, C. 343], [4] и включая работы, в которых освещаются теоретические и практические аспекты использования этих рядов в курсе численных методов [5, C. 390], [6, C. 282], [7, C. 218].
В рядах Фурье применяются тригонометрические функции fx) = sin x и fx) = cos x. Для использования этих функций их необходимо вычислить, применяя многочлены Тейлора.
В настоящей работе предлагается использование составных многочленов для представления периодических функций.
Основные идеи и положения статьи анонсированы в докладе автора [14].
Пусть периодическая функция fx), которая имеет период T, т.е.
fx) = fx+T), (1)
задана на интервале (-®<x<®) и имеет производные на этом промежутке.
Пусть также в некоторой точке x0 интервала (-<»,<») заданы значения функции fx), а также, ее производных до порядка m включительно:
f(7Ч*о) = f>(J = 0А-, m (2)
Требуется построить составной многочлен H(x), который определен на заданном интервале (-®<x<®). Многочлен H(x) должен удовлетворять также условиям (1) и (2).
Пусть £ - новая переменная, связанная с переменной х формулой:
Р = { ^ } (3)
в которой функция обозначает дробную часть своего аргумента, т.е 0 <|г}< 1 . Диапазон изменения переменной £ , таким образом, определен соотношением:
Преобразование (3) отображает неограниченный интервал задания функции на промежуток [0,1).
Так как заданная функция периодическая и для нее по условию (2) существуют производные до порядка т включительно, то эти производные должны быть периодическими функциями.
Запишем условия периодичности производных в виде соотношений:
/(1}(Хо + Т) = /о( 1>, ] = 0,1,..., т (5)
Задача аппроксимации периодической функции на бесконечном интервале преобразована в задачу приближения этой функции на отрезке [0,1] с условиями (2) и (5) на ее производные.
В качестве аппроксимирующей функции будем использовать двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в [10] и [11] .
Такой приближающий многочлен Нт(£(х)), удовлетворяющий условиям (2) и (5), с использованием переменной определенной формулой (3), можно представить в виде [10, С. 1097]:
т /(])Т1 т-] т / О&Т 1 т-]
Нт Р) = (1 - Рт+1 £ /ЧгР* £а"тР + ^ Ё /Р - 1)1 £акт (1 - Р" ^
]=0 ]■ к=0 ]=0 ]■ к=0
где коэффициент акт выражается через биномиальный коэффициент скт (см. например, [12, С. 163]) как
к _ к т т+к&
Группируя слагаемые, входящие в правую часть формулы (6), получим компактную формулу для составного двухточечного многочлена Нт(£), построенного для периодической функции:
т / (1 )(ТР) 1
Нт (Р = £ 10 <Р]т (Р (7)
где функции влияния р]т р) определены соотношением:
т-] т-3
Р Р) = (1 - Рт+1 £акрк + Г+1- Р -1)т £акт (1 - рк (8)
к=0 к=0
Из представления (7) наглядно видно, что двухточечный многочлен для периодической функции представляется в виде модифицированного многочлена Тейлора, построенного в заданной точке. Модификация состоит в том, что
каждый член многочлена Тейлора умножается на соответствующую функцию влияния Рт р) . Многочлен Нт(£) с использованием (7) и (8) может быть также записан в виде:
т / ( т )тт
Нт (р) = £ ^^ ^т р) (9)
т=0 т!
где координатные функции р) , являясь единственными сомножителями в (9), которые зависят от переменной представляются в виде:
т-т т-т
^т Р) = (1 - РГ1 Р £ акрк + Рт+1 Р -1)1 £акп (1 - Рк (10)
к=0 к=0
Связь функций влияния р]т (О) и координатных функций у/]т О)
в соответствии с (8) и (10) осуществляется
согласно соотношению:
У О) = 4(т О) С")
В таблице 1 представлены соотношения для многочлена Ит(§ при некоторых значениях т, полученные из формулы (9).
_Таблица 1 - Формулы для Ит(§_
Н о - /о
Н2 - /о + /о&(О -10О3 + 15О4 -605)Т+/-& (О -2О + 04)Т2
Н - / + /0&(О-35О4 + 84О5-70Об + 20О)Т + / (О2-5О4 + 6%5-2О6)Г2 +
+ /о" (О3 -5О4 + 9О5 -7О6 + 2О7)Г3
Н - /о + /о&О - 126О5 + 420О6 - 540О7 + 315О8 - 70^9)Г + / (О2 -14^5 + 28О - 20О7 + 5£8)Г2 +
+ ^ (О -21О5 + 63О6 - 78О + 45О8-10О9)Г3 + ^ (О4 - 4О5 + 6О6 - 4О + О8)Г4
На рис. 1 для примера представлены зависимости функций 1//я& (£) .
