ДВУХСКОРОСТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦМАНА-МАКСВЕЛЛА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

Автор: Омуров Таалайбек Дардайылович

3. Джураев Т.Д., Сопуев А.К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000 - 144 с.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

6. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. - 1972. № 12. - P. 559-565.

7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.

^ СибАК

www.sibac.info

ДВУХСКОРОСТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦМАНА-МАКСВЕЛЛА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

Омуров Таалайбек Дардайылович

д-р физ-мат. наук, проф. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: omurovtd@mail. ru

Туганбаев Марат Мансурович

канд. физ. -мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек

Талантбеков Аскар Талантбекович

аспирант, преподаватель Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: A-talantbekov@mail.ru

TWO-SPEED CONTACT PROBLEM BOLTZMANN-MAXWELL WITH A SMALL PARAMETER

Taalaibek Omurov

doctor of science, professor of Kyrgyz National University named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Marat Tuganbaev

candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

Askar Talantbekov

post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В статье проведено исследование двухскоростных обратных задач типа Больцмана-Максвелла с малым параметром. При этом с целью выяснения разрешимости изучаемые задачи эквивалентно преобразованы к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода и используемые преобразования не выводит исследуемые задачи из класса (Б-М) уравнений причем в полном объеме сохраняет физические значения исходных задач. Исследование носит не только теоретический характер, но и имеет практическую ценность, так как полученные результаты могут быть использованы и при решении задач переноса более сложной структуры.

ABSTRACT

The paper studied the two-speed type of inverse problems of Boltzmann-Maxwell with a small parameter. At the same time in order to clarify the solvability of the problems under consideration is equivalent to the transformed system of Volterra integral equations of the second kind, and used the conversion does not take of the problem of class (B -M) equations with fully preserves the physical values of the original problems . The study is not only theoretical, but also has practical value, because the results can be used in solving transport problems more complex structure.

Введение

Первое кинетическое уравнение было получено Л. Больцманам [3] и решающий вклад в теорию этих уравнений внес Дж.К. Максвелл [12], введя основное понятие кинетической теории -функцию распределения и сделав основополагающее предположение

.(с СибАК

о том, что столкновение между атомами ведет не к выравниванию скоростей, а к установлению распределения по скоростям [6; 12]. Двухскоростные обратные задачи с малым параметром в теории переноса должны, в частности, рассматриваться при расчетах устойчивости задач переноса типа (Б-М) [1; 2; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11], то есть обратная задача требует нахождения неизвестной функции распределения, и восстановления неизвестного коэффициента в правой части. Причем такие задачи вообще остаются мало исследованными, несмотря на их исключительную важность в приложениях, в чем и заключается актуальность данной работы. Рассмотрим задачу

д/ £ & дх1 £ &( &и& (1) = (* Ж (, х ) + И0 (х, х 2)[сг (/)/ (х„ х 2) + еК/е],

/е=0 = /о(х1,х2)- У(х1,х2) е (2)

/е(х°, х20,0 = ^(0, V/ е [0,70], (3)

Се (/) = ( | К (х1, х2 )/\\ (х1, х2 , 0^1 ^2 )( | к? (х1, х2 )/о (х1, х2 ^х^х2 )_1, Я2 Я2

| К (х, х)/ (х, х )dx1dx2 Ф 0,

К/е = | К (х1 , х2, , ¿2) /е (^, ¿2, / )к0 (^, ,

IК= 1; С1Д(Д2) Э К > 0, Д = Я2 X Я2,

0 < о( = сош^ 0<^(х,),^(?),0 < К (х,х2),0 Ф ^(х,х,О,К,/ известные гладкие функции, О = Я2 х [0,7 ]; Я2 э (х° ,х0) -фиксированные точки. При этом (/, ) - неизвестные функции

W0 (П) = {/„/ е С111 (О), 2£ е С[0,7]}, О = Я2 х[0,7].

