Спросить
Войти
УДК 681.3
Беркетов Г. А., Федосеев С. В., Микрюков А.А.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет экономики статистики и информатики», г. Москва, Россия
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ КОНТРОЛЯ
Введение.
Для измерения контролируемых параметров некоторых систем на вход объекта контроля (ОК) или в отдельные внутренние места необходимо подавать эталонные стимулирующие сигналы. Достоверность контроля в этом случае в определенной степени зависит как от точности измерений, так и от точности стимулирования.
При проектировании систем контроля (СК) встает задача о выборе параметров соответствующих подсистем, обеспечивающих минимизацию затрат и заданную точность измерений.
Постановка задачи.
Пусть при контролируемом параметре Y соответствующий стимулирующий сигнал характеризуется параметром X. Будем называть X стимулом, а Y - реакцией. Зависимость между стимулом и реакцией можно записать в виде Y = F(X,m), где ш - состояние ОК.
Так как ш носит случайный характер и заранее неизвестно, реакцию Y также следует рассматривать как случайную величину.
Случайную функцию F с достаточной для наших целей точностью можно описать двумерным законом распределения:
Р{}2 = !Ш) < Й = ff G(u,v,x1,x2)dudV
u<yі v<y2
Введем следующие обозначения:
x - номинальное (расчетное) значение стимула;
Y = F^ipc) - реакция на номинальный стимул;
g(y)- плотность распределения случайной величины Y;
fi(x,u) - плотность распределения реального стимула, который в силу погрешности аппаратуры стимулирования является случайной величиной;
f2(",v) - плотность распределения ошибки измерения;
#1, #2- носители функций fi и f2 ;
[а, Ъ] - поле допусков для контролируемого параметра (реакции);
Рлои Рно- вероятности ложного и необнаруженного отказов, т. е.
Рло = r{Ye[a,],Z £[а,Ъ]};
Рно = T{Yt [a,b],ZE [а, Ъ]},
где Z = Y + 8 + 8, 8 = Y-Y, 8 -ошибка измерения.
Тогда
Рно(и, v) = 1y<2 dyg(y) JD dyH(у, y; u) J f2(7 - y, v)dz;
Рло(u,v) = J2 dyg(y) JD dyH(y/y;u){1 - J3 f2(z - y,v)dz}; (I)
H(y,y;u) = Jd fi(x;u)h(y,y; x)dx,
где # - носитель функции H;
h(y,y,x)= -s-:--- - плотность распределения Y при условии, что реакция на идеальный стимул быJs G(y,y,x,X)dy
ла бы равной y.
В принятых обозначений рассматриваемая в данной работе задача будет формулироваться следующим образом: минимизировать целевую функцию
при условиях
Рно(ц, v) < ?, Рло(U,V)<P. (3)
В качестве примеров u и v в частном случае могут быть взяты дисперсии стимула и ошибки измерения. В общем случае u Є U с ER,vЄV с Ер. Значение функций Y иЗ соответствуют расходу некоторого ресурса на проектирование или реализацию соответствующих подсистем с заданными значениями параметров u и v соответственно.
Точное решение поставленной задачи обычно получить нельзя из-за сложности целевой функции и ограничений. Интегралы (I), как правило не берутся в элементарных функциях, что приводит к необходимости использования кубатурных формул для их приближенного вычисления. Целевая функция и функции плотностей в практических задачах обычно непрерывны, но часто не дифференцируемы. Поэтому в дальнейшем предполагается только их непрерывность.
Алгоритм решения задачи.
Будем решать задачу методом последовательных приближений. Для простоты изложения положим U XV с Е2.
Введем следующие определения
W = UXV = {(u, v)/Ui <u<U2,Vi<v< V2};
J = {w/РноМ < ?; Рло(к) < @}.
Множество S = {wij/ui = ui—i + hi,vj = vj—i + h2}
/1 i U2—Ui 1 2 S2—Si 4 . . tat
(hi =----; h2 =--; n,m- некоторые целые числа) называется сетью узлов (точек) для вычисления W.
у п m &
Комплексом называется множество из п2узлов сети с наименьшим диаметром (п - размерность сети; диаметр множества - максимум расстояния между его точками).
Всякий комплекс можно представить как систему {W0, ©}, где W0 = (u0v0) - базовый узел, 0 - ориентация относительно W0. Будем говорить, что комплекс имеет ориентацию © = (+), если для его узлов выполняются неравенства u>u0,v>v0. Комплекс имеет ориентацию (+,—) . если u>u0,v0>v. Аналогично определяются ориентации вида (-),(-,+).