[ 1 1.0 0.8
Рис. 1 - Зависимость у (О) приу=0-4 и для т=4
На рис. 2 представлены эти же зависимости, выполненные с использованием логарифмической шкалы по оси ординат, и, соответственно, на рисунке показаны графики модуля этих функций, т.е. | у]т О) |.
Рис. 2 - Зависимость | \\у]т (р) |
Из рисунка видно, что функции ^ (Р) при четных значениях ] принимают положительные значения и имеют
максимум в середине отрезка, который монотонно убывает с увеличением ]. Функции ^ (Р) при нечетных
значениях] до середины отрезка принимают положительные значения, обращаются в нуль в середине отрезка и имеют отрицательные значения во второй половине отрезка, при этом максимум модуля функции также монотонно убывает с увеличением /
Для определения погрешности представления периодической функции составным двухточечным многочленом необходимо определить остаточный член приближения и сделать его оценку. Вследствие выбора способа аппроксимации в виде составных многочленов, выраженного преобразованием (3), исследование остаточного члена приближения периодической функции на всей области может быть ограничено рассмотрением этого члена только на отрезке [х0, х0+Т].
Остаточный член г(х), определенный как разность между заданной периодической функцией и многочленом Н(х)
г(х) =Ах)-Щх)
согласно [10, С 173], можно записать в виде:
г( х) =
/ (2И+2)(^ „лт+1
(2т + 2)!
(х - х0)т+1(х - х0 -Т)
где ^ € (Хо, Хо + Т), т.е. п - некоторая внутренняя точка отрезка [х0, х0+Т].
С использованием переменной 4, определенной (3), остаточный член двухточечного представления согласно формуле (13), может быть записан в виде:
г( х(Р)) =
/(2"+2)(з)
(2т + 2)!
т+1 т&2т+2
^ т+1 ^^ ^ т+1 у
Для погрешности 5(х) представления многочлена Н(х), которая по определению равна модулю остаточного члена,
в соответствии с (14) при 0<4< 1 можно записать:
*( х(Р))
| Т (2т+2)(„)|
(2т + 2)!
т +1 т +1 2
Пусть производная функции порядка 2т+2 на интервале (-<»,<») ограничена некоторой константой М2т+2 >0, т.е. считаем, что
| /(2т+2)(х) |< М2т+2, х е (—(16)
Тогда погрешность аппроксимации функции на отрезке может быть записана как
д(Р) <Л(£) (17)
где А(4) обозначена оценка локальной погрешности
Л(£) _ М2т+2 ¿т+1(1 — Р)т+1 Т2т+2 /18ч
^ (2т + 2)Г
Из того, что maxpm+1(l — ¿)m+i —-- (например, [10, с. 1098]), и из формулы (18) следует, что погрешность
o<l<i 4m+1
приближения функции 5(x) удовлетворяет соотношению S(p) < А , где оценка погрешности Д выражается соотношением
А — _M 2m+2_T 2m+2 (19)
Таким образом, верна следующая теорема.
Теорема 1. Пусть периодическая функция fx) с периодом T определена на интервале (-ж<х<ж) и имеет достаточный набор производных на этом интервале. Пусть также в некоторой точке x0 интервала (-ж,ж) заданы значения функции fx) и ее производных до порядка m включительно:
f(J Ч^о) — f0( J), j — 0,1,..., m.
Тогда функция fx) может быть представлена в виде
f(x)=Hm(x)+rm(x), где
m f(j )Т J & f 0 T ,„j .
Hm (P(X)) = S W (P) ,
j—0 J!
m—J m—J
wm (#)—(i—p)m+i p z cm+p—i) j z cm+k (i—
k—0 k—0
f (2m+2)(„)
rm (P( X)) — f—^ Г* (Л — i) m+i T 2m+2,
(2m + 2)!
P — X° \\ и ^ (X0, X0 + T) .
Следствие. Пусть производная функции порядка 2т+2 на интервале (-<»,<») ограничена некоторой константой М2т+2>0, т.е. выполняется условие
| /(2т+2)(х)|< М2т+2, х е (—<ю, С») .
Тогда для погрешности 5(x) аппроксимации функции имеет место
№x)) <А,
где оценка погрешности А выражается соотношением
Д _ M2m+2 T 2m+2
Действительно, эта формула для оценки погрешности А следует из (18) и из того, что
шах£Ж+1(1 -ат+1 .
о<1<1^ у 4т+1
Доказательство этой формулы приведено, например, в [10, С. 1098]. 3. Сходимость приближений функции
Если функция имеет неограниченное число производных, то для нее может быть построена последовательность приближающих ее многочленов.
Исследуем условия, при которых последовательность составных двухточечных многочленов Нт(х) сходится к функции /(х) при Ж ^ <Х>.
Из формулы (12) следует, что функцию _Дх) можно записать как:
Лх)=Ит(х) + Гт(х). (20)
Из представления (20) видно, чтобы последовательность двухточечных многочленов Hm(x) сходилась к функции fix), необходимо и достаточно, чтобы для всех x имело место (см. [13, C. 549])
lim rm (x) _ 0.
m—}от
При условии, когда рост производных ограничен некоторой показательной функцией их порядка, имеет место достаточный признак сходимости.