Доказывается на основе этих условий разрешимость и близость решений возмущенного и вырожденного уравнений в пространстве (О), так как, при е = 0 имеем

дГ 2 дГ 2

+ Х+ ХЛ<(Х)/ = 2 СЖС*,,*2,/) + 2)е(г)/0(х1,х2)

д» 1=1 сЦ 1=1

/ I=0 = /о (х1,Х2)= V(Х1 ,Х2) е К2 , (6)

/ (Х10,х0,/) = ), V/ е [0,70],

(0,1) ъ е — малый параметр. Тогда

дГ 2 дГ 2

+ X а[ + (Х/ )/ = А 0( Х1, Х2ЖО/0 (Х1, Х2 ) + 2 (&Ж (х1,Х 2,0,

О! ,=1 дХ/ ,=1

с условиями

|/|,=0 = /0(Х1,Х 2), V( Х1, Х 2) е ^ I/ (Х10,Х20,/) = я(/), V/ е [0,70].

^ Сийдк

www.sibac.info

Имеем систему

/ = /0( Х — а/ Х2 — а2/)ехр

п * Х, Л

X- | Я,. ( х/^х/

+1 ехр —X — | хХМХ

0 ^ ,=1 а, х —а (/—¡)

х{иа (х—а (/—х — а (/—5))( | К , ^) / , ^, в^в^г)

(I К) («1, X)/ (х, в2 )—1 X /0 (х — х (Л — в), Х2 — а2 (/ — в)) +

с(/) = ( I ^ (^ , в2 )/ (X , X ) —1 X

х{ | /70 (х. х )(Я0 [/.г]) . х. О <Мх} - (М,[/. гщ,

2 (/) = х0, х0; /))—1{я&(/) —

2 2 1 х. —[—Xа,/ц (х° — а/,Х° — а2/)ехр —X — | Я(х,)^

& /=1 а, v0_

+/ (х° — а/, х° — а/) ехр

( х0 \\ 2 1 х0 2

X- I Я(х/)ёх/ X[—Хл-(х,0 — а/)] +

&=1 а, х0 —ал &=1

^^^^ СибАК Естественные и математические науки в современном мире уту?.яЬаст1о_№5(40). 2016г.

I 2 1 х,

+| ехР -£ — | Л(

0 I &■=1 - а, (I-у 2

х| -£ Л (х0 - а (I - 5))1 {К (х,0 - а (I - ¿), х0

[-£Л (х,0 - а,(/ - ¿))] {к0(х0 - а1(/ - ¿Х х20 -/=1

-а2 - ¿))( | к0 С*1, С*1, ¿2 , )

( I к0 <Л, ^ )Л0 <Л, ¿2 №1^2)^ Л (х10 -а (/ - ¿), х0 - а (I - ¿))+2(х0 - а (I - ¿), х0 - а (I - ¿);+

I 2 л х

I 2 1 ■*,

+| ехР -£ — | Л(

0 I ,= 1 а,х° - а, (I--)

х{(-£аК01 (х° - а (I - -), х0 - а (| - -)) х

х( | ¿2 )Л(-1, ¿2 , )

,¿2)/(¿^^У^^) /0(х1 -а1(1 -5),х2 Я2

-а2(| - + к0 (х10 - а1(| - ¿Х х20 - а2(| - s))c(s)(-£а/01, (х0 - а1(| - s),х20 ,=1

-а (I - ¿)))+2(^)(-£ а^ы (х° - а (I - ¿), х0 - а (I - ¿);

..0 __0 \\

5))}бЬ + /70(Х1 ,Х0)Х

х(м.[/, г]) (/) /0 (х», х2°)]} = (Д[/, г]) (/),

= х0 - а!, I = х0 - а(I -5), (, = 1,2).

^ Сийдк

т\\пу.яЬас.т{о

Следовательно

г„+1« = (я1[/,.2„])(0.(» = од....).

/„=о. г0=о,

Еп+1 /п+1 — /||с + I|2и+1 — 2||с ,

11с +1 \\г\\\\с ■

Еп+1 - ^ Е0 „^»(¿<1)

Тогда

Л , 2п ] ->[/, 2], V(x, х, О еО.

