О нильалгебрах над бесконечным полем с разрешимой присоединенной группой

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 512.552

О НИЛЬ АЛГЕБР АХ НАД БЕСКОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ С РАЗРЕШИМОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ ГРУППОЙ

Канд. физ.-мат. наук, доц. СМИРНОВ М. Б.

Белорусский национальный технический университет

В данной работе продолжается изучение взаимосвязей ассоциативных колец и их присоединенных групп [1-4]. В частности, исследуется задача о строении нильалгебр над бесконечным полем с разрешимой присоединенной группой. Для радикальных колец известен результат Дженнингса [4], который показал, что если присоединенная группа радикального кольца нильпотентна, то и само кольцо нильпо-тентно как кольцо Ли. В случае разрешимости присоединенной группы доказывается аналогичный результат для нильалгебр над бесконечным полем, а именно, если такая нильалгеб-ра имеет разрешимую присоединенную группу, то она разрешима как алгебра Ли. Автору неизвестны примеры, чтобы это утверждение не имело места для нильалгебр над конечными полями.

Пусть А - нильалгебра над бесконечным полем Р и А - ее присоединенная группа. Для упрощения записи присоединим к алгебре А формальную единицу 1 и будем писать £ = 1 + + х є А , х є А. Для а, Ь є А обозначим [а, 6] = = аЪ-Ъа и [аь аъ ..., а„] = [[...[аъ а2], ...], ая]. Для любых подмножествX, Ус: А через <Х> и [X, У] обозначаем Р - модули, порожденные всеми элементами х и [л, _у], х є X, у є Г. Также полагаем, Х(1) = X, = [Я®, Х(к)] для к > 1. Для любой группы Є < А* обозначаем С?® = (?, Сг2) - {(7Х\\ (7(1)) - ее коммутант и (укЛ]) -= ((Л с{к)) для всех к > 1. Если

а0, 0[ є (?, «2 є Сг(2), ..., ап є , то полагаем Вг = <Є>, В к—1^ — модуль, порожденный всеми элементами вида Ьк ак_^\\ при к > 1.

N обозначает множество натуральных чисел.

Теорема. Пусть А - нильалгебра над бесконечным полем Р и О = А - ее присоединенная группа. Если группа С разрешима класса п, то алгебра А разрешима класса п как алгебра Ли.

Доказательство. По условию Поэтому, если

Оо, € С, Ог е (г(2),...,а„ е (7(л) ,

ё„+1 ={%,ах,а2,..., а„_„ <0 = 1. 0)

Пусть г ^ о произвольный элемент поля Р, а^- l-tx еб, хе А. Тогда существует т € N

такое, что х"=Ои ай = 1 + £с + Лс2 + ...+гтЧ;с&и~1. Поэтому

ёг=(а0,а1) = = (1 - /‘х)а1_1(1 + 1х + Гх2

+ /т 1Хт = 1 + ^[х,0|] + ^С25+^С22 ~

= \\ + Л2 + ?2с21 + ...+гтс2т_, € (Р,

где Ь2 = сц\\х,щ\\ и с21 е А - сумма членов с коэффициентом /,+1. Аналогично,

ёг1 = > ао ) = оГЧЧоЬ = яГ&О ~ ^М(1 + йс + ^2х2 +

+ ...+ ^т = 1 — ¿/21 "^^^22

= 1 — £¿2 ^2^21^" ^2т -1 •

Предположим, что для любого натурального А: > 2 справедливо:

= (<*» о,, ...,<%_1) = 1 + /^+*2си+...+ Л?*,_1;

=1-г^ + Л/и+...+Л^_1,

где ьк = ак\\[Ьк_г, ак_х].

Тогда

ёш = £* Ч_1£А = 0 - А + ¿4] +■■•+ &ЧиК1 *

х (1 + 1Ьк + /2сн +...+ ^сь_,к = 1 + *(<£ V* - *) +

+ * С*+11 +•••+ * с*+1 2лЧ — 1 + ^+1 +

+ * С*+11 + ■••+* С*+125-1>

где ^+1 = ак&[Ьк, ак].

Аналогично находим

Таким образом по индукции мы имеем для любого кеЫ:

ёк+1(0=1+^+1 + ^ск+\\ 1 + ■ • • + ^ск+\\ 5-1е к+Х); (2) **1,(0 = 1 - + Л/*+1, +...+ еС(*+1); (3)

^+1 = <Л>а*] (4)

и 5 = 2кт зависит только от а0 и к. Под Ъ\\ подразумеваем любой элемент хеЛ.

