Спросить
Войти
МАТЕМАТИКА
СЕКЦИЯ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ»
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАЙТХИЛЛА ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
Нарматова Махабат Жунусовна
канд. физ-мат. наук,
Кыргызко-Российский Славянский Университет им. Б. Ельцина,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: mashabat71@mail.ru
Темиров Бекжан Кайыпбекович
д-р физ-мат. наук,
Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-mail: bekjant@mail.ru
ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF A SINGULARLY PERTURBED EQUATION TYPE LIGHTHILL FIRST ORDER WITH AN IRREGULAR SINGULAR POINT
Makhabat Narmatova
candidate of Physics and Mathematics. Sciences, Kyrgyz-Russian Slavic University them. B. Yeltsin,
Kyrgyzstan, Bishkek
Bekzhan Temirov
doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
В статье методом сращивания строится главная асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения типа Лайтхилла первого порядка с иррегулярной особой точкой.
ABSTRACT
In the article the method of matching asymptotic solution is constructed main singularly perturbed type Lighthill first order with an irregular singular point.
Рассмотрим задачу Коши для сингулярно- возмущенного уравнения типа Лайтхилла вида:
(х2 + еу(х)) ^ = ц(х)у(х) + г(х), (1)
Жу(1) = У0, (2)
где: 0 < е << 1- малый параметр, у0- заданная постоянная,
х 6 [0; 1] -независимая переменная, у(х) - неизвестная функция, ц(х),г(х) 6 См[0; 1]
Определение 1. Если ^(0) = Ф 0, то для невозмущенного уравнения (1) (£ = 0)
¿Уо(х) := х2^-д(х)Уо(х) = г(х),Уо(1) = у(0)(3)
Точка х = 0 является иррегулярной особой точкой. Далее будем предполагать, что
<7&(0) = <7"(0) = 0 (4)
т. е. ц(х)- представляется в виде:
ц(х) = -1+х2Ч1(х), (5)
ц1(х) е См[0;1],^1(0) = Ц1Ф0
Тогда решение задачи (3) представляется в виде:
у0(х) = ех-1Р(х)[у(0) + I* 5-2е-5-1р-1(5)г(5)йз], (6)
где: Р(х) = е-1ехрЦ*q1(s)ds} е См[0; 1].
Выражение (6) можно представить в виде:
Уо(х) = ш(х)ее-1 + д(х), (7)
где: ш(х) = Р(х)а0,а0 = и0 + Б-2е-5 1р-1(з)г(з)й5,
Q(x) = ех-1Р(х)1*5-2е-5-1р-1(з)г(5)й5 е Сю[0;1]. Далее, пусть а0 Ф 0.
Отметим, что к задаче типа (1) сводятся многие задачи физики и техники, в частности, задача о построении периодического решения релаксационных колебаний нелинейной механики [3] в окрестности точки срыва. Кэррэр [5] изложил общую идею исследования таких задач методом малого параметра и метода Лайтхилла на конкретных примерах.
Определение 2. Переменная х называется внешней переменной задачи (1), а решение, зависящее от нее внешним решением. Внешнее решение ищется в виде:
У(х) = Уо(х) + еуЛ*) + £2У2) + ■ + £пУп(*) + ■ , (8)
где: ик(х), (к = 1,2, ■■■) - пока неопределённые функции.
Подставляя (8) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, для неизвестных функций ик(х) имеем уравнения:
Ьу2(х) = -УоУ&(х) - уЛх)у0(х) = /2(Уо,Уг),У2(1) = 0(9.2) ^Уп(х) = -!,1+]=п-1У1(х)у^(х) = Уп(Уо,У1,- ,Уп-1),Уп(1) = 0(9.п)
Эти задачи имеют единственные решения и определяются последовательно следующими формулами:
ук(х) = еж-1Р(х)/1же-х-1р-1 ^^ЖаО.к)
При к = 1 получим
у1(х) = —еж 1Р(х)/1Же-г; 1р-1(5)5-2и0(5)и0(5)Й5
Отсюда, с учетом (7) имеем
у1(х)--^2х-2е2ж 1,х ^ 0 (111)
Подставляя это выражение в (10.2) и решая его получим
у2(х)~42х-4е3ж-1,х ^ 0 (11.2)
где: 0 < 42 - некоторая постоянная.
