ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ИХ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

МАТЕМАТИКА СЕКЦИЯ

«ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ИХ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Сагиндыков Бимурат Жумабекович

канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель, Казахский Национальный Исследовательский Технический Университет имени Каныш Имантаевича Сатпаева, Республика Казахстан, г. Алматы Е-mail: bimurat55@gmail. com

Канатова Асем

магистрант, Казахский Государственный Женский Педагогический Университет, Республика Казахстан, г. Алматы

Абуханова Назымсулу

магистрант, Казахский Государственный Женский Педагогический Университет, Республика Казахстан, г. Алматы

ELLIPTIC NUMBERS AND THEIR AFFINE TRANSFORMATIONS

Bimurat Sagindykov

сandidate (Ph.D.) of Physical and Mathematical sciences, senior lector, Kazakh National Research Technical University after Kanysh Imantayuli Satbayev, Kazakhstan, Almaty

^ СибАК

www.sibac.info

Asem Kanatova

master, Kazakh State Women&s Teacher Training University,

Kazakhstan, Almaty

Nazymsulu Abuhanova

master, Kazakh State Women&s Teacher Training University,

Kazakhstan, Almaty

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается эллиптическая система чисел. Приводится геометрическая интерпретация эллиптических чисел в косоугольной системе координат. Определяется вид аффинного преобразования в аффинном репере.

ABSTRACT

The paper considers an elliptic set of numbers. The geometric interpretation of the set is given in the oblique system of coordinates. An affine transformation is represented among an affine frame.

Введение. В настоящее время изучаются различные виды комплексных чисел и гиперкомплексных чисел. В данной статье следуя Лаврентьеву Михаилу Алексеевичу обобщенное комплексное число представим в виде

г = х + ру,

где: р2 = -во+рв1.

Единственным обобщением действительных чисел, с сохранением известных законов арифметики являются комплексные числа. Поэтому мы займемся обобщением только внутреннего строения комплексных чисел.

Относительно инварианта квадратичной формы обобщенные комплексные числа делятся на типы: эллиптические, гиперболические и параболические комплексные числа [1].

В случае, когда Б = — в0 < 0, то обобщенные комплексные числа относятся к эллиптическому типу.

^ СийАК

www.sibac.info

Плоскость эллиптических чисел. Зададим на плоскости косоугольную (аффинную) систему координат ОХУ (рис. 1). Тогда каждому эллиптическому числу г [1], представленному в алгебраической форме г = х + ру (х, у - вещественные числа;

р2=-в0 + рв1, О=——60< 0) можно однозначно поставить

в соответствие эллиптическую точку М плоскости С с координатами (х,у).

Рисунок 1. Геометрическая интерпретация эллиптического числа

Примечание. В случае, когда в0 = 1,в1 = 0, эллиптическое число называется комплексным.

В аффинной системе координат R = {0,ё1,ё2} радиус-вектор текущей точки М(х, у) определяется векторным равенством ОМ = хёГ + уё2Г, где ёГ^, ё^Г — базисные векторы [2].

Тогда в репере R = {О,^, ё^} направление мнимой оси (т. е. направление базисного вектора ИгЦ) относительно декартовой системы координат определяется углом р, который определяется из равенства

tan р = где в0, в1е1+. (1)

Расстояние от начальной точки О до точки M(z) называется модулем эллиптического числа z и обозначается символом |z| или г. Тогда в репере R == {0, ёГ^,ёГг} при фиксированных в0,в1: |z| = г = 7х2 +в1ху + в0у2.

Таким образом обобщенному комплексному числу z = х + ру ставится в соответствие вектор ОМ, т.се. устанавливается взаимно однозначное соответствие

ОМ ^ z = х + ру.

Тогда направление радиус - вектора ОМопределяется полярным углом ф, где

Ъш* = (2)

Примечание. В случае, когда D = — — в0 < 0 обобщенное

комплексное число называется эллиптическим [1].

Число z = х + в1у — ру называется сопряженным эллиптическому числу z = х + ру. Из определения умножения эллиптических чисел следует, что

z • z = х2 + в1ху + в0у2.

Иногда удобно представлять эллиптические числа в полярных координатах. Полярную ось совместим с положительной полуосью ОХ, а полюс - с началом координат. Тогда

z = x + py=lzl (Т(ф) + pSW)), (3)

Т(ф) = cos 4-5-ф — sin 4-5-ф, Sty) = -j=sin^—D^.

Форма записи эллиптического числа в виде (3) называется тригонометрической [3].

Соответственно форму записи эллиптического числа в виде

Z = x + py= lzle(-^+p^ = Izl (т(ф) + pSty)) (4)

называется показательной.

