ПРИКЛЕЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

УДК 514.76

К. В. Башашина]

Приклеенная линейная связность на поверхности проективного пространства

В многомерном проективном пространстве рассмотрена поверхность как многообразие центрированных плоскостей. Над этим многообразием возникает приклеенное расслоение линейных кореперов, которое не является главным расслоением. Задание связности в таком расслоении превращает его в пространство приклеенной линейной связности. Доказано, что объект кривизны является тензором. Найдено условие, при котором пространство приклеенной линейной связности превращается в пространство проективной связности Картана.

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {Л1} (I, ^, К = 0, п), деривационные формулы которого имеют вид

ал, = cэJIЛJ. (1)

Поступила в редакцию 09.05.2020 г. © Башашина К. В., 2020

Структурные уравнения неэффективно действующей в пространстве Рп линейной группы ОЬ(п +1) запишем в виде

ёС = со1} лСк . (2)

В пространстве Рп рассмотрим га-мерную поверхность Хт как семейство касательных плоскостей. Произведем специализацию подвижного репера {А0, А;, Аа} (... = 1, т;

а,... = т +1,п), помещая вершину Л0 в точку поверхности Хт, вершины А — в касательную плоскость Тт , а вершины Аа — вне касательной плоскости.

Перепишем формулы (1) с учетом разбиения индексов:

ёЛ0 = с00 Л0 + а&оА + сааAа,

¿А = С Ло + с/А} + саАа,

ёАа = Са А + СаА + СаЛр.

Вершина А0 является точкой касания плоскости Тт к поверхности Х°т, описанной этой вершиной; значит, ее бесконечно малое перемещение лежит в Тт : ёА0 е Тт , следовательно

< = 0. (3)

Замыкая это уравнение и разрешая по лемме Картана, получим

<= ъаю, ъа = ъа, с& =ю. (4)

Уравнения (3, 41) определяют поверхность Хт в заданном репере.

Продолжая уравнения (41), найдем дифференциальные уравнения на функции ъа :

+ ъаС = ъаю, ъ^ = ъак] = ъ«к, (5)

где дифференциальный оператор А действует следующим образом:

ль; = йь; - ьС - ъс + ь? с;.

Из уравнений (51) видно, что объект Щ является тензором

и называется основным тензором поверхности (см., напр., [1, с. 170]).

Из структурных уравнений (2) с учетом уравнений (3, 41) получим

йС = С л (сС - с>СС), (6)

йсС& = С л С + С л юС&к (&&, у&, к& = 0, т), (7)

где С = Ь%С(Ь;к = 0).

Эти уравнения аналогичны структурным уравнениям главного расслоения линейных кореперов Ь 2 (Хт) над поверхностью Хт с типовым слоем — линейной группой

Х(т+1)2 = С1(т + 1).

Однако, поскольку m базисных форм С входят в совокупность форм со1у, будем говорить о приклеенном расслоении линейных кореперов, которое обозначим Ь + 2 - т (Хт).

Применим способ Лаптева — Лумисте [2, с. 62, 82; 3] задания связности в главном расслоении для определения связности в приклеенном расслоении Ь т+1)2 -т (Хт):

С=о-п>;о. (8)

Найдем внешние дифференциалы этих форм, используя уравнения (6, 7):

йСЗ&С, = тк:, л С +С л (йп&к - ПС - ПЮу + П&уС +

+п;,кС+£%)-п% ПС лС.

Пусть компоненты Па,к удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Щк+п%юо0 +сс,к=п;,к1о. (9)

Структурные уравнения форм приклеенной связности окончательно запишем в виде

ёс&С, = С а С + К&гк1юк а сС, (10)

где компоненты объекта кривизны выражаюся по формулам

а = Ппы] -П^кП^] , (П)

причем по крайним индексам в скобках производится альтернирование.