Теорема 1. При условиях (8), (11) обратная задача типа (Б-М) (7), (8) разрешима в пространстве Щ0 (О).

Поэтому, чтобы установить близость решений (/, 2в) к (/, 2), когда £ ^ 0 в смысле нормы пространства (О), сперва докажем

разрешимости обратной задачи (1) - (3).

В первом пункте рассмотрим вопрос однозначной разрешимости задачи (1) - (3) в (О), а во втором пункте докажем близость решений задачи с малым параметром и вырожденной задачи в этом классе функций.

Таким образом, рассмотрим задачу (1) - (3). Следовательно, используя преобразование вида:

Л = бе(Х1,Х 2,Л)еХР

—X1 ¡м( х№

у ,=1 , —да

. V(х1,х2,Л) е О,

www.sibac.m1o

получим задачу вида

^texPfe U

(Z (t) F0( x„ x 2, t) +

dt ,=1 fa, V — ai _ y

+ho( Xi, x 2)cs (t )fo( Xi, x 2) +

+sh0 (xl,x2) | K(x, X, , s2)f (si, s2, t)h„ (^, s2 )dslds2},

Qs \\,-0 - Qo (X1,X2) = f0 (X1,X2) eXP t _ j А- (Xi )dxi

V ,-1 ; -да

V(x1,x2) e R2.

Из(13)следует

Qs - Qo(X1 - a/, X2 - a2t) +

t i 2 Y X&-a, (t-s) Л

+j exp t — j А (x,)dx, (Zs(s) Fo(x - a1(t - s), X2 0 V ,-1 a, У

-a2 (t - s); s) + ho (x - a (t - s), X2 - a2 (t - s))Cs (s)f (X1 - a1 (t - s), (14) x2 - a (t - s)) +

+sh0 (x - a (t - s), X - a2 (t - s))

j K(x - a (t - s), x - a2 (t - s), s, s2)h0 (s, s2)f (s, s2, s)}ds.

Тогда на основе (12) и (14), имеем

fs - f0(x1 - alt, X2 - a2t)eXP

( 2 1 x, Л

-t - j AtfK

,-1 aiJ-a,

< (Z (s)F(x - a (t - s), x - a2 (t - s);

+j exp -t — j Л(

0 V ;-1 ai xt -a, (t-s)

s) + ho (x - a (t - s), x2 - a2 (t - s))cs (s)fo (x1 -a (t - s), x - a2 (t - s)) + sh0 (x - a (t - s), x - a2 (t - s))

j к (x - a (t - s), x R

^ СибАК

т\\пу.яЬас.т{о

—а2 (Л — в), Х, Х )К , ^2 )/е (51, ^2 , =

Г 2 , х, Л

,=1 и/х, —ал

2 № (Х1 — а^ — х),

= / (Х — а/, Х — а/) ехр

Л ( 2 : х +| ехр —X — | М( х/

0 ^ ,=1 а, х —а (/—*)

х — а (/—5); в)+К (х — а (/—х), х — а (/—в))

( | К , ^2 )/е (X , ^2 , Х)^^ )( | ¿0 (X , Х )/ , ^2 )йМх ) —1 /0 (Х1 —

—а (/—в), х — а (/—5))+еИ0 (х — а (/—х), х — а (/—5))

| к (х — а (/—в), х — а (/—в), х, х )К (х, х) / (х, х, ¿О}^ =

- (Н0[/е,2е])(X,х,/),

Лемма 1. При условиях (2) - (4) и (12) уравнение (15) является составным представлением задачи (1) - (3).

Отметим, что уравнение (15) содержит неизвестные функции (/, 2в). Поэтому, принимая во внимание (3) и далее, дифференцируя (15) по ^, выразим неизвестную функцию 2, т. е. получим систему

м&и&и \\sibacinto

0 Ф ^ (х, х2,I), V(х, х, I) е О,

/е = (Я0[/ , 2 ]) (X, х2,I) ,

(I) = (*0( х0, х0; ЪУ1*^ &(I) 2 2 1 х. -[-£ /(х°- аЛ х20 - ^)ехР -£ — | Л (х- ^

^^ 1 ^^ п -1

+/ (х° - а^, х\\ - а2I) ехр

А х0 Л

2 1 х. 2

£ - I Л(х/ х [-£л(х0 - а/)] +

&=1 а- х0-ал &=1

I ехр -£ — I Л(x&¡)dx&¡

¡=1 а.