Тогда умножение двух эллиптических чисел

Zl = Iz^ei-^^1 и z2 = lz2le(-2T+p)^

выполняется по формуле z1^ z2 = Iz1I • Iz2Ie(-~2+p)(^1+^2). Отсюда Ui •Z21 = UJ • ^ и axgizi • Z2) = arg(zi) + arg^.

^ СибАК

т\\пу.яЬас.т{о

Докажем первое равенство. Из (4) имеем, что

Тогда

= VТ2(гр) + в1Т(гр)Б(гр) + в0Б2(гр) = 1,

где Т(-ф),Б(-ф) определяются из (3).

Если эллиптические числа а = а1 + ра2, с = с1+ рс2 постоянные, а эллиптическое число переменное, то формулой

/:г& = аг + с (5)

определяем аффинное преобразование, которое задается в любом аффинном репере формулами вида х& = а11х + а12у + с1, у& = а21х +

. \\а11 а12 I , „

а22у + с2, которые удовлетворяют условию I | ^ 0.

Таким образом, если репер Я = {0,ё1,ё2} определяется с фиксированными значениями в0,в1, то между коэффициентами а^ и в0, в1 существует связь. Для этого раскроем формулу (5):

г& = аг + с = (а1х - в0а2у + с1) + р(а2х + (а1 + в1а2)у + с2).

Отсюда

(х& = ацх + аиу + С1, {у& = а21х + а22у + С2.

Здесь а11 = а1, а12 = -в0а2, а21 = а2 и а22 = а1 + в1а2. Следовательно

а21 а21

Примечание. Так как мы рассматриваем эллиптические точки, то коэффициенты матрицы преобразования [: г& = аг + с удовлетворяют дополнительному условию:

в1 _ (а11 + а22)2-4(аца22-а12а21) _ (а11 + а22) -^а21 а221

^ _ _ д _ Уа11 + а22) 4\\а11а22 а12а21 _ ~ ++ ^21 а22\\ ^ р

Отсюда (а11 + а22)2 < 4\\ | или Sp2А < 4J.

I"21 M22l

Пример 1. Пусть репер R = {0,ё^,1:2] аффинной плоскости определяется через управляющие параметры в0 = в1 = 2. Охарактеризовать аффинную систему координат.

При в0 = в1 = 2, D = — — в0 = —1, ■—D = 1. Тогда направление

мнимой оси определяется равенством tany=—-—= 1. Отсюда <р = . Радиус - вектор произвольной точки М(х,у) относительно этой косоугольной системы координат составляет с действительной

■_Q ^ ^

осью X угол = atan —§— = atan —. В частности для точки

х+-1у Х+У

z = 1 + р угол ^ = atan1¡^

Пусть R = - аффинный репер, который определяется

через фиксированные значения параметра в0,в1. Рассмотрим аффинное преобразование (6), которое переводит произвольную точку М(х,у) в точку М&(х&,у&) (все координаты берутся в репере R).

Преобразование f переводит данный репер R в некоторый репер

R& = {о&, , е2&}. В репере R& точка М& имеет координаты х и у.

Теорема. Всякое аффинное преобразование задается в любом аффинном репере формулами вида (6).

Доказательство. Найдя z из формулы (5), получаем формулу обратного преобразования

z = ~z& + - = T12Z& + ТЛ, (7)

a a lal2 1щ2

который имеет тот же вид, что и (5); если поменять местами z и z&.

I ^11 ^12 I

Таким образом z = az + с, где SpA<4] и / =L „ | ^ 0

дает искомую формулу аффинных преобразований эллиптической плоскости.

Если раскрыть формулу (7), то мы получаем формулу обратного преобразования через коэффициенты матрицы перехода

(х = dr [(а1 + в1а2)х& + 00а2У&] +-12 (а1С1 + ^1^10-2 + ^0С2а2),

Его определитель равен

^ СибАК

m\\nv.sibac.info

lal2 lal2

lal2 lal2

= в1а1а2 + в0а2) =

wlal2 = wСледовательно, преобразование (7), обратное аффинному

преобразованию (6), также аффинное.

Список литературы:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ОБЛАСТИ СПОРТА

Федотов Олег Васильевич

преподаватель, Уральский Федеральный Университет,

РФ, г. Екатеринбург E-mail: orionsoft@km. ru

Осипов Дмитрий Олегович

студент, Уральский Федеральный Университет,

РФ, г. Екатеринбург E-mail: osipov_23@bk.ru

MATHEMATICAL METHODS AND MODELS IN SPORTS

Oleg Fedotov

lecturer, Ural Federal University, Russia, Ekaterinburg

Dmitrii Osipov

student, Ural Federal University, Russia, Ekaterinburg