Далее, методом полной математической индукции доказывается,
уп(х)~(—1)п4пх-2пе(и+1)ж-1,(п = 0,1,2,...) (11.nl
где: 40 = ш0,41 = 4й+1 > 0 (Ук = 1,2,...) - постоянные. Поэтому главную асимптотику внешнего решения (8) можно представить в виде:
у(х)~<^0еж 1 — 41ех-2е2ж 1 + 42(ех-3еж 2) еж 2 + — + (—1)п4п(ех-2еж-1)пеж-1 + — = = еж-2 [^0 — 41ех-2е-1 + 42(ех-2еж-1)2 + — + (—1)п4п(ех-2еж-1)п
х ^ 0 (12)
Из этой формулы следует, что внешнее решение сохраняет асимптотический характер на отрезке (х0(е), 1], где х0 = х0(е) -решение уравнения
ех-2еж-1 = 1 (13)
Решая это уравнение получим:
^~(1п|)-1/2 (1+|^1п(1п!)1/2),^ = (1п|)-1 (13*)
Таким образом, доказано.
Теорема 1. Пусть 1) г(х), ^(х) = —1 — х2д1(х),д1(х) 6 Сет[0Д]; 2) > 0
Тогда внешнее решение задачи (1) - (2) представимо в виде (8) и оно является асимптотическим рядом на отрезке [х0,1], где х0 = х0(е)-определяется из (13).
Теперь в (1) сделаем следующее промежуточное преобразование:
х = + е2а^у(х) = £-М0, (14)
где: у = 1 — 3а, 0 < а < 1. После подстановки (14) в (1) получим уравнение:
(1 + 3Л + 3е2а£2 + е3а£:3 + и(0)и&(0 + + е2а0и(0 =
е7г(еа + +е2а0 (15)
Решение этого уравнения можно искать по степеням , тогда невозмущенное уравнение имеет вид:
(1+ио(0>0(0 = -1ио(0
Общее решение этого уравнения представляется в виде:
и0(0 +1п|и0(01 = -и + с, (16)
где: с - постоянная интегрирования.
Экспоненциальное решение этого уравнения имеет асимптотику:
ио(0~е-"+е, (16*)
Это решение должно сращиваться с главной асимптотикой
^0 = ес,е-7 = е£ , (17)
Из первого выражения (16) следует, что если > 0, тогда с = 1п Если ш0 < 0, то сращивания невозможно.
Очевидно, что второе условие (17) эквивалентно условию (13).
Из (16) и (16*) имеем:
и0(С)~ш1е-*,С ^ (18.1)
и0({)~-2Ь,Ь ^(18.2)
Теперь, чтобы получить решение задачи (1) - (2) в точке х = 0, мы введем внутреннюю переменную т, которая изменяется около нуля, через замену переменных:
х = ехт, у(х) = е^г(т), (р<0<\\), (19)
Тогда уравнение (1) имеет вид:
(езХг3 + е1+^г(т)) = ц{£кт)£^г(т) + г(ехт) или
(е2Хт3 + е1+^-хг(т)) г&(т) = ц{£хт)г(т) + £-^г{ехт)
Теперь ^ выберем из условия ^ = X — 1 < 0
Тогда предыдущее уравнение примет вид:
(е2Хт3 + г(т))г&(т) = ц(£Хт)г(т) + ^1-Хг(еХт) (20)
невозмущенное (е = 0) уравнение (19) имеет вид: го(т)г0(т) + 1го(т) = 0
Отсюда получим г0(т) = й0 — 2т (21) где: й0- постоянная сращивания. Сращивая (21) с (18.2) с учетом (19) имеем:
е^(й0 — 2т) = е^(й0 — 1е-Хх)
е^,- — 1е^-Хх~1е
Х-1И = 1£а
Х= а, d0 = 1
Следовательно, у0(х)~£а-1г0(т) = £а-1(1 — х£-а),х ^ 0 Следовательно, у(0)~1£а-1, £ ^ 0. Таким образом, доказано. Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда решение задачи (1) - (2) существует на отрезке [0,1] и у(0)~1£а-1, £ ^ 0.
Список литературы:
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУХСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: tuganbaev.mm@mail.ru
INVERSE PROBLEM FOR TWO-SPEED EQUATION WITH A SMALL PERTURBATION OF THE COLLISION INTEGRAL
Marat Tuganbaev
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J.Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
