КАК БЕЗ КОМПЬЮТЕРА НАЙТИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, СЛЕДУЮЩИЕ ЗА ДАННЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛОМ

УДК 574.76

В. С. Малаховский1

Как без компьютера найти простые числа, следующие за данным простым числом

Показано, как без использования компьютера с помощью нескольких арифметических прогрессий можно определить одно или несколько простых чисел, следующих за данным простым числом. Даны пять примеров нахождения таких простых чисел.

На протяжении тысячелетий математики и философы пытались найти формулу для получения простых чисел, но все попытки установить закон их возникновения не увенчались успехом. По-видимому, такой формулы не существует. В работах [1; 2] показано, что для определения структуры множества Р простых чисел надо воспользоваться тем, что любое простое число Р > 5 может быть представлено в виде

Р1 = 6к1 -1, Р2 = 6к2 + 1 (к1, к2 е N) . (1)

Значит, можно рассматривать множества А = (М, А = {к2}, однозначно определяющие простые числа (1).

Поступила в редакцию 14.03.2020 г. © Малаховский В. С., 2020

Рассмотрим подмножества составных чисел = 671 " 1, 82 = 672 + 1 (71 , 72 е м) и подмножества В1 = {71}, В2 = {72}, однозначно определяющие эти составные числа. Очевидно, что

А1 = N \\ В1, А2 = N \\ В2,

то есть множества Л1 и Л2 образованы пропущенными в В1 и В2 натуральными числами.

В [1; 2] показано, что множества В1 и В2 определяются арифметическими прогрессиями:

В! В2

Зададим произвольное простое число Р >5. Вычитая из него или прибавляя к нему единицу, получаем число, кратное шести. Делим его на шесть. Получаем число а. Рассматриваем промежуток [а, а + 3]. С помощью арифметических прогрессий (обычно их небольшого числа из первых строк формулы (2)) находим соответствующие подмножества множеств Вг и В2. Из пропущенных натуральных чисел в этих подмножествах находим подмножества множеств Л1 и Л2. По формулам (1) находим простые числа, следующие за числом Р.

Если в указанном промежутке не окажется ни одного простого числа, расширяем промежуток:

[а, а + 4], [а, а + 5], ...

В.С. Малаховский

Имеем -= 475 . Промежуток: [475, 478]. Находим с

помощью двух первых строчек прогрессий (2) в этом промежутке числа из В\\ и В2:

{475, 476, 478}; {477, 478}.

Следовательно, подмножество чисел из Ах и А2 в этом промежутке {477}, {475, 476}. Используя формулы (1), находим, что за простым числом 2851 следуют простые числа 2857, 2861.

Промежуток: [2287, 2290]. Находим в этом промежутке числа из В1 и В2:

{2288, 2289, 2290}; {2289, 2290}.

Следовательно, числа из А] и А2 в этом промежутке {2287}, {2287, 2288}

Используя формулы (1), убеждаемся, что за простым числом 13721 следуют простые числа 13723, 13729.

Промежуток: [4632, 4635]. Находим в этом промежутке числа из В1 и В2: {4633}; {4633, 4635}. Следовательно, числами из А1 и А2 являются числа

{4632,4634, 4635}, {4632, 4633}.

Значит, за простым числом 27791 следуют простые числа 27793, 27799, 27803, 27809.

Промежуток: [10692, 10695]. Находим в этом промежутке числа из В1 и В2:

{10694,10695};{10693, 10694}.

Следовательно, элементами из Л1 и Л2 являются числа {10692,10693}, {10692, 10695}.

Значит, за простым числом 64151 следуют простые числа 64153, 64157, 64171.

Промежуток: [16637, 16640]. Находим в этом промежутке числа из Bi и B2:

{16637, 16638};{16639, 16640}.

Следовательно, элементами из A1 и A2 являются числа {16639,16640}, {16637, 16638}.

Значит, за простым числом 99823 следуют простые числа 99829, 99833, 99839.

Список литературы

V. S. Malakhovsky1 1 Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia nikolaymal@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-10

About finding of prime numbers that follow after given prime number without using computer

Submitted on March 14, 2020

It is shown how to define one or several prime numbers following after given prime number without using computer only by calculating several arithmetic progressions. Five examples of finding such prime numbers are given.

B.C. ManaxoBCKHi/i

References