х[-£ л (х0 - а (I - ¿))] {К (х0 - а (I - ¿), х0 - а (I - ¿)) х

х( I КА, ¿2 )/е (¿1, ¿2 , )

(I К) (¿1, ¿2 )Л (¿1, ¿2 )-1 /0 (х° - ^ (I - ¿), х° - а^ - ¿)) +

+2В (я)р0 (х° - а (I - ¿), х° - а (I - ¿); + еИ0 (х° - а (I - ¿), х° - а (I - ¿)) IК (х° 2

^ СибАК

www.sibac.info

—а (/—х), х° — а (/—х); х , х )К (х , х) / (х , х, х)3х13х2 }3х+

+| ехр —X" I М( Х)Ф&

0 ^ ,=1 а, х0 — а, (/ — х)

Х^ а(Х0 — а^/ — х), Х° — а2 (/ — х))/ (х° — /=1

—а (/—х), х° — а (/—х))( I к (х, х) /в (х, х, х^х^х2)

( I ¿0 (¿1, ¿2 )/0 (¿1, ¿2 ^Х^ ) —1 + ¿0 (Х0 —

—а (/—х), х° — а (/—х))( I к (х, х) /в (х, х, ¿)3х^х2)

( I ¿0 (¿1, ¿2 )/0 (¿1, ¿2 ^Х^ ) —1 X

X (—X а ¡/ы, (х0 — X (/ — х), х° — а2 (/ — х))) + /=1

+2е (х)(—X (х° — X (/ — х), х° —

—а2 (/ — х); х)) + е(—X аКо! (Х° — X (/ — ¿),

х\\—а (/—¿)) I к (х° — а (/—х),

— а (г — х), х —

—а (/ — х); х, х)/ (х, X, х)К (Х, X) 3x^2 }3х + +еЛ0 (х° — а (/ — х), х° — а (/ — х)) X

м&и&и \\sibacinto

Если

х I (-£ аК^ (х0 - а (I - ¿), х° Я2 ,=1 &

-а2 (I - ¿);^, ))К (х, X)Л (X, X,5)dslds2 +

+Й0 (х0 , х0 )/ (х0 , х2 )(М* [/е , 2е ]) (I) +

+еК0 (х10 , х20) I К (х10 , х20 ; X , ¿2 ^е (Х , s2, I) х Я2

хЙ0 (^, ¿2 , I) }]} - (Я1 [,/е , 2е ]) (I) ,

Се ^) = ( I К0 ^, X )/0 ^, ¿2 У^Х )-1 х Я2

х{ I К0 ^, ¿2 )(Я0 [/е , 2е]) (¿1, S2, I) ^1^2 } = Я2

- (М* [/е , ]) (I) .

£ 1Я, = d < °

Я,, : ^ (0) ^ ^ (0),

^(0) = {/е,2 :|/е|< г, ^ г, V(х,х2,I) е О},

где: Д ,(& = 0,1) - коэффициенты Липшица операторов Я,.,(& = 0,1),

то система (16) решена в причем, {/ет+0}, {2е,т+0} построены методом Пикара:

/е,ш+1 = (Я0 [/е,т , 2 е,т ])(X1, X2, ^

2е,т+1 = (Я 2 2[/е,т , ^ ])(х1, х2, I), = 0,1,2,...), (18)

/е ,0 = 0; г е,0 = 0,

^ СибАК

www.sibac.info

с ошибками вычисления:

Е < йт+1Е _

Ет+1 < и Е0 <1)

Ет+1 ||/в,т+1 с +||К£,т+1 К е\\|с :

+1К

Поэтому

,,т & К,,т ] т^со

пРи эт0м , шо

У К,], X, Х2, г )еО:

о < (1 - й)-1 ,(й < 1, о < о, = сопя). (21)

Лемма 2. При условиях (2) - (4), (17) и (20) исходная обратная задача разрешима в (О).