х-^ТТ-ЄТТ‘3 -і т - -ттог &AJLI oa-ffeg :вєнец
- • л з а : єіліАиєоціліиз оаонїґоАєнАїґжон HtrAdo, : ТТОЄ - ояіізонєн и Яіізонжоїґєн * эАэфэ ионзониїлюнохє а ииноігонхоо, хгянноиїїєжЗофни ниєиаєєА ниноігаєАнєн *v*J aoiLoxdog &*уу аохснАхин &*g*o аоозоїґоф •£
*Т0^-00^*з • л x - ‘OIOS &AJLI оа-їґєи : єєноц - • л з a : єіліАиєоціліиз оаонїґоАєн -Аїґжен iaffAdti -OIOS - ояіізонєн и Яіізонжоїґєн ’©іліоіьзиз ионяігоііиігзингяя ионноігоїґоАизєА я иілігяннєїґ єноілі -до ииАвєинваАо ионяігєнои&пєА ниноігоїґоАио єнєїґєд *д*0 аоозоїґоф &*уд aoiLoxdog &*уу аохснАхин *z
&SToN &ниАоз кєйО0ьинх0Л9йідо * ининоАііхоїгєоиїґєА iaooduog // ‘ілюєзиз хіянжоїго оігоАзнон ілюнзониіієілюїііяє ndu аоєєхііо оаонножААєндоон и оаонжоїг иоозононоАоа оиноігоїґоАио уд аониігод &*уд aoiLoxdog *х
VdAlVd31HU
• нігоАзнон єзноя^о аоєєхло хгянножААєндоон и оаонжоїг иозононоАоа єн иинонинєАао ілюзонА о іяіаі
- ©лоно сяиїїєєиігєоА иіги оинєаоАиіінооАц єн єєАіієє оіи&пєєиіліиниілі ииїлснєяиноцзодо & аозноїшілюх хинзонинхоа, хіянжоїго нігїґ HirodtiHOH гяілюєзиз єєоііінио оаоняігєіліиоіио инєїґєє нинотоА ілцшАоаігє Hoffoandu ooogod g
эинэьоигн^б
*(£)-(£) инєїґєє oiHHornod н но
-оиїґохо & єілшиАоііігє оцонножоїгєиоіпгяя °м н іліоиноноіліиАц нєннонАїгон /{й+гім} яоооняігооєаоїґоігоои єїґаод
•до єи єнноіі нєн яігоаєиоАи - °м &до єн ниАннАф нєігнАніяа - (м)ф
•0 = гЧ & 0 = т Ч “<_“ніїі
! 0 = u3 “^ищ& о = ил “^ищ яооАп * оиноїґжАояіу * ожин Hoonffoandu єілцшАоаігє оаонножоїгєи иозоіліиїґохз ниаоїгзу
*Х м HtiHodou &d+uM = г+им яоижоїгои -(l+usz>us *э*о
,и£ о єнєаооєїгаоо яоіяд єнжігоїґ l+us яооо) г+ил&т+гА? ‘і+и£ ілієАііоілієАєц ілііяаон н иоиоАои &0=g иігод
’Z м HtiHodou •/{,@}—д=:д аижоїгон онноіліоАяонісґо &{у ‘і] Азноїшілюх н HtiHodou & ниноїґєиаоз оєнАїгз а &и (^/)до иіліЄііноіліоігє иіліинїґоігооц о і яєинаєАз 0 Ф І, 0 Ф і иігод
•d+uM
єігєА оняігооиооноо HHAaoHOHdo оаооожонілі - °д оїґа 7{©&©} — °g = g и d+uM = і яоижоїгои &0 = і иігод *Х м HtiHodou *G0W аооноіАіоігє хинїґоігзои єи ниїґо T+d+wM оаєзонєх а яєнєа Q/)W 0 d*uM иігод
& (Я)УІ оаооожоніАі иоиєн яоиігоиніяа .&^з/и нігїґ (м)Х яєиігзингяд
* d+uM єігєА оняігооиооноо &оаєш iMotnAffiaffodu єн оаоннєаоєяігонои & єзхоїшілюх HnAHOHondo - @ оїґа
& (+&-) ^ (- -+)&(+) ^ (-)
: aoffoxodou іяАиігдєо иоШсяАїґоіго иШоїліон ndu @ он HoooHiroffoduo @ &{д ld+uM} = }[ OH0ITUIAIOH HtiHiroffoduo
: є ілі л и d
-оаігє сяяШоїдіои о нооАїґиєн нин0ЖИIгgиdu оиШсяАїґоігоои єїґаод * (I) aoiredLiooHn ииноігоиніяа Яііоонноо - из &алоз нєіліоАєяігоиои -us зїїа ,ил‘из‘и$ HiAiediioiAiHdHU HOiioAsndOiiHHdex ииноігоиніяа eooododu оинноооод
* (Z) - (Z) инєїґєє HHHomod нігїґ 0ин0ЖИIгgиdu 0-(d+u) — d+uM ялоАд • (эинноээтгй — d) (0M‘zM)d > (0MaM)dмітоз <zm > тм
: OHOHOffHdOUA ОННИіІОЄН pij ОЯіІООЖОНН
&{}{ Э = (м)лХ/хм^ оаоозжони єзАзн иинєнєодо
* аоїґОіЬ
-0іАі хіяніїооаєи єи один-оаонєн сяяШоїдіои о онножиігдиАи ноосянігоиніяя (^) нігїґ (і) аоігєАаоїіни оинонєнд
•OH0ITUIAIOH ИіяАОі1ОН0Н - }{ &0 <3&л э^а ‘ (м)лХ - (^)ш
(^) Яз+Т(Н - О)°И&о] хеш) + 3+т([» - (/H)°Hd:&o]xEra)}j + (лі)ф = (мух
• ИИАННАф 0ИШСЯАїҐ0ІГО ІАІ0ЇҐ0Яд