Поскольку соотношение (2) верно для любого ¿е Р, а поле Р бесконечно, то, подставляя последовательно элементы 1Ь 12, ..., € Р, Ц Ф Ц

при I Ф У вместо I, получим систему линейных уравнений ОТ 5 неизвестных XI = Ь/с+1, х2 =

= ск+ц, ...,х5 = ск+15_1 следующего вида:

х1 + ^х2 + г2х3 +...+ г[ ]х! - ц ’О^+А) ~ 1) е<С^+1) >;

..................................... (5)

ДЦ+.^+^+-+СЧ е <(?о*+1)>.

Здесь < > обозначает подалгебру, порожденную элементами вида

+1-1а8Ч11,‘%]

(т. е. порожденную коммутаторами к+1 -го порядка группы О без формальной единицы 1). Так как при различных /,■ определитель системы (5) отличен от нуля, система имеет единственное решение вида х(е. < <Зо*+1)>, г -1,2, ..., 5 и, в частности:

х1 = Ьк+х=ак\\Ък,ак]е<0^>. (6)

Отметим, что при к - п ввиду (1) получаем < С^+1)> = < 0>, система (5) - однородная и

Ь ~К+\\ = апХЬп>ап\\ ~ 0. Для любого натурального / > 1 обозначим через 5/ подалгебру, порожденную всеми элементами вида

Ъ1 = Щ-Ш-1» а1-\\] > В1= <с>Тогда из (6) сразу получаем

В^<($>. (7)

Поскольку ДЛЯ любых Х€ А И <21 е С [х,о,] = е В?. то

[А,С\\ = [А,А} = А2) а В2. (8)

Так как в (6)

Ог],-], аи], %],

то Ьк не зависит от а*.

Пусть в (6) ак = (/¡о,/г,, 1^, кк^)^0(к>, где

/¡о, А, ев, Л; е(г(2), еС^-4 - независимые

элементы. Тогда, полагая Л^1 = 1 - г^, где у е А, имеем йд = 1 + Гу + /2у2 + ...+гмум для некоторого / е А^и ввиду (2)-(4) получаем:

ак(0 = 1 + *1 + (2ск1+...+(гск Г_1 ;

в*1(0 = 1-^+^*1+—&+{Г^кг-\\ >

Ь’к = к-к\\[Ьк^\\_1].

Подставляя а*(0 и а^(0 в (6), получаем

Ьы - (1 - tbk + t2dkl +...+ trdk r_i)[bk, 1 +

+ tb&k + t2ckl+...+ trckr_l] =

— t{bk, bk] + t XMl +... + i xk+\\2r-l e Bk+V

Поскольку это соотношение верно при любых t е F, то повторяя процедуру, описанную выше, т. е. переходя к системе вида (5), получим [bk, b&k] е Bk+1, и так как bk и b&k независимы, то

[Bk,Bk] = B®czBM. (9)

Так как (9) верно для любых натуральных к > 1, то с учетом (1), (7), (8) получим

<0>=<Gf+,)>3 Вп+1 Э В? з Д® 2 3 -Э Bf Э (Л(2))(л) = А(л+1),

что доказывает теорему.

Следствие. Если char F ^2, то разрешимая класса п присоединенная группа А нилъ-алгебры А над бесконечным полем F имеет нилъпотентньш нормальный делитель Н такой, что факторгруппа A /Н разрешима класса не выше 8.

Доказательство. Из теоремы следует разрешимость алгебры А. Поэтому осталось применить результаты [1,2].

Отметим, что ограничение на характеристику поля вызвано аналогичным ограничением в [2] и не ясно, является ли оно существенным для нильалгебр. Весьма вероятным кажется предположение, что нильалгебра над полем характеристики 2, разрешимая как алгебра Ли, имеет разрешимую присоединенную группу. Для нильалгебр экспоненты 4 это доказано в [3].

ВЫВОД

Нильалгебра над бесконечным полем с разрешимой присоединенной группой разрешима как алгебра Ли того же класса.

Литература

УДК 517.9

ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБРАТНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ДИНИ*

ДУБРОВИНА О. В.

Белорусский национальный технический университет

Существование обратного вейвлет-преобразования в смысле сходимости в пространстве ЦЯ) установлена различными способами [1, с. 287]. Что касается поточечной сходимости, то в большинстве монографий и статей,

посвященных интегральным вейвлет-преобразованиям, приводятся, как правило, доказательства, полученные при дополнительных условиях на базовый вейвлет \\|/ [1-3]. Установленное ниже утверждение является аналогом соответ* Работа выполнена при частичной поддержке Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь.