Спросить
Войти
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.98.8.033
CТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ
Обзорная статья
Ганичева А.В.1, Ганичев А.В.2, *
* Корреспондирующий автор (alexej.ganichev[at]yandex.ru)
Аннотация
Проблема независимости случайных событий является одной из самых важных и недостаточно изученных в теории вероятностей. Важность проблемы вызвана массовым применением в практических приложениях допущения о независимости факторов. В статье показаны формулы для вычисления условных вероятностей суммы, произведения событий и противоположного события. Установлены два необходимых и достаточных условия независимости событий. Полученные результаты могут использоваться в интеллектуальных системах принятия решений.
STOCHASTIC INDEPENDENCE OF COMPLEX EVENTS
Review article
Ganicheva A.V.1, Ganichev A.V. 2 *
* Corresponding author (alexej.ganichev[at]yandex.ru)
Abstract
The problem of independence of random events is one of the most important and insufficiently studied in probability theory. The importance of the problem is caused by the mass application of the assumption of independence of factors in practical provisions. The article shows formulas for calculating the conditional probabilities of a sum, the product of events and the opposite event. Two necessary and sufficient conditions for the independence of events have been determined. The obtained results can be used in intelligent decision-making systems.
Keyword: event, conditional probability, product, sum of events, independence criterion, factor, equality, statement.
Введение
Многие вероятностно-статистические модели основываются на использовании независимых событий в качестве результатов измерений, наблюдений, испытаний, опытов, анализа данных. Например, в системах распознавания объектов предполагают независимость их характерных признаков, в системах диагностики говорят о независимости появления одного вида дефектов изделий от других видов, при выпуске продукции используют понятие независимости факторных переменных и т.д. Причиной частого использования независимости случайных событий является существенное упрощение математических выкладок по сравнению с зависимыми событиями. Понятие независимости событий носит философски-методологический характер [5]. При этом следует учитывать субъективный и объективный подходы к данному вопросу [3]. Как отмечается в работе [7, С. 463], вероятностный подход является ключевым в современном научном мировоззрении. В научной литературе недостаточно рассмотрены вопросы условных вероятностей и независимости событий.
При использовании основ теории вероятностей возникают две задачи:
Эти две задачи определяют цель данной статьи.
Постановка задачи
Как отмечается в [4, С. 132], понятие условной вероятности является основным элементом теории вероятностей. А.Н. Колмогоров полагал, что идея независимости является центральной в статистике [10]. В статье [9] описан способ построения вероятностных мер посредством условных относительных мер, относящихся ко всей совокупности наблюдаемых событий.
Условной вероятностью события A при наличии B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Принято обозначение P{A / B).
Приведем определение независимых событий, данное в [1], [2], [4]. Событие A называется независимым от B , если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. P {A/B) = P {A) . В противном случае, если
P {A/B) ф P {A), событие A зависит от B . Сформулируем основные свойства условных вероятностей и докажем критерий независимости сложных событий.
Теоремы об условных вероятностях
Важной задачей, возникающей при работе с условными вероятностями, является нахождение условных вероятностей произведения и суммы событий, а также вероятности противоположного события. Из приведенных ниже соотношений (1)-(8) формулы (1)-(5), (7) отражены в литературе, (6) и (8) не нашли должного отражения. Теорема 1. Для любых событий А, В , С справедливы следующие соотношения:
P( А/В\\ P(АВ) P(АУ P(
P1AAB j= ^ву " P^)
P ( A В ) = 1 - P ( A В ) (2) , ,-ч P ( a)- P ( В a)
P(ab)= ( P(B) ) (3)
P ( A + B/C ) = P ( A/C ) + P ( B/C )- P ( AB/C ) (для совместных событий) (4)
P ( A + B/C ) = P ( A/C ) + P ( B/C ) (для несовместных событий) (5)
p ( a - b/c) = p ( ac)- p (bac) (6)
P (C/AB ) =
, , , р (са/в)
р (С/АВ )-ращ (8)
Доказательство. Соотношения 1 и 2 очевидны; соотношение 3 следует из 1; соотношение 7 вытекает из 1, 8 - из 6. Доказательство соотношения 6 вытекает из следующей цепочки равенств:
р(А■ В/С) - р^ . р(ас) р (ВАС) . р(с) р(АС) р(ВАС) . р( Ас) ■ Р(ВАС).
Докажем соотношения 4 и 5. Имеем:
Р(А + В/П-р((А + В)&С) -р(АС + ВС-АВС) -р(АС)+ р(ВС)"р(АВС) -р(А + ВС)- р(С) - р(С) - р(С) =р(С)-р(АС) + р(С)-р^С)-р(С)-р(АВ/С) -р(А/С) + р(В/С) -р(АВ/С). Для несовместных событий:
р (А+ВС)-- - р (С).р (АС) +р (С).р (ВС) - р (АС)+р (ВС)•
Утверждения 4, 5 доказаны.
Необходимые и достаточные условия независимости
Другая важнейшая задача теории вероятностей - установление критерия независимости событий. Для иллюстрации доказательства независимости воспользуемся определением, что независимые события А и В не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий [4].
Теорема 2. Первое необходимое и достаточное условие независимости двух событий.
Пусть А - А + А2 ; А-1 ■ А2 - V (невозможное событие),
а * V, а2 * V, в - в + В, в в2 - v, в * V, в * V, с - ав ф V, а * с, а2 ф с, в * с, в2 * с. Пусть р (а )* р (а ) и р (В ) * р (в ) •
Тогда для независимости событий А и В необходимо и достаточно, чтобы либо событие А не зависело от в1 и в2 , либо событие В не зависело от событий а1 и а2 • Доказательство. Пусть А не зависит от в1 и в2 •
Найдем р (А • В ) = Р (А • (Вх + В2 )) = р (А • В + А • В ) = р (Ав\\) + р (ЛВ2 ) =
= р ( АЬр (V А) + р (А)-р (V А)= р (А)[р (В1/А) + р (V А)] = р (А)[р (В1) + р (В2 )]= р (АЬр (в ) ■
Следовательно, р (А • в) = р (А) • р (в). А это и означает независимость событий А и В . Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть А и В - независимые события. Найдем
р (А • В ) = р ((А1 + А2 )•( В1 + В2 )) = (р (А1) + р (А2 ))•(р (В1) + р (В2 )) =
р (А1 )•р (В1) + р (А1 )• р (В2 ) + р (А2 )•р (В1) + р (А2 )•р (В1) + р (А2 )•р (В2 ) ■ В то же время
р ( А •В ) = р (А1 )•р ( В1 + В 2/А1) + р (А2 )•р (В1 + В21А2 ) = = р ( А1 )•р (В1/А) + р ( А1 )•р (В2/А1) + р (А2 )•р (V А2 ) + р (А2 )•р (В2/А2 ) ■
имеем равенство:
р ( А1 )• р ( В1/А1) + р (А1 )•р ( В2/А1) + р (А2 )•р (V А2 ) + р (А2 )•р (В2/А2 ) =
Преобразуем последнее
= р ( А1 )• р ( В1) + р ( А1 )•р (В2 ) + р (А2 )• р ( В1) + р (А2 )•р (В2 ) ■ равенство к виду:
р ( А1)[ р ( В1/А1) + р ( В21А1)"( р ( В1) + р (В2 ))] = "р (А2 )[р (В1/А2 ) + р (В2/А2 )"(р ( В1) + р (В2 ))] ■ Отсюда получаем:
Из полученных соотношений
р ( А1) [р (В А1 ) - р (В)] = р ( А2 ) [р (В ) - р (В1А2 )]
Аналогично получаем равенство:
р (В1) [р (АВ1) - р (А)] = р (В2 ) [р (А) - р (АВ2 )]
Предположим, что р ( В А р (В ) ^ 0 и р ( а/ Вх) - р ( А)ф 0 . Получаем
р ( А1) _ ^ ^ ^ )-р ( В/А2 ) р ( А2 ) р (ВА1)-р(В)
р ( В) _ ^ ^ р ( А/В2 )
р ( В2 ) р(АВ1)-р(А)
Представим А в виде А = А1 + А2 , тогда равенство (12) преобразуется к виду:
р (В1) _ р (А1) + р (А2 )-р (А/ В2 )-р (А2 / В2 ) р (В2 ) р (А2 / В1) + р (А2 / В1)-р (А1)-р (А2 )
В^тразим р (А ) из (11) и, подставив в последнее равенство, после преобразования получим
р ( А2 ) [р (ВА1 )- р (В/А2 )] + р (А/В2 ) [ р ( В )- -р (ВА1)&_
р ( А2 ) р (ВА1 )- ~р (В/А2 )_ +р (АВ1) _р (в )- р (ВА1)_
Аналогично, выразим р (А2 ) из (11) и, подставив в (13), после преобразования будем иметь
р ( А1) [р (В/А2 )- р (ВА1)] + р (А/В2 ) [р (В)- р (В/А2 )]
р (А) _р (В/А2 )- р (ВА1)_ +р (АВ1) р (в)- р (ВА2 )_
Положим а = р (В А )-р ( в/ах ) , Ь = р (В)- р ( В А )
к = р (А)В2 ) , т = р (АВ) .
Тогда, сравнивая правые части выражения
р (В2 )
получим
(в)-р(в/А) , 4 = р(А1) , е = р(А2)
—еа + кЪ йа + кс
—еа + тЪ йа + тс
Преобразуем последнее выражение:
се (к — т) - Ъй (т — к) , или (к — т) (се + Ъй) - 0.