Для продолжения уравнения (9) найдем внешние дифференциалы форм с&,к :

ёюг&Гк = ё(ъЧ,кСа) = дЬагк А с0 + ъак(Са А Ср + Ю0& А о&т,) =

/иа,^т > а т& >Я а . т_а I 1 г& = (ъГт°к + К&Ю/ - ъГкСр+ ъГЫС ) АСа +

+ ъаЮаА0р + ЩС А ют,.

Приведем подобные слагаемые и воспользуемся обозначениями для трехиндексных форм ю:

Ю&к =-ъГкЮаАСк - + ъГк°а^ АСт&+С А ъ2Сг сг т& г

ш]&т тк ш]&к ш]&к1

Окончательно имеем

С&к = С&к А Ст& - Ст&к А С& - С&т АСк +С А СГЫ ,

где С&кт = ЦкпРС & С]&[кт] = 0 .

Уравнения на продолжения компонент объекта связности Пимеют вид:

ЛП% + 2ЩкК - nlkj -jal+n™:k®¿l + (12) +Пj,k<+П;Ук+ауЦ = nj,klmam.

Используя формулы (9, 11, 12), найдем дифференциальные сравнения по модулю базисных форм на компоненты объекта кривизны R рассматриваемой связности:

Ш&гы + 2RÍma°0 - 0 (moda&). (13)

Теорема 1. Связность в приклеенном расслоении линейных кореперов L + 2 m (Xm) задается с помощью поля объекта

связности n&j,k, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (9). Объект связности Пг-,к определяет формы связности (8), удовлетворяющие структурным уравнениям (10), в которые входят компоненты объекта кривизны R&fkl, выражающиеся по формуле (11) через объект

связности n&j,k и его пфаффовы производные. Объект кривизны приклеенной линейной связности является тензором, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (13).

Определение. Расслоение приклеенных линейных кореперов L + 2 - m (Xm) со структурными уравнениями (6, 7), в котором задана связность полем объекта Пг-,к, назовем пространством приклеенной линейной связности L, , ,2 , имеющим

J ( m+1) - m,m

структурные уравнения (6, 10).

Распишем уравнения на компоненты связности (9) подробно:

ЛП&к - о, ЛП0к + na + nloka0 - 0, ЛЩк +П)ка0 -П&;ка0 + ®)к - 0,

л Гт0 , п п0 0 j-r-0 0 , r-rl 0 , 0 п ЛПjk + 2Пjka0 - П0ка3 + Пjkal + ajk - 0

Положим простейшую тензорную часть объекта связности Травной нулю: Пгок = 0 . Тогда уравнения остальных компонент упростятся:

П +ПХ - о, Пк +П>0 + ^ - 0,

лп0 , ^пО 0 п-0 0 , т~т/ 0 , 0 п ЛП}к + 2П;к®0 " П0к®} + П}к®1 + ®;к - 0.

Значит, справедлива

Теорема 2. Если подтензор Пгок объекта связности П&ук

обращается в нуль, то Зг0 = а>&, поэтому пространство приклеенной линейной связности Ь , ,2 становится прост( т+1) - т,т ^

ранством проективной связности Картана Ртт (см., напр., [2, с. 119; 4, с. 23; 5]) со структурными уравнениями (10), ассоциированными с поверхностью Хт проективного пространства Рп.

Список литературы

K. V. Bashashina1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia KBashashina@kantiana.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-3

Glued linear connection on surface of the projective space

Submitted on May 9, 2020

We consider a surface as a variety of centered planes in a multidimensional projective space. A fiber bundle of the linear coframes appears over this manifold. It is important to emphasize the fiber bundle is not the principal bundle. We called it a glued bundle of the linear coframes. A connection is set by the Laptev — Lumiste method in the fiber bundle. The ifferential equations of the connection object components have been found. This leads to a space of the glued linear connection. The expressions for a curvature object of the given connection are found in the paper. The theorem is proved that the curvature object is a tensor. A condition is found under which the space of the glued linear connection turns into the space of Cartan projective connection.

The study uses the Cartan — Laptev method, which is based on calculating external differential forms. Moreover, all considerations in the article have a local manner.

References