В первом пункте отмечено, что вырожденная задача (5), (6) разрешима в классе функций (О) (см. (7), (8), результаты теоремы 1). Кроме того, в условиях леммы 2 и исходная задача (1) - (3) разрешима в (О).

Поэтому, чтобы доказать:

а, к,) </, к )

В W^(О), когда £ ^ 0, поступим следующим образом, т.е., воспользуясь [7, 9]

У, (Х1, Х2 ,г) = /(Х1, Х2 ,г) + (Х1,Х2 ,гX 2,(г) = к (г)+,),

£ (Х1, х 2,0) = 0,

£ (х0, х0, г) = 0,

ле (0) = 0,

(г) = ( | ¿0 («1, ^ )/0 (X , Х )-1 | ¿0 (^, ^ )£ (^, ¿2 , гййх ,

из уравнения (1) получим

д|е + ££ а, + (£ Л (х, ))#е =

дI ,=1 дх, ,=1

= Пе (IЖ (х1 ,х2 ,I) + ¿0 (х1,х2)а е (I)/0 (хо ,х2) +

+е I К(х1,х2, ^, )К С?!, X (¿1 ,¿2, I)dsld^ + ^ (х,х2 ,0,

Я2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2

7е (хо,х2 ,0 - е I К(хо,х2, ¿1, ¿2 )К (¿1, ¿2 )

/(^ ,¿2, Г)сЬ^2 ——0 > 0, V(х1,х2 ,I) е О, У1!(х0,х2,0 е С1&1 (О).

Далее, учитывая алгоритмом решения исходной задачи (см. (12) -(16)) из (24), следует

^ Сийдк

0 Ф ^ (х, х, I), V(х, х, I) е О,

г 2 - х ^

I 2 ^ х,

^е = I еХР ^^ I Л (х-)Сх,

0 .. П

х2 - а (I - ¿); ¿)+К (х - а (I - ¿), х - а (I - ¿))/о (х - а (I - ¿), х - а (I - ¿)) х

{7е(s)Fо(хо - ао (I - ¿),

х( I ^0 (¿1, X )/0 (¿1, ¿2 )-1 I К (¿1, ¿2 )#е (¿1, ¿2 , S)dSldS2

+е\\ (х - а (I - ¿), х - а (I - ¿)) I к(х - а (I - ¿), х Я2

-а2 (? - я). X - X )/?о (X - X )ьг (X - X - + ^ (X "

®е (I) = ( I К (¿1, ¿2 )/ (¿1, ¿2 ^¿^2 )-1 х

х{| /70.)(Я0[£.7,])(х■ X• о«Мх} - (Л/.[£■ 7,])(О я2

I Г 2 1 х,0 ^еС) = -№(х0,х0;I)) ЧIехр -£- I Л,(Л

х[-£Л (х,0 - а, (I - ¿))] х

х*К (х° - а (I - ¿), х0 - а (I - ¿))/о (х0 - а (I - ¿), х° - а (I - ¿))

( I К (¿1, ¿2 )/ (¿1, ¿2 ^¿^2 )-1 х

х| А0(51,52)£,(51, 52, 5)й51й52 + ] 8 («)Г0(Х° - а1(г - 5), Х° Я2

-а (г - 5);«)+еИа (х0 - а (г - 5), х0 - а (г -«)) | к(х0 - а (г -«),

х° - а (г - 5); х, хЖ (х, X) х

х£ (х, 52, 5)^X^2 + 7г (х° - а (г - х), х° - а (г - 5); +

г 2 1 х,

+| ехр -Х _ | л(

а- х° - а, (г - 5)

х{(-^ акй1 (х0 - а (г - 5), х0 - а (г - 5)) х 1=1

х/0 (х10 - а1 (г - х20 - а2 (г - 5))