Отсюда следует, что либо 1) £ - т , либо 2) се + Ъй = 0 .
В первом случае получаем, что р ( а/В 2 ) - р (А а ) , но это и означает независимость А от вх и в 2. Для второго случая имеем:
[р (в ) — р (В/А1 )]■ р ( А2 ) + [р (в ) — р (ВА2 )]■ р ( А1 )- 0 & то есть р ( А2 )[р (^ А1 ) — р (в )] - р ( А1 )[р (в ) — р (В А2 )] •
Отсюда с применением равенства (9) получаем, что р (а1) - р (а2 ). Это противоречит условию.
Если р (В А ) - р ( В), то тогда из условия р (А/в) - р ( а) следует, что р ( а2/В) - р ( а2 ) , т.е. В зависит
от А1 и А2. Аналогично рассматривается случай, когда р (А в ) - р ( а) . Независимость В от А1 и А2 доказывается
таким же способом. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Второе необходимое и достаточное условие независимости двух событий. Пусть А - А + А2 ; а1 ■ а2 - V (невозможное событие),
А * V, а * V, в - в + В, в^в2 - V, В * V, В * V, с - ав * V, а1 * в, а2 * в, ах * в, а2 * в и р(в1)*р(в2) или р(а1)*р(а) •
Тогда для независимости А и В необходимо и достаточно, чтобы А1 и А2 были независимы от В и В • Доказательство. Пусть а, а не зависят от В и В. Докажем, что тогда А не зависит от В . Найдем р (А ■ В) - р ((А + А2 ) (в + в )) - р (а1в + а1в + а2в + А2В2 ) - р (А1В1) + р (А1В2 ) + р (А2 В ) + р (А2 В2 )-р (А1 )■р (В )+ р (А1 )■р (В2 ) + +р (А2 )■ р (В1) + р (А2 )■ р (В2 )- р (А1 (В1) + р (В2 )] +
+р ( А2 )[р ( В1) + р (В2 р (А2 )• р (В ) + р (А2 )■ р (В )- р ( В ( + р ( А2 )] ^ р ( В )■ р ( А) .
Следовательно, р (А-В)- р (A)■ р (в), а это означает независимость событий А и В .
Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть А и В - независимые события. Докажем, например, что а1 не зависит от В1 и В2.
Поскольку любое событие А1 связано с действием некоторого фактора О , то это действие можно заменить действием двух факторов О1 и таких, что результаты действия О1 и есть события А3 и А4, соответственно, и такие, что А - А + А - А + А3А4, р (А ) - р (А ). При этом можно считать действия о^ и О независимыми, а поэтому события А3 и А4 также будут независимы.
По условию, В совместно с а^ , а поэтому действия соответствующих факторов Ь и О , связанные с этими событиями, также могут произойти вместе. Но тогда Ь может произойти одновременно с факторами о^ и О2 , а в этом случае В может произойти совместно с событиями А1 - А3 и А^ - А3А4 . Аналогично доказывается, что В2 совместно с А3 и А3 А4.
Кроме того, по условию р (в ) * р (в ) , и можно доказать, что р (А[) * р (А{) .
В самом деле, поскольку р ( а3 )-р ( а4 ), то р ( а/)-р ( А ) р (А1") - [1 — р (аз )]■ р (аз )-р (аз ) —[р (А3 )]
Поэтому если р (А/) - р (А/) , то р (А3 ) - р (А3 ) — [р (А3 )] , а это возможно только в том случае, когда р (А3 ) - 0 , а этого не может быть, так как тогда р (А4 ) - 0 и р (А ) - 0 , т.е. А^ - V - противоречит условию.
Нетрудно видеть, что мы оказываемся в рамках предыдущей теоремы. А именно: В не зависит от а1 . Кроме того,
B = B + B, B & B = V, A = A + A"", где Aj = A3 , Af = A3 • A4 , и A" • A"" = V, bj и b2 совместны с aj и aj, т.е. если C = BAt, то Aj ф C , Aj ф C , Bj ф C , B2 * C ; кроме того p (A") * P (A") и p (Bx ) * P (B2 ) .
Отсюда следует, что A не зависит от bj и b2. Совершенно аналогично доказываем независимость a2 от Щ и b2.
Теорема 3 доказана.
Заключение
На основе условных вероятностей событий строятся Байесовские сети доверия, которые используются для принятия и обоснования решений в системах искусственного интеллекта. Практическое применение полученных результатов заключается в возможности организации корректной обработки больших массивов статистических данных, на основе доказанных в работе теорем. Сложность вычисления вероятностей сложных событий вызывает необходимость их приближенного вычисления.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
Список литературы на английском языке / References in English