Теорема 2. Пусть периодическая функция fix) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (-да<х<да) показательной функцией их порядка j, т.е существуют такая постоянные M>0 и q>0, такие, что для всех X £ (—от, от) и всех j=0,1,... имеет место
| f (J)(x) |< MqJ (21)
Тогда на этом интервале функция f(x) представляется сходящейся последовательностью соответствующих ей составных двухточечных многочленов Hm(£(x)), т.е.
f (x) _ lim Hm (£(x)) (22)
m—от
или в соответствии с (9)
m f (j)tj
f (x) _ lim £ wI (4(x)),
m—OT J_0 J!
где функции и £(х) определены формулами (11) и (3), соответственно.
Доказательство. Заметим сначала, что для любого числа а (см., например, [13, С.551])
lim — _ 0 (23)
m—от m!
Для модуля остаточного члена |гт(х)| с использованием (16), (17) и с учетом (19) можно записать:
(4"(£ + 2). q)2"*2 ,24)
В силу (23) следует то, что
\\2ш+2
"m^^ - о <25>
m^» (2m + 2)!
Кроме того, очевидно, имеет место
li^-^mrr - 0 (26)
Из оценки (24) в силу (25) и (26) следует, что
lim rm (X) = 0,
что и означает в соответствии с (20), что имеет место доказываемое утверждение (22) теоремы. 4. Результаты численных экспериментов
Пример 1. Как известно, функция fx) = sin x является периодической функцией, которая имеет период T=2n. Производные этой функции вычисляются по формуле: (см. например [13, C. 149]):
(sin X)(j) - sin (x + — j), j - 0,1,...
Подставляя эти соотношения в формулы, приведенные в таблице 1, получим выражения для Ит(£), которые представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Выражения для многочлена Hm(Q
Но - 0
Hi - 2к(£-3£2 + 2£3)
Н - 2к(£-10£3 +15£4 - 6<f)
Н 3 - 2к(£ 35£4 + 84£5 70£6 + 20#7)-(2к) (#3-5#4 + 9£5-7£6 + 2£7)
Н 4 - 2к(£ -126£5 + 420£6 -540£7 + 315£8- 70£9) (2к) (£3-21£5 + 63£6 -7841 + 45£8 -10£9)
На рис. 3 приведены графики многочленов Hm(x), для m = 0,1,2,3,4. Здесь же для сравнения представлен график функции fx) = sin x, обозначенный пунктирной линией.
Рис. 3 - Приближение функции fx) = sin x
Из рисунка видно, что аппроксимирующие многочлены приближаются к данной функции при увеличении т. На рис. 4 показаны графики погрешности приближения 5(x), которая определена по формуле
для значений параметра т = 0-4.
Рис. 4 - Погрешность приближения 5(x)
Из графиков, представленных на рисунке, видно, что погрешность 5(x) также является периодической функцией с те же периодом, что и заданная функция, обращается в ноль при xk=2nk, k=0, ±1,±2... и в данном случае монотонно уменьшается с возрастанием т.
В таблице 3 представлены в числовой форме значения многочлена Нт, его погрешности 5т и ее оценки Дт для значения x = л/2, при котором функция y = sin x принимает максимальное свое значение.
Таблица 3 - Значения многочлена Hm, его погрешности 5т и ее оценки Дт
s т Нт(п/2) 5т Дт
Из таблицы 3 видно, что при увеличении т значение многочлена Hm стремятся к точному значению функции y = sin х, погрешность 5m стремится к нулю и оценка погрешности Дт, ограничивая саму погрешность сверху, также стремится к нулю.
Пример 2. Рассмотрим периодическую функцию вида fx) = sin 2x - cos x, которая также имеет период T=2n. Производные этой функции определяются соотношением:
ТС ТС
(sin 2х - cosх)( 1 1 = 21 sin (x + — j) - cos (x + — j), j = 0,1,....
Подставляя производные этой функции в формулы, представленные в табл. 2, получим соответствующие выражения для аппроксимирующих многочленов.
На рис. 5 представлены графики приближающих многочленов для т=2,4,6,8. При увеличении т аппроксимирующие многочлены также стремятся к заданной функции.
Рис. 5 - Приближение функции fx) = sin 2x - cos x
На рис. 6 показаны графики погрешности приближения 5(x), полученной по формуле (28) для различных значений параметра т.
Рис. 6 - Погрешность приближения 5(х)
Из представленных графиков видно, что погрешность приближения 5(х) имеет более сложный характер, но также стремится к нулю при возрастании т. Это объясняется выполнением достаточного условия теоремы 2 о сходимости последовательности аппроксимирующих многочленов.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
Список литературы на английском языке / References in English