( | ¿0 (5, (5, 52)й51й52 )-1 | ¿0 (51, 52 (5, 52 , 5)й51й52 +

+¿0 (х10 - а1 (г - ^ х° - а2 (г - 5))(-Х а,/011 (х10 - а1 (г - 5), х2 - а2 (г - 5))) х

1=1

х ( | ^ (51, S1)/0(S1, 52)й51й52)-1 | 52 ) £ (51, 52, ^^ + Я2 Я2

+], (5)(-Е (х0 -=1

-а (г - 5), х° - а (г - 5); 5)) + (х° - а (г - 5),

х° - а (г - 5)) | к(х° - а (г - 5), х\\ - а (г - 5);

5,52 )£(х, 52,5)й0 (5, 52) +еИ0 (х° - а (г - 5), х° 2

-а2(г - 5)) | (-Х ак1,(х10 - а1(г - х2- а2(г - 5); (24)

51, ))^0 (51, (51, , 5) й51й52 +

+(-Х а^ц (х° - а (г - 5), х° - а (г - 5); 5) }й5 +

+/;0 (х?, х2° )/0 (х», х2° , //г]) (/) +

+е\\ (х°, х° ) | К(х°, х°; 5, 52 )£ (5, X, г(5, X, г)

+ГД х», х2° ,/)] = (Я, ])(/).

^ Сийдк

m\\nv.sibac.info

Поэтому, оценивая (24) в смысле Wc , при этом учитывая (17), т. е.

1=0

S (0) = \\ : \\Ф Г„ \\ъ\\<, rl, V( Xj, x2, t) e Q},

Получим

=(Я0[ь%.^т])(х1.х2.О.(ОТ =0.1....). >0,

E < jm+l E _

Em+l — d E0 m—>co(d<l)

,+ \\m+l -\\X- dm+1Eo

Em+l |ps,m+l bs||с 1 |\\&/s,m+l ys |C — d E0 m—да (d<l)

E0 =||£||с + 1\\\\||с •

Тогда система (24) решена в Wc0, причем

s,m> is,mi m—да

-*[£, \\s], V(Xj,x2,t) e Q

E0 Hl^sllc +l\\s||c , _

Eo — (l - d)-1 sßo да—0— о, (0 < Qo = const).

Аналогичные ограничения получим и относительно в частных производных функции (£в (х,х2 >0; ^ (0) •

Теорема 2. В условиях теоремы 1, леммы 2 и (27), устанавливается близость решений возмущенной и вырожденной задачи в Щ (О), когда £ ^ 0.

Список литературы:

1. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории приближенного решения задач о переносе частиц. - Москва: Отд. выч. математики АН СССР, 1984. - 206 с.

2. Арсеньев А.А. Кинетические уравнения. - М.: Знание, 1985. - 64 с.

3. Больцман Л. Лекции по теории газов - М.: ГИТТЛ, 1953.

4. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды МИАН СССР. - М.: 1961, № 61. - С. 3-158.

5. Казаков А.Я. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоской среде. - ДАН СССР, 1983, 270, № 5. - С. 1100-1103.

6. Максвелл Дж. Основатели кинетической теории материи. - М: - Л., ОНТИ, 1937, С. 201.

7. Омуров Т.Д., Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. - Бишкек: Илим, 2010. - 116 с.

8. Смелов В.Б. Лекции по теории переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, 1978. - 216 с.

9. Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца - Больцмана. - Бишкек, 2011. - 122 с.

10. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. - Москва: Атомиздат, 1973. - 375 с.

11. Frosali, van der Mee, Paveri-Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., - 1989. - Vol. 30. -№ 5, - Р. 1177-1186.

12. Maxwell J.C., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. 1864 Р. 526-597.

ОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ Р-ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКОВ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

Темиров Бекжан Кайыпбекович

д-р физ.-мат. наук,

Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: bekjant@mail.ru

Бараталиев Керим Бараталиевич

д-р физ.-мат. наук,

Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек

Сапарова Айнура Батыралиевна

ст. преподаватель

